YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I

Yeni z değeri = Eski z değeri + Δi. (i. kısıtın gölge fiyatı) dır.

Δ1= (-300).4,55-(-300).4,5=-15

Yeni z değeri=1200+ (-15)=1185

y₁=3/8 y₂=0, y3=7/8 ikil değişkenlerdir. Diğer bir değişle gölge fiyatlardır. y₁=3/8 y₃=7/8 olması bu problemin hala eniyilenebileceğini, yani kaynak kısıtı olmaması durumunda eniyilenmenin devam edebileceğini gösterir fakat kaynakların tamamı tükenmiştir. Bu nedenle S₁=0 ve S₃=0 olur. y₂=0 olması gölge fiyatının 0 olması demektir. yani probleme herhangi bir katkısı yoktur ve S2 kısıtının tam olarak tüketilmediğini ve artmış olduğunu gösterir. Kısacası S₂>0 olur. Doğru cevap E'dir.

Asıl modele karşılık gelen ikil model 

Asıl ve ikil modellerin grafik yöntemle çözümüne bakıldığında hem asıl hem de ikil modelin uygun bir çözümü yoktur.

x

Boşluk değişkeni, eniyi çözümde kısıtın eşitsizliğin sol tarafındaki değeri ile sağ taraf sabiti arasındaki farkı veren değişkendir. Eğer kısıt “≤” türünde ise boşluk değişkeni “aylak değişken”, kısıt “≥” türünde ise boşluk değişkeni “artık değişken “ olarak adlandırılır.

Asıl ve ikil problemlerin çözümleri arasındaki ilişkiler üç ana özelliğe bağlı olarak açıklanabilir. Bunlar, her iki problemin uygun çözümleri arasındaki ilişkiyi tanımlayan “zayıf ikillik özelliği”, her iki modelin de eniyi değerlerinin eşit olduğunu belirten “güçlü ikillik özelliği” ve eniyi çözümleri ilişkilendiren “aylaklığın tamamlayanı özelliği” olarak adlandırılmaktadır.

Güçlü ikillik özelliğine göre, asıl veya ikil problemden herhangi birisi sınırlı değerde bir eniyi çözüme sahipse, diğerinin de mutlaka bir eniyi çözümü vardır ve her iki problemin eniyi değerleri birbirine eşittir.

Aylaklığın tamamlayanı, ikillik üzerine geliştirilen kavram ve teknikleri bütünleştirerek, asıl ve ikil problemlerin eniyi çözümlerini ilişkilendiren önemli bir özelliktir.

2Y₁+Y₂ ≥3

9Y₁+4Y₂≥2

Y1≥0, Y₂ serbest

Kısıtlar altında

Enkv= 32Y₁+20Y₂

Doğru cevap cevap E'dir.

Doğrusal programlama modellerinde amacı enbüyükleme ve  tüm kısıtların ≤ tipinde olan modellere kanonik modeller denir. Doğru cevap A'dır.

Z satırında S₁ ve S₂ satırına karşılık gelen değerler ikil değişkenlerin değerleridir. Doğru cevap B'dir.

Asıl ve ikil modellerin amaçları karşıt yöndedir. Bir model enbüyükleme amaçlı ise diğeri enküçükleme amaçlıdır.

Asıl modelde n adet karar değişkeni bulunurken, ikilinde n adet kısıt yer almaktadır. Bir diğer deyişle asılın her değişkeni ikilin bir kısıtına karşı gelmektedir.

Kanonik biçimde, enbüyükleme problemleri için tüm kısıtlar ≤, enküçükleme problemleri için ise ≥ biçiminde olur.

Bir doğrusal programlama probleminin eniyi çözümünde,

değişken > 0,

değişken = 0,

değişken>0

 olmak zorundadır. Kısaca, eniyi çözümde asıl veya ikil

modelde bir kısıt sıkı değilse, diğer modelde bu kısıta

karşı gelen değişken sıfıra eşit olmak zorundadır.

İkillik ya da Latince kökenli adıyla dualite kelimesi, farklı alanlarda değişik anlamlara sahip olsa da, genel olarak karşıtlık ve birbirini tamamlayıcılık özelliklerine işaret etmektedir. Siyah-beyaz bir daireyle gösterilen, Uzakdoğu ve özellikle bir Çin felsefesi olarak tanınan Yin ve Yang, ikillik ilkesini çok iyi anlatır. Bu düşünceye göre, her şeyin birbirinden ayrılamaz iki karşıt kutbu vardır. Kutuplar az da olsa karşıtını mutlaka içerisinde barındırır ve karşıtlar birbirine dönüşebilen yapıdadır.

Doğrusal programlamada ikilliğin önemli olmasının başlıca üç ana nedeni bulunmaktadır. Bunlar şöyle sıralanabilir. İkil modelin değişkenlerinden hareketle, asıl problemle ilgili önemli ekonomik açıklamalarda bulunma ve yorum yapma imkanı sağlar. Modelin yapısındaki veya parametrelerindeki değişimleri inceleyen duyarlılık analizleri ile ilgili işlemlere katkıda bulunur. Bazı durumlarda ikillik, ilgilenilen asıl problemin çözümünü kolaylaştırır.

Kanonik biçimli ve enbüyükleme amaçlı bir problemin ikilini yazarken ortaya çıkan durumlar şu şekilde özetlenebilir: Asıl modelde amaç fonksiyonunun enbüyük değeri aranıyor iken, ikil modelde bunun karşıtı olan enküçük değer araştırılmaktadır. Asıl modelde tüm kısıtların yönü ≤ iken, ikil modelde tüm kısıtların yönü bunun karşıtı olan ≥ şeklindedir. Asıl modelde m adet kısıt varken, ikil modelde m adet karar değişkeni bulunmaktadır. Bir başka deyişle asılın her kısıtı için bir ikil değişken tanımlanmaktadır.

Kanonik biçimli ve enbüyükleme amaçlı bir problemin ikilini yazarken ortaya çıkan durumlar şu şekilde özetlenebilir: Hem asıl hem de ikil modelin değişkenleri sıfırdan büyük eşit olarak tanımlanmıştır. Asıl model kısıtlarının sağ taraf sabitleri, ikilin kısıtlarının değil amaç fonksiyonunun katsayılarıdır. Asıl modelde n adet karar değişkeni bulunurken, ikilinde n adet kısıt yer almaktadır. Bir diğer deyişle asılın her değişkeni ikilin bir kısıtına karşı gelmektedir.

Zayıf ikillik özelliğine göre, asıl ve ikil problemlerin her ikisi de uygun çözümlü olduğunda, bu modellerin herhangi uygun çözümlerine karşı gelen amaç fonksiyonu değerleri arasında daima, [Enbüyükleme probleminin amaç fonksiyonunun değeri]≤[Enküçükleme probleminin amaç fonksiyonunun değeri] ilişkisi sağlanır.