YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI I

Bir problemde, karar değişkenleri ve parametrelerle ilgili olarak; doğrusallık, toplana bilirlik, bölünebilirlik ve belirlilik varsayımları geçerli ise bu problem doğrusal programlama problemi olarak modellenip çözülebilir.

Kısıtlayıcılardaki karar değişkenlerinin katsayıları (a_ij), farklı ürünlerin üretiminde kullanılan teknolojiyi yansıttığı için, teknolojik katsayılar adı verilir.

Bir problemde karar vericinin kontrolü altında olup da, değeri araştırılan eylemler, karar değişkenlerdir.

Herhangi bir doğrusal programlama modeli, belirlenen amaç fonksiyonunu minimize veya maksimize edecek karar değişkenlerinin değerini bulmak için kurulur.

Bu soruda depolama alanlarının belirli bir kapasitesi vardır. Bu sebeple depolama alanları tedarikçi olarak düşünülebilir. Dosya türleri de farklı sayılarda talepleri bulunduğu için müşteri olarak ele alınabilir. Herbir dosyaya erişim süresi depolama alanına göre değişmektir. Bu süreler de birim taşıma maliyeti olarak olarak düşünülürse problem, bir taşıma (ulaştırma) problemidir.

BİLGİSAYAR HAFIZASI için i=2'dir. bilgisayar hafızası üç tür dosyayı da saklamak için kullanılabilir. ancak bir kapasite kısıt vardır. bilgisayar hafızasına en fazla 100 adet doysa depolanabilir. bu sebeple kısıtımız küçük eşitlik kısıtıdır.

Bu varsayım modelin amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı fonksiyonları ile ilgilidir. Doğrusallık varsayımı, işletmenin girdileri ile çıktıları arasında doğrusal bir ilişkinin olduğunu gösterir. Üretim düzeyi artarken aynı oranda üretim girdileri de artar. Eğer, Xj’inci eylem için amacın oluşumu doğrusallık özelliği gösteriyorsa, Xj’nin her bir birim değerinin kara katkısı cj iken, Xj’nin çözüm değerinin amaca katkısı cjXj kadar olur. Bunun yanında karar problemine esas olan bi’inci kaynaktan her bir birim Xj için gerekli kaynak miktarı aij olmak üzere Xj için kaynak gereksinimi aijXj kadar olur. Kısıtlar ve amaç fonksiyonu birinci dereceden fonksiyon olmalıdır. Aksi takdirde, doğrusal olmayan programlama söz konusu olur. Bu varsayım, her bir karar değişkeninin; gerek amaç fonksiyonu, gerekse tük kısıtlayıcılara etkisinin söz konusu değişkenin (Xj ) değeriyle doğru orantılı olması gerektiğinin ifade eder.

aij kısıtlardaki teknik katsayılar; Z amaç fonksiyonu değeri; bi sağ taraf sabiti ve cj de birim maliyeti simgeler. Bunların her biri parametredir. matematiksel modellerde genellikle alfabenin son harfleri karar değişkenlerini simgelemek için kullanılır. x, y gibi.

hem amaç fonksiyonu hem de kısıtlayıcılar doğrusal yapıda olmalıdır. bu sebeple a ve d şıkları yanlıştır. Doğrusal programlamanın varsayımlarından bölünebilirlik varsayımına göre Modelin karar değişkenleri Xj’ler, her türlü reel değerleri alabilir. bu sebeple B şıkkı doğru değildir. doğrusal programlamada karar modelleri sınırlı kaynak kapasitesini en etkin şekilde kullanmayı amaçlar. e şıkkı da yanlıştır.

Herhangi bir doğrusal programlama probleminde karar verici, karar değişkenlerinin bazı fonksiyonunu maksimum veya minimum yapmak ister. Maksimum veya minimum yapılmak istenen fonksiyona, amaç fonksiyonu adı verilir.

karar değişkenleri x sembolü ile işaretlenir. Problem üretim problemi olduğu için karar değişkeni negatif değer alamaz.

Doğrusal programlama, belirli bir amaca ulaşmak için, bazı kısıtlayıcılar altında kıt kaynakların en verimli şekilde kullanılmasını sağlayan bir matematiksel yöntemdir. Bu şekilde varılmak istenen amaç, kâr maksimizasyonu (en büyükleme) veya maliyet minimizasyonu (en küçükleme) olarak belirlenebilir.
Doğrusal programlamada “doğrusal” sözcüğü, fonksiyonların doğrusallığını, “programlama” ise planlama işlemini ifade etmektedir.

Doğrusal programlamanın uygulama alanları :
• Ulaştırma ve lojistik problemleri,
• Endüstriyel üretim planlaması ve envanter (stok) kontrolü
• Personel programlaması
• Beslenme(diyet) problemleri
• Karışım problemleri
• Tarımsal planlama
• Finansal planlama
• Yatırım planlaması
• Sağlık sistemleri
• Askeri planlama
• Trafik planlaması
• Atama problemleri
• Reklam seçimi problemleri
• Karışım problemle

Doğrusallık (Oranlılık) Varsayımı: Modelin amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcı fonksiyonları ile ilgilidir. Doğrusallık varsayımı, işletmenin girdileri ile çıktıları arasında doğrusal bir ilişkinin olduğunu gösterir. Üretim düzeyi artarken aynı oranda üretim girdileri de artar. Eğer, Xj’inci eylem için amacın oluşumu doğrusallık özelliği gösteriyorsa, Xj’nin her bir birim değerinin kara katkısı cj iken, Xj’nin çözüm değerinin amaca katkısı cjXj kadar olur. Bunun yanında karar
problemine esas olan bi’inci kaynaktan her bir birim Xj için gerekli kaynak miktarı aij olmak üzere Xj için kaynak gereksinimi aijXj kadar olur. Kısıtlar ve amaç fonksiyonu birinci dereceden fonksiyon olmalıdır.
Aksi takdirde, doğrusal olmayan programlama söz konusu olur. Bu varsayım, her bir karar değişkeninin; gerek amaç fonksiyonu, gerekse tük kısıtlayıcılara etkisinin söz konusu değişkenin (Xj ) değeriyle doğru orantılı olması gerektiğinin ifade eder.

Doğrusal programlama modelindeki tüm parametrelerin (amaç fonksiyonu katsayıları-cj, sağ taraf sabitleri-bi ve teknoloji katsayıları- aij) biliniyor olduğu varsayımıdır. Parametre değerlerini kesin olarak biliniyor olması varsayımı, modelin deterministtik model olduğunun göstergesidir

Model doğrusal programlama gibi standart bir matematiksel model halinde ifade edilebiliyorsa, bilinen algoritmalar yardımıyla çözüme ulaşılabilir. Bir problemin, doğrusal programlama modeli kurulurken önce karar değişkenleri tanımlanır, sonrada amaç fonksiyonu ve kısıtlayıcılar formüle edilir.

Herhangi bir doğrusal programlama probleminde karar verici, karar değişkenlerinin bazı fonksiyonunu maksimum veya minimum yapmak ister. Maksimum veya minimum yapılmak istenen fonksiyona, amaç fonksiyonu adı verilir. Doğrusal programlama modelinden beklenen sonucun alınabilmesi için, amacın açık olarak bilinmesi ve nicel olarak yazılımı gerekmektedir.

Kısıtlayıcıların sağ taraf sabitlerini oluşturan bi’ler  elverişli kaynak miktarını gösterir. Bu kaynak miktarları kısıtlayıcı fonksiyonuna göre her zaman sınırlı olmaz. Bazen karar değişkenlerinin istediğinden fazla veya tam eşitlikte olabilir. Bu nedenle kısıtlayıcı denklemler, “=” eşitlik şeklinde olabileceği gibi, eşitsizlik şeklinde de olabilir. Eşitsizlik durumu, yukarıda görüldüğü gibi “≤” (küçük eşit) şeklinde olabileceği gibi, “≥” (büyük eşit) şeklinde de olabilir.

Kısıtlayıcılardaki karar değişkenlerinin katsayıları (aij), farklı ürünlerin üretiminde kullanılan teknolojiyi yansıttığı için, teknolojik katsayılar adı verilir.

Üretim Planlaması : Doğrusal programlamanın en yaygın kullanıldığı alanlardan birisi, üretim işletmelerin de maksimum karlı veya minimum maliyetli üretim bileşenlerini belirlemede kullanılmasıdır.