YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II

Önce gradient vektörünü bulalım. (8x1 +x2 , 10x2+x1 )
Bu durumda Hessian Matrisinin
ilk satırı 8x1 +x2 fonksiyonunun sırasıyla önce x1 ‘e göre türevinden (8) ve sonra x2’ ye göre türevinden (1)oluşur.
İkincisatırı ise 10x2+x1 fonksiyonunun sırasıyla önce x1 ‘e göre türevinden (1 ) ve sonra x2’ ye göre türevinden (10)oluşur. Matrisimiz ise [■(8&1@1&10)] şeklinde olur.

Fonksiyonun birinci türevi = 0
6x + 6 = 0 ve x = -1

f1(x) = 6x + 6
f11(x) = 6

f11(-1) = 6 ≠ 0 ve n=2 , x0 = - 1 noktası en küçük noktasıdır.

Fonksiyonun birinci türevi = 0
-6x + 12 = 0 ve x = 2

f1(x) = -6x + 12
f11(x) = -6

f11(2) = -6 ≠ 0 , n=2 , x0 = 2 noktası en büyük noktasıdır.

Fonksiyonun birinci türevi = 0

f1(x) = 6x2 - 24 6x2 – 24=0 ise x1= -2 ve x2=2 olur.

f11(x) = 12x

f11(2) = 12(-2) = -24 ≠ 0 , n=2 , -24 < 0 olduğu için -2 noktasında en büyük vardır.

f11(-2) = 12(2) = 24 ≠ 0 , n=2 , 24 > 0 olduğu için 2 noktasında en küçük vardır.

( X1,x2) = (-2,2)

Yöneylem Araştırması, problemleri disiplinlerarası bir ekiple, bilimsel bir yöntemi izleyerek ve sistemi bütünüyle ele alarak çözerken; aynı zamanda Yöneylem Araştırması Yaklaşımı da denen aşağıda verilen adımları izlemektedir:

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi seçeneklerde verilenlerin tümü Yöneylem Araştırması Yaklaşımının adımlarıdır, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Model, bir sistemin kendisi yerine onun gibi davranan eşdeğerine denir. Modeller farklı şekillerde gruplanabilir ve yapılarına göre de; uyuşum, benzeşim ve matematiksel olarak üçe ayrılırlar. Uçak simulatörleri, maket inşaat projeleri uyuşum modellerine birer örnektir. Bu tür modeller gerçek sistemin küçültülmüş birer örneğidirler. Çeşitli diyagramlar, grafikler benzeşim modelleri arasındadırlar. Gerçek sistem görünümünde olmayıp, sistemdeki ilişkileri temsil ederler. Bu örnekler üzerinde düşünüldüğünde, bir uçak simulatörü yardımıyla, söz konusu uçağın, belirli koşullarda hangi davranış biçimlerini ortaya koyacağı test edilebilir. Bu sayede insan hayatını tehlikeye atmadan ve doğabilecek büyük bir maliyeti de önceden engelleyerek simulatör üzerinde istenen testler yapılır. Benzer düşünceyle, bir bilgisayar programı da bir çeşit model sayılır.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi model kavramına ilişkin seçeneklerde yer alan tüm ifadeler doğrudur, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Yöneylem Araştırması kapsamında daha çok matematiksel modellere başvurulur. Bu yapıda değişkenlerarası ilişkilerin gösterildiği fonksiyonlara kısıt, kısıtları sağlayan çözümlerin eniyisinin seçimi için kullanılan fonksiyona ise amaç fonksiyonu denir. Kısıtlar ve amaç fonksiyonundan oluşan bu tür matematiksel modellere karar modeli denir. Karar modelleri doğrusal veya doğrusal olmayan özelliklerde olabilirler. İzleyen bölüm doğrusal olmayan programlama konusundadır. Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi, Yöneylem Araştırması kapsamında başvurulan matematiksel modellere ilişkin seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Pratik olarak tüm kısıtların ve amaç fonksiyonunun, her birinin doğrusal birer fonksiyon olduğu, bir başka deyişle tüm fonksiyonlarda yer alan her terimin birinci dereceden ifadelerden oluştuğu, iki değişkenin çarpımı veya bir değişkenin üssünün olduğu terimlerin yer almadığı karar modeli doğrusaldır. Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğrusal karar modellerine ilişkin seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Doğrusal karar modeli geliştirilebilmesi için gereken özellikler; belirlilik, oranlılık, toplanabilirlik ve bölünebilirliktir, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Bir fonksiyonun tanımlı olduğu, bir başka deyişle, fonksiyonda karşılığının hesaplanabildiği x noktaları kümesine tanım kümesi denir. Tanım kümesindeki x’lere f (x) fonksiyonunda karşı gelen değerlerin kümesi değer kümesi olarak isimlendirilir. Bir fonksiyonun tanım kümesi içerisinde, fonksiyonun en büyük değerinin elde edildiği noktaya enbüyük nokta (Enb), fonksiyonun en küçük değerinin elde edildiği noktaya ise en küçük nokta (Enk) denir. Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Çok değişkenli modellerde türev işlemi, birden fazla değişken söz konusu olduğundan kısmi türev alarak gerçekleşmektedir. Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi (sadece bir değişkene göre) türevlerinin yer aldığı vektöre Gradiyent Vektör, gradiyent vektör kullanılarak bulunan ve ikinci dereceden kısmi türevlerin yer aldığı matrise ise Hessian Matrisi denir.

Doğrusal olmayan problemlerin enbüyük veya enküçük noktalarının bulunmasında temel operatör türev alma işlemidir. Çözüm süreci sırasıyla 1) birinci türev (f’) yardımıyla, önce çözüm olabilecek nokta veya noktaların olup olmadığının araştırılması 2) ikinci türev (f’’) yardımıyla varsa, birinci türev ile bulunan bu nokta(lar)ın bir yerel enküçük veya enbüyük nokta olup olamayacağının sınanması 3) bulunan nokta, önceki bölümde açıklanan tanıma göre, bir yerel nokta ise bu noktanın ilgilenilen fonksiyon için bir bütünsel eniyi nokta olup olmadığının sınanmasıdır. Bütünselliğe karar verebilmek için yerel eniyi noktası bulunan fonksiyonun içbükey veya dışbükey bir yapıya sahip olup olmadığı bilinmelidir.

 Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap E’dir.

En iyi noktası araştırılan fonksiyon birden fazla değişken içerebilir. Bu durumdaki modeller, kısıtsız ve kısıtlı olarak ikiye ayrılır. Ayrıca kendi içinde kısıtlı modeller de, kısıtları eşitlik halinde olan ve olmayan şeklinde gruplanabilmektedirler.

Tek değişkenli fonksiyonlarda olduğu gibi çok değişkenli fonksiyonlarda da, fonksiyonu enbüyükleyen veya enküçükleyen noktaların bulunabilmesi için türev alma işlemine başvurulmaktadır. Birden fazla değişkenli fonksiyonlarda, kısmi türev almak gerekmektedir.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi çok değişkenli modellerin eniyi çözümlerinin bulunmasına ilişkin seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

f (x), dışbükey bir fonksiyon ise yerel en küçük nokta aynı zamanda bütünsel enküçüktür.

f (x) içbükey bir fonksiyon ise yerel enbüyük nokta aynı zamanda bütünsel enbüyüktür.

Doğrusal fonksiyonlar hem içbükey hem de dışbükeydirler.

Dışbükey fonksiyonların toplamı da dışbükey, içbükey fonksiyonların toplamı da içbükeydir.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur, dolayısıyla doğru cevap E’dir.

Markov süreçleri, bir sistemin karşılaşılabilir durumlarının birinden diğerine geçiş olasılıkları bilindiğinde sistemin analizi ile ilgili bir araştırma alanıdır. Başlangıç durumu verildiğinde, izleyen aşamada hangi olasılıkla hangi durumda olunacağını ve buna karşılık oluşacak olan katkıyı ölçmek ve eniyi stratejiyi belirlemek için başvurulan analizlerdir. Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap A’dır.

Serim modelleri, çeşitli düğümlerin ayrıtlarla birbirine bağlandığı bir çeşit ağ yapısı ile karakterize edilirler. Gerçek hayatta düğümler, örneğin bir kargo şirketinin uğraması gereken şehirler, ayrıtlar ise şehirler arası yollar (mesafeler) olabilir. Bir başka örnek olarak düğümler, elektrik bağlanacak olan köyler, ayrıtlar ise köyler arası kablo bağlantıları, yine düğümler doğalgaz bağlantısı yapılması gereken semtler, ayrıtlar ise döşenen boru hatları olarak düşünülebilir. Toplam ayrıt uzunluğunu en kısa yapacak şekilde, hangi düğümlerin birbirleri ile bağlı olması gerektiğinin bulunması amaç olabilir. Bu gruba giren diğer bir problem türü, düğümler ve ayrıtlar belirli iken, bir noktadan (düğümden) verilen bir diğer noktaya en kısa hangi yollardan (ayrıtlardan) geçerek gidileceğinin bulunması şeklinde tanımlanabilir.

Yöneylem Araştırması kapsamında tanıtılabilecek bir diğer konu da, belirsizlik ve risk altında karar vermedir. Belirsizlik, karşılaşılabilecek durumların olasılıklarının dahi bilinmediği karar ortamıdır. Risk altında karar verme ise, ortaya çıkabilir durumların olasılıklarının bilinmesi halidir.

Yöneylem Araştırması kapsamındaki matematiksel modellerin çözümü için geliştirilmiş yazılımlar bulunmaktadır. LINGO, GAMS gibi örnek olarak verilebilecek ve en yaygın kullanılan bu tür yazılımların yanısıra, hemen her bilgisayarda bulunan Microsoft Excel programının çözücü (solver) özelliği ile de basit düzeyde karar modelleri çözülebilmektedir.