YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I

Asıl model kısıtlarının sağ taraf sabitleri (bi), ikilin amaç fonksiyonu katsayılarıdır.

Bir doğrusal programlama probleminin eniyi çözümünde, i. asıl kısıtın boşluk değişkeni = 0 olması durumunda i.nci ikil değişken > 0 olmaktadır.

Fayda - maliyet analizi yapmakta kullanılan gölge fiyatlar, herhangi bir üretim kaynağının miktarının bir birim arttırılması veya azaltılması durumunda amaç fonksiyonu değerinde meydana gelecek artış veya azalış olarak tanımlanır.

Asıl ve ikil problemler arasında bağlantılara göre asıl problemdeki her bir fonksiyonel kısıda bir ikil değişken karşılık gelmektedir. Doğru cevap a dır.

Asıl problemin en iyi çözümünün x*=(2,0) olduğu geometrik yöntemle kolaylıkla bulunabilir. Bu çözüme karşı gelen asıl problemin en iyi değeri z* = 2 × 2 = 4 olduğu hesaplanır. Güçlü ikilik özelliğine göre, bu problem için asıl ve ikil problemlerin en iyi değerleri bir birine eşit olduğundan, ikil problemin de en iyi değerinin v* = 4 olduğu sonucuna varılır. Doğru cevap, d) şıkkında verilmiştir.

Verilen (1,1) noktasında asıl problemin amaç fonksiyonu için z = 2 + 1 = 3 değeri elde edilir. Zayıf ikilik özelliğine göre, enküçükleme şeklinde tanımlanacak ikil problemin en iyi değeri, bu değerden daha küçük olamaz. Böylece bu özelliğe dayanarak, ikil problemin amaç fonksiyonunu için elde edilebilecek en sıkı alt sınır v* ≥ 3 olmalı. Doğru cevap, c) şıkkında verilmiştir.

Asıl modelde m adet kısıt varken, ikil modelde m adet karar değişkeni bulunmaktadır. Bir başka deyişle asılın her kısıtı için bir ikil değişken tanımlanmaktadır. Asıl modelde n adet karar değişkeni bulunurken, ikilinde n adet kısıt yer almaktadır. Bir diğer deyişle asılın her değişkeni ikilin bir kısıtına karşı gelmektedir.

Kanonik biçimdeki bir doğrusal programlama probleminde en büyükleme problemi için tüm kısıtlar ≤ tipindedir. Bu biçimde bir model d seçeneğinde verilmiştir. Doğru cevap d’ dir.

Kanonik model en küçükleme amaçlı ise ikili enbüyükleme amaçlı olmalıdır. Bununla birlikte asıl modelin kısıtlayıcı sayısı kadar ikil modelin karar değişkeni olur ve asıl modelde tüm kısıtlayıcılar ≤ biçiminde iken ikilinde ≥ olacaktır. Hatırlanacağı üzere asıl modelin amaç fonksiyonu katsayılarının ikilinin sağ taraf sabitleridir. Bu durumda i-iii-iv maddeleri geçerlidir. Cevap d’ dir.

Kanonik biçimli enbüyükleme tipi problemin kısıtlayıcıları ≤ olur. İkil problemde bu kısıtlayıcılar ≥ olur. B seçeneğinde bu ifade ters ifade edilmiştir. Bu nedenle doğru cevap b’ dir.

Genel bir doğrusal programlama modelinin ikilinin alınmasında ilk iki madde geçerlidir. Bir modelde bir kısıt eşitlik olarak ifade edilmişse bu kısıta karşılık gelen karar değişkeni işaretçe serbest olur. Dolayısıyla i-ii doğru iken iii. Madde yanlıştır. Doğru cevap d’ dir.

İkil problemin çözümü ile kaynakların birim fiyatlarının ne olacağı araştırılmaktadır. Doğru cevap c’ dir.

Bir doğrusal programlama problemi için geliştirilen asıl ve ikil modellerden birisi enbüyükleme amaçlı ise diğeri enküçükleme amaçlı olacaktır. Zayıf ikililik özelliğinden yararlanılarak asıl ve ikil modellerin en iyi değerleri için sınırlar belirlenebilir. Örneğin bir uygun en büyükleme probleminin herhangi bir uygun çözümüne karşılık gelen amaç fonksiyonu değeri için bir alt sınır değerini verir. Buna karşılık enbüyükleme probleminin bir uygun çözümüne karşı gelen amaç fonksiyonu değeri, enküçükleme probleminin eniyi değeri için bir alt sınır değeri oluşturacaktır. Bu durum b seçeneğinde ifade edilmiştir.

Herhangi bir üretim kaynağının miktarının bir birim arttırılması veya azaltılmasının amaç fonksiyonuna etkisi gölge fiyat olarak isimlendirilir. Doğru cevap c’ dir.

Bir doğrusal programlama probleminin en iyi çözümünün olabilmesi için asıl ve ikil modeller için her üç durumunda geçerli olması gereklidir. Doğru cevap e’ dir.

İkilliğin önemli özelliklerinden birisi “Bir doğrusal programlama probleminin ikil modelinin ikili, asıl modele karşı gelir” olarak tanımlanmaktadır.

Asıl problem, kaynak kısıtları altında, en büyük kazançlı ürün imal etme ya da satma problemidir. İkil problem, asıl problemin karşıtı olarak, kâr kısıtları altında, en küçük maliyetli kaynak satın alma problemi olarak ortaya çıkar.

Enbüyükleme probleminin eniyi değeri = Enküçükleme probleminin eniyi değeri

Asıl modelin uygun bir çözümü olup amaç fonksiyonu değeri sınırsız olduğunda, ikil modelin uygun çözümü yoktur.

Doğrusal programlamada ikilliğin önemli olmasının başlıca üç ana nedeni bulunmaktadır:
1. İkil modelin değişkenlerinden hareketle, asıl problemle ilgili önemli ekonomik açıklamalarda bulunma ve yorum yapma imkanı sağlar.
2. Modelin yapısındaki veya parametrelerindeki değişimleri inceleyen duyarlılık analizleri ile ilgili işlemlere katkıda bulunur.
3. Bazı durumlarda ikillik, ilgilenilen asıl problemin çözümünü kolaylaştırır.