YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I

Tabloda görüldüğü üzere, ürünler, genel gösterimde yer almaz.

X11=1 , X23=1 ise X32=1 olacaktır. Teknisyen-proje atamaları için, 

Teknisyen A - Proje 1,

Teknisyen B - Proje 3, 

Teknisyen C - Proje 2 doğrudur. Yanıt B seçeneğidir.

Kaynaklar ve hedefler arasındaki mal veya hizmet akışı ile ilgili olan ulaştırma problemlerinde, birden fazla hedef noktasına dağıtım yapabilmek mümkündür. Atama problemlerinde ise, bir kaynak noktasından sadece bir hedefe atama yapılabilmekte ve bir hedefe sadece bir kaynak noktası atanabilmektedir.

Ulaştırma probeminde, dağıtımı yapılacak mal veya hizmet olarak tanımlanmış ürün, bütün üretim ve tüketim merkezleri için aynı birim ve türde tanımlıdır.

Ulaştırma problemlerinde iki temel kısıt vardır:

Birinci fabrikanın toplam kapasitesi 1000 adet olduğundan, birinci ve ikinci depoya gönderebileceği maksimum adet 1000’dir.

Birinci fabrikadan, birinci depoya taşıma maliyeti 30 birimdir. Birinci fabrikadan ikinci depoya taşıma maliyeti 15 birimdir. İkinci fabrikadan birinci depoya taşıma maliyeti 10 birimdir. İkinci fabrikadan ikinci depoya taşıma maliyeti 40 birimdir.

Üretim merkezi sayısı “m” ve talep merkezi sayısı “n” iken, dengelenmiş ulaştırma modelinin bir temel uygun çözümünde en fazla (m + n -1) adet değişken temelde yer alabilir.

Her dengelenmiş ulaştırma modelinin en az bir uygun çözümü olup, eniyi çözümü de vardır.

Ulaştırma modelinde, sunum ve talep miktarlarına karşı gelen değerler tamsayı ise, karar değişkenleri her temel uygun çözümde, eniyi çözümde tamsayı olan değerler alır.

Ulaştırma problemleri, doğrusal karar modelini oluşturup simpleks algoritmasını kullanarak çözülebilir. Bu durumda problemi dengelemeye gerek yoktur.

Ulaştırma problemleri için geliştirilmiş çözüm algoritmasının başlıca üç adımı bulunmaktadır:

Dengelenmiş ulaştırma modeline bir başlangıç temel uygun çözüm bulmak için en çok kullanılan üç yöntem vardır. Bu yöntemler,

olarak sıralanabilir.

Macar algoritması ile ilk önce her satırdaki en küçük Cij seçilip, diğer atama giderlerinden bu değer çıkartılarak, satırlara göre indirgenmiş tablo bulunur. Yanıt D seçeneğidir.

Ulaştırma tablosu üzerinden çözüm işlemlerini yürütebilmek için, modelin dengelenmiş olması gerekmektedir. Bir ulaştırma modeli dengelenmemiş ise, yapay kaynak ya da yapay hedef noktası eklentisiyle, model dengelenmiş hale dönüştürülebilir. Bu durumda eklenen yapay noktanın sunum ya da talep miktarı, toplam sunum ile toplam talep arasındaki fark kadar olur. Yapay noktalara karşı gelen birim taşıma maliyetleri ise aksi belirtilmedikçe sıfır olarak alınır. Bazen yapay kaynak noktasına ait taşıma maliyetlerine sıfır yerine, belirlenen ceza maliyetleri de verilebilmektedir.

Ulaştırma tablosu üzerindeki bir hücreden başlayarak, yine aynı hücrede sona eren, köselerinde en az dört farklı hücrenin sıralandığı kapalı güzergaha döngü, çevrim veya yörünge denmektedir. Bir güzergahın döngü oluşturması için izleyen şartların sağlanması gerekir:

Macar algoritması ile atama problemini çözebilmek için, aşağıdaki koşulların sağlanması gerekir:

Dağıtım merkezleri i, depolar j indisi ile ifade edildiğinden ve 1. dağıtım merkezi sorulduğundan, Xij ifadesinde i yerine 1 konulacaktır. i dağıtım merkezi 3 depoya birden elindeki maksimum ürün sayısı olan 100 ürünü gönderecektir. 3. deponun talep miktarı 65 olup, taleplerini iki adet dağıtım merkezinden karşılayacak olup, bu kısıtları ifade eden denklemler aşağıdaki gibi yazılır:

Yanıt E seçeneğidir.

Tablonun en kuzeybatısında yer alan X11 hücresi seçilir ve o hücreye alabileceği maksimum değer olan "125" atanır. Daha sonra ilk sütun kapatılır. Kuzeybatıda kalan X12 hücresine alabileceği en büyük değer olan "80" değeri atanır. Benzer şekilde 2. sütun da kapatıldıktan sonra, kuzeybatıda kalan X13 hücresine alabileceği en yüksek değer olan "20" atanır ve ilk satır kapatılır. Daha sonra en kuzeybatıda kalan X23 hücresine "75" değeri atanır ve ikinci satır ve üçüncü sütun da kapatıldıktan sonra, X34 hücresine de "100" değeri atanır.  

Yanıt B seçeneğidir.

Talep miktarları toplamı 500 olduğu için, sunum miktarlarının toplamının da 500 olması gerekir ki, cevap 175 olacaktır.  Böylelikle modeldeki talep ve sunum miktarları eşit olacaktır. Doğru cevap A seçeneğidir.

Modelde talep miktarı 500, sunum miktarı 400 olduğundan dolayı, talebin karşılanması için eksik kalan 100 birimlik miktar yapay kaynaktan karşılanacaktır. 

Yanıt B seçeneğidir.

En küçük maliyetli hücre X21 olup, maksimum atama miktar olan 10 ataması yapılır. Daha sonra sırasıyla X32, X23, X33 ve X13 hücrelerine alabilecekleri maksimum değerler atanır. Toplam maliyet;

10*0 + 10*1 + 5*6 + 3*2 + 2*5 = 56

Yanıt C seçeneğidir.

Her biri bir düğüm olarak gösterilen si kapasitesine sahip m adet kaynak noktası ve her biri dj talebine sahip n adet hedef noktası vardır. Düğümleri birleştiren oklar, kaynaklarla hedefler arasında mümkün olan taşıma rotalarını göstermektedir. (i, j) bağlantısı, i. kaynaktan j. hedefe ürün gönderilebildiği anlamına gelmekte, taşıma maliyeti ve taşıma miktarı olmak üzere iki tür bilgi içermektedir. Amaç, mevcut kaynakları kullanarak tüm talebi karşılayacak şekilde en küçük maliyetli dağıtım planının bulunmasıdır.

Ulaştırma problemlerinin taşıdığı genel özellikler aşağıdaki gibi sıralanabilir: 1. Bir mal veya hizmet şeklinde ürün gönderen, m adet üretim merkezi vardır. Üretim merkezlerinin kapasiteleri bilinmektedir. 2. Ürünün gönderildiği n adet tüketim merkezi vardır. Tüketim merkezlerinin talep ettikleri miktarlar bilinmektedir. 3. Bir üretim merkezinden bir tüketim merkezine gönderilen her 1 birim ürün için ortaya çıkan birim taşıma (gönderme) maliyeti bilinmekte olup, toplam taşıma maliyeti taşınan miktarla doğru orantılı olarak değişmektedir. 4. Dağıtımı yapılacak mal veya hizmet olarak tanımlanmış ürün, bütün üretim ve tüketim merkezleri için aynı birim ve türde tanımlıdır.

Ulaştırma tablosu, üretim merkezleri satırlarda, tüketim merkezleri sütunlarda olmak üzere m×n sayıda hücresi olan bir tablodur. Üretim ve tüketim merkezlerinin kesiştiği her bir hücre, bir karar değişkenine karşı gelir. Her hücrenin sağ veya sol üst köşesine birim taşıma maliyetleri yazılır. Üretim merkezlerinin kapasiteleri, satırların en sağında; tüketim merkezlerinin talepleri de sütunların altında yer alır.

Eğer bir ulaştırma modelinin toplam sunum miktarı toplam talep miktarına eşit ise, “dengelenmiş ulaştırma modeli”, eşit değilse “dengelenmemiş ulaştırma modeli” olarak adlandırılır.

Ulaştırma tablosu üzerinden çözüm işlemlerini yürütebilmek için, modelin dengelenmiş olması gerekmektedir. Bir ulaştırma modeli dengelenmemiş ise, yapay kaynak ya da yapay hedef noktası eklentisiyle, model dengelenmiş hale dönüştürülebilir. Bu durumda eklenen yapay noktanın sunum ya da talep miktarı, toplam sunum ile toplam talep arasındaki fark kadar olur. Yapay noktalara karşı gelen birim taşıma maliyetleri ise aksi belirtilmedikçe sıfır olarak alınır. Bazen yapay kaynak noktasına ait taşıma maliyetlerine sıfır yerine, belirlenen ceza maliyetleri de verilebilmektedir.