YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI II - Deneme Sınavı - 13

Markov zincirinin marka geçişi veya pazarlama kararlarında uygulayabilmek için müşteri kazanımlarını, elde tutma ve kayıplarını gösteren bir geçiş olasılığı matrisinin düzenlenmesi gerekir.

Geçiş olasılıkları matrisi iki şekilde ifade edilebilir. Satırlar toplamı 1 olan matrisin satırında kendisine bağlı müşterilerin olasılığı ile diğer şirketlere kaybettiği müşterilerin olasılığını, matrisin sütunları ise kendisine bağlı ve diğer şirketlerden gelen (kazandığı) müşterilerin olasılığını yani yüzdesini gösterir.

Sütunlar toplamı 1 olan geçiş olasılıkları matrisinin satırları kendine bağlı kalan müşteriler ile diğer şirketlerden gelen (kazandığı) müşteri olasılıklarını, sütunları ise kendine bağlı olan müşterilerin olasılığı ile diğer şirketlere kaybettiği müşterilerin olasılığını gösterir.

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap E’dir. Geçiş olasılığı matrisine ilişkin olarak seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur.

Markov zincirinde kendi dışındaki başka bir duruma geçiş olasılığı olmayan durumlara (yani p_ii = 1, p_ij =0   j≠1 ise) yutucu durumlar adı verilir, dolayısıyla doğru cevap A’dır. Seçeneklerde yer alan diğer durumların tanımları şöyle ifade edilebilir:

Tanım: Durum i’den durum j’ye giden bir yol var ise j durumu ulaşılabilir durumdur.

Tanım: Durum i’den j durumuna ve de durum j’den i durumuna ulaşılabilirse bu iki i ve j durumu iletişimlidir.

Tanım: Durum i’den durum j’ye ulaşılırken durum j’den durum i’ye ulaşılmaz ise durum i geçici bir durumdur.

Tanım: Bir durum geçici değilse ona tekrarlayan (yinelenen) durum denir.

Zaman içinde öngörülemeyecek biçimde gelişen süreçlere stokastik süreçler denir. Stokastik süreçler sürekli zaman stokastik süreçler ve kesikli zaman stokastik süreçler olarak ikiye ayrılır. Bu ünitenin temel konusunu oluşturan Markov zinciri bir kesikli zaman stokastik sürecinin özel türüdür.

Markov süreçlerinde ileride ortaya çıkması olası durumların gerçekleşme olasılıkları, geçmiş verilere göre değil, şuandaki verilerden yararlanarak bulunur. Bir sistemde bir durumdan diğer bir duruma geçiş, sistemin sadece bir önceki durumuna bağlıdır. Dolayısıyla, Markov sürecinde bir önceki durum dışında diğer daha önceki durumların bilinmesine gerek yoktur. Birinci derece Markov süreci, gelecekteki olayın olasılığı son olaya bağlı ve daha önceki olaya bağlı olmama varsayımına dayanır. Çalışmamızda ele aldığımız Markov süreci birinci dereceden ve durağan durum özelliklidir. Durağan Markov zincirinde geçiş olasılığı (p_ij) t zamanında i durumunda verilen sistemin, t+1 zamanında j durumunda olma olasılığıdır.

Vektör Q_n = [q₁, q₂, …, q_n] Markov zinciri için başlangıç olasılık dağılımıdır. P(X₀=i) q_i ile ifade edilir.

Markov zincirinde geçişlerin özelliği ve yapısını iyi anlamak için gerekli olan; yol, ulaşılabilir durum,  iletişimli durum, kapalı küme, yutucu durum, geçici durum, yinelenen durum, dönemsel ve dönemsel olmayan durum ve ergodiklik tanımları yapılarak durumlar sınıflandırılmıştır. Kendi dışındaki başka bir duruma geçiş olasılığı olmayan durumlara (yani p_ii = 1, p_ij =0   j≠1 ise) yutucu durumlar adı verilir. Yutucu durumlar içeren bir Markov sürecinin yutulma olasılığı birdir. Bir anlamda, belli bir adımdan sonra süreçte muhakkak bir yutucu duruma ulaşılır ve bu andan itibaren yutucu olmayan durumlar arası geçiş olasılığı sıfır olur.

n. adımda geçiş matrisi (Pⁿ), geçiş olasılık matrisi P’nin n’inci kuvveti hesaplanarak bulunur; P⁽ⁿ⁾=P^n-1.P dir. Bundan da, i durumundan j durumuna n. adımda geçiş olasılığı P _ij ⁽ⁿ⁾=Pⁿ matrisin (i, j)’inci elemanı olarak elde edilir.

Bir geçiş olasılıklar matrisinin tüm kuvvetlerinde bulunan tüm elemanların hepsi sıfırdan farklı ve pozitif ise bu geçiş olasılıkları matrisine düzenli (regular) matris denir.

Geçiş olasılıkları matrisi bir kare matris olup matrisin her satırında veya sütununda yer alan elemanların toplamı bire eşittir. Aynı zamanda geçiş olasılıkları veya geçiş matrisinde yer alan her eleman pozitif değerlidir.

Durumların geçiş sayıları sonsuz sayıda arttığında durum başlangıç olasılık dağılım vektörü Q_n = [q₁, q₂, q₃, …, q_n] durağan veya denge durumuna ulaşır. n sonsuza yaklaştığında denge durum olasılıkları toplamı (q₁+q₂+q₃+…+q_n=1) bir olur. Denge durumuna ulaşmak için de Q=Q.P formülünden ve q₁+q₂+q₃+…+q_n=1 koşulundan yararlanılır. Söz konusu formül ve eşitlik koşulundan yararlanarak şirketlerin gelecekteki denge pazar paylarının ne olacağı hesaplanabilir. 

Bu bilgilerden de anlaşıldığı gibi doğru cevap E’dir. Markov zincirine ilişkin olarak seçeneklerde yer alan ifadelerin tümü doğrudur.

Kuyruk sistemlerinin temel öğeleri şunlardır: a. Geliş süreci, b. Servis süreci, c. Kuyruk yapısı.

Kuyruk modellerini göstermek için altı karakterli bir notasyon kullanılmaktadır. Geliş ve servis süresi dağılımlarını gösteren standart kısaltmalar aşağıda belirtilmiştir. M: Poisson / Üstel dağılım. D: Sabit değer. Ek: Erlang dağılımı. N: Normal dağılım. U: Düzgün dağılım. GI: Gelişlerarası sürenin genel dağılımı. G: Servis süresinin genel dağılımı

FCFS: İlk gelen ilk çıkar.

LCFS: Son gelen ilk çıkar.

SIRO: Rastgele seçim.

PRI: Öncelikli seçim.

GD: Genel kuyruk disiplini.

M/M/1/FCFS/∞/∞ Kuyruk Modeli

M/M/K/FCFS/∞/∞ Kuyruk Modeli

Bir şebeke düğüm ve dallar ile tanımlanır ve birbirine dallar ile bağlanmış bir dizi düğümden oluşur. Ayrıca bir şebeke (N, A) simgesiyle ifade edilir. N düğüm kümesini A ise dallar veya bağlantılar kümesini gösterir.

Yol, her bir daldaki akışın yönüne bakılmaksızın iki düğümü birleştiren ayrı dalların dizisidir. Yol bir düğümü kendisine bağlıyorsa bir döngü oluşur. Yönlendirilmiş döngüde tüm dallar aynı yöne yönlendirilmiştir. Yol, her bir daldaki akışın yönüne bakılmaksızın iki düğümü birleştiren ayrı dalların dizisidir. Yol bir düğümü kendisine bağlıyorsa bir döngü oluşur. Yönlendirilmiş döngüde tüm dallar aynı yöne yönlendirilmiştir.

1. Şebeke içinde rasgele bir düğüm seçilerek onun kendisine en yakın olan düğüm ile birleştirilir.

2. Birleştirilmiş herhangi bir düğümden en yakın birleştirilmemiş düğüm belirlenir. Sonra bu birleştirilmemiş düğüm en yakınındaki birleştirilmiş düğüme bağlanır.

3. Şebekedeki tüm düğümler bağlanıncaya (birleştirilinceye) kadar adım 2 tekrar edilir.

Bu durumda park için en küçük yayılma ağacı şekildeki gibi olup, bağlantılı yol yapımı toplam 22 km’ dir 

 

Lojistik şirketi için en kısa yol 1 3 6 9 10 yoludur. 

Denizli-Uşak-Kütahya-Kocaeli-İstanbul