BEKLEME HATTI (KUYRUK) MODELLERİ

Kuyruk teorisi üzerine ilk çalışmayı Danimarkalı bir telefon mühendisi olan A. K. Erlang yapmıştır. Erlang 1905 yılında değişken hizmet talebinin (gelişlerin) otomatik numara çevirme cihazının kullanımı üzerindeki etkisini belirlemek için çalışmasına başlamıştır.

Kuyruk sistemlerinden söz ederken özellikle gelişler ve servis olanaklarının ele alınması zorunludur. Kuyruk sistemlerinin temel öğeleri şunlardır:
a. Geliş süreci,
b. Servis süreci,
c. Kuyruk yapısı. 

Müşterilerin gelmesini ve sisteme katılmalarını geliş olarak tanımlayabiliriz. Genelde müşteri gelişleri önceden bilinemediği için rassal olarak gerçekleşmektedir. Çünkü müşteri birey olarak bağımsızdır ve hizmet verenlerin müşteri üzerinde bir kontrolü bulunmamaktadır.

Geliş Büyüklüğü: Servis sistemine gelişlerin büyüklüğü sonlu ya da sonsuz olarak tanımlanan geliş kaynağının (evren) büyüklüğüne bağlıdır. Örneğin, otoyollardaki gişelere ödeme yapmak için gelen araç sayısı sonsuz geliş kaynağına sahipken, bir fabrikada bakım birimine gelen tezgah sayısı sonlu bir geliş kaynağına sahiptir.

Geliş sürecinde olduğu gibi servis sürecinin de belirleyicisi servis süresi veya servis hızı olmaktadır. Bunun yanında servis olanaklarının düzenlenmesi de kuyruk sisteminin yapısını belirleyen diğer bir unsurdur. Servis süresi bir servis için harcanan ortalama zaman uzunluğu olarak açıklanır. Servis süresi ile ilgili olarak en çok karşılaşılan dağılım üstel dağılım olmakla birlikte sabit servis süresi ya da normal veya düzgün dağılmış servis süreleri de karşılaşılan dağılımlardandır.

Kuyruk sisteminin diğer bir öğesi de kuyruk yapısıdır. Bir kuyrukta sırada bekleyen müşteri sayısının en büyük değeri yani kuyruğun büyüklüğü bilinmelidir. Yaygın bir varsayım kuyruk uzunluğunun sonsuz olabileceğidir. Bazı durumlarda bu varsayım sorun yaratmaz. Bazı durumlarda ise kuyruk uzunluğu belli bir üst değere ulaşırsa sonradan gelen birimlerin sistemi terketmesi söz konusu olabilir.

Kuyruk sistemlerinde iki tür maliyet söz konusudur. Birincisi, müşterilerin hizmet almak için beklediklerinde oluşan zaman kaybının maliyeti yani bekleme maliyetidir. İkincisi ise servis sağlama maliyetidir. Bu iki maliyet aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi birbiri ile ters orantılıdır. Kuyruk modeli analizinin sonuçları, servis sağlama ve bekleme maliyetleri toplamının minimum kılınmasında kullanılır. En iyi servis sağlama düzeyi bekleme zamanı maliyeti ile servis sağlama maliyeti toplamının en küçük olduğu noktada gerçekleşir.

Kuyruk sistemlerinin analizi sonucunda kuyruk sistemi ile ilgili bazı önemli performans ölçüleri ile ilgili bilgiler elde edilir. Bu bilgiler özellikle yöneticiler tarafından karar verme sürecinde kullanılır. Bu performans ölçüleri aşağıda açıklanmaktadır.
a. Kuyruk Uzunluğu (Lq): Kuyrukta bekleyen müşterilerin ortalama sayısını gösterir.
b. Sistem Uzunluğu (Ls): Kuyrukta bekleyen ve serviste hizmet alan müşterilerin sayısını gösterir.
c. Kuyrukta Bekleme Süresi (Wq): Bir müşterinin hizmet almak için kuyrukta bekleyerek harcadığı süredir.
d. Sistemde Bekleme Süresi (Ws): Bir müşterinin kuyruğa girişinden hizmet alıp sistemden ayrılışına kadar geçen ortalama süredir.
e. Sistem Kullanım Oranı (ρ): Sistemin meşgul olma olasılığını gösterir.

Gelişlere ve servis birimlerinin yapısına bağlı olarak aşağıda belirtilen kuyruk modelleri bulunmaktadır.
a. Olasılıksal Kuyruk Modelleri: Geliş ve servis oranları değişkendir.
b. Deterministik Kuyruk Modelleri: Geliş ve servis oranları bilinmektedir ve değişmez.
c. Karma Kuyruk Modelleri

Gelişlerarası Süre: Müşteri gelişleri arasındaki süre sabit olabildiği gibi bir dağılıma göre belirlenmiş de olabilir. Eğer gelişler, Poisson dağılımına uygunsa gelişlerarası süre de üstel dağılıma uygun olacaktır.

Müşterilere hizmet etmek için tek bir servis birimi bulunduğunda yani belli bir zamanda sadece bir müşteri hizmet alabildiğinde tek kuyruk, tek servis sistemi söz konusudur. Tek bir gişe görevlisinin hizmet verdiği bilet gişesi ya da tek bir tezgahtarın çalıştığı bir market bu tür sistemlere örnek olarak verilebilir.

Aynı hizmeti veren birden fazla birim bulunması ve tek kuyruk oluşması durumunda tek kuyruk, paralel düzenlenmiş çoklu servis sistemi söz konusudur. Üç tane gişe görevlisinin hizmet verdiği bir seyahat acentası ya da sekiz tane tezgahtarın çalıştığı bir süpermarket bu tür sistemlere örnek olarak verilebilir.

Çoklu kuyruk, paralel düzenlenmiş çoklu servis sisteminde her bir servis biriminin kendisine ait bir kuyruğu bulunmaktadır.

Karma düzenlenmiş kuyruk ve servis sistemi ise tek ve çok kuyruk ile seri ve paralel düzenlenmiş servis sistemlerinin bir kombinasyonundan oluşturulmaktadır.

Kuyruk sisteminin diğer bir öğesi de kuyruk yapısıdır. Bir kuyrukta sırada bekleyen müşteri sayısının en büyük değeri yani kuyruğun büyüklüğü bilinmelidir. Yaygın bir varsayım kuyruk uzunluğunun sonsuz olabileceğidir. Bazı durumlarda bu varsayım sorun yaratmaz. Bazı durumlarda ise kuyruk uzunluğu belli bir üst değere ulaşırsa sonradan gelen birimlerin sistemi terk etmesi söz konusu olabilir.

Kuyruk yapısı ile ilgili bir diğer konu da müşterilerin servise alış biçimlerinin de tanımlanmasıdır. En yaygın olarak kullanılan servise alma kuralı “İlk giren ilk çıkar” kuralıdır. Bunun yanında öncelikli, son gelenin ilk servise alındığı ya da farklı kuralların uygulandığı servise alma kuralları da vardır.

Birim zamanda kuyruğa gelen müşteri sayısını ifade eden ortalama geliş oranı λ ile gösterilir. Gelişlerarası süre sisteme gelen müşteriler arasında geçen süredir. Sisteme gelişler λ ortalama geliş oranı ile Poisson dağılımına sahip olduğunda, ortalama gelişlerarası süre 1/λ ile üstel dağılıma uyar.

Birim zamanda servis gören müşteri sayısını ifade eden ortalama servis oranı µ ile gösterilir. Geliş sürecinde olduğu gibi servis oranı, µ ortalama servis oranı ile Poisson dağılımına sahip olduğunda, servis süreleri ortalama servis süresi 1/µ ile üstel dağılıma uyar.

Sistem Uzunluğu (Ls): Kuyrukta bekleyen ve serviste hizmet alan müşterilerin sayısını gösterir.

Kuyruk Uzunluğu (Lq): Kuyrukta bekleyen müşterilerin ortalama sayısını gösterir.