TIBBİ İSTATİSTİK

Bir tesadüfi deneyin tüm olası sonuçları örneklem uzayını oluşturur. Zar üst üste iki kez atıldığından, olası dört sonuç vardır.

Permütasyon hesabıyla bu soru çözülebilir. Bunun için 7.6/2! (pay kısmına toplam birey sayısından başlayarak geriye doğru seçim sayısı kadar sayıyı çarpım biçiminde yaz ve seçim sayısına böl) = 21

İki durumun gerçekleşme olasılığının çarpımıyla bu değer elde edilir. 0,30*0,46

zarların toplamının 6 olması için olası durumlar:

1,1,4; 1,4,1; 4,1,1; 2,2,2; 1,2,3; 1,3,2; 2,1,3; 2,3,1; 3,2,1; 3,1,2

Tüm olası koşullar = 6*6*6

10/216

Normal dağılımda söz konusu değerlerin birbirine eşit olması gerekir.

Bu soruyu yanıtlama için z tablosunun 1.4'lük değeri ilk sütunda bulunur ve bu değerden sağa doğru, yukarıda 0,02 değerinden aşağıya gelinerek kesişen yere kadar gidilir. Bu değerin 0,42 olduğu görülecektir. Bir başka ifadeyle z=1,42 ile ortalama arasında kalan alan yaklaşık 0,42'dir.

z tablosunda 1,42'ye karşılık gelen değer yaklaşık olarak 0,42'dir. Ortalamanın sağ kısmında kalan alan 0.50 olduğuna göre, 0.50-0.44 = 0.08 olarak bulunur.

Bu soru kısaca, P(-1.53 < z < 2.5) = ? şeklinde ifade edilebilir. Bu nedenle önce -1.53 ile 0 arasındaki alan bulunmalı, sonra bu değer 0 ile 2.5 arasındaki değer ile toplanmalıdır. Yani, 

P(-1.53 < z < 2.5) = P(-1.53 < z < 0) + P(0 < z < 2.5 ) biçiminde ifade edilebilir. 

= 0.4770 + 0.4938 = 0.9308 olarak bulunur. Cevap A'dır.

Bir olayın birleşiminin olasılığı, iki olayın ayrı ayrı gerçekleşme olasılıkları toplamından iki olayın kesişim kümesinin çıkarılmasıyla olur. 

A olayının gerçekleşme için zarlar: 2,2 ; 1,3 ; ya da 3,1 şeklinde gelmelidir. Yani P(X) = 3/36'dır. 

B olayının gerçekleme olasılığı ise kısaca şöyle bulunur: iki zarın da birbirine eşit olacağı 6 durum vardır. Bu 6 olasılık, iki zar atınca gerçekleşebilecek tüm olasılıklar olan 6*6 = 36'dan çıkarılır. Geriye kalan 30 ihtimalin yarısında ilk zar ikincisinden, kalan yarısında ise ikinci zar ilkinden büyük olacaktır. Bu nedenle söz konusu olasılık 15/30'dur. 

O halde P = 3/36 + 15/36 - 1/36       olacaktır. Burada 1/36, zarların "1,3" şeklinde gelme olasılığı olup iki olayın kesişim kümesidir.

Meydana gelecek tüm olaylarlar arasında, istenilen olayların oranıdır.

Deney sonuçlarından her birine ise olay denir. Olay örneklem uzayındaki temel sonuçların bir alt kümesidir.

Bir tesadüfi deneyin tüm olası sonuçlarını içeren kümeye örneklem uzayı denir ve S harfi ile gösterilir. S nin eleman sayısı paranın iki yüzü olduğu için ikinin dördüncü kuvveti o da 16 dır.

Tesadüfi bir deneyin sonuçlarına ilişkin olasılık hesabı yapılırken elverişli sonuçların sayısı ve olası tüm sonuçların sayısının bilinmesi için permütasyon ve kombinasyondan yararlanılır. Permütasyon n sayıda elemandan oluşan bir kümenin herhangi bir alt kümesinde yapılan farklı sıralamadır. n sayıda elemandan oluşan bir kümenin elemanlarının kendi aralarında sıralandığında elde edilecek permütasyon sayısı, n tane elemanın hepsini sıralamak yerine sadece r tanesine seçerek ve her sıralanışta her elemanı sadece bir kez kullanmak koşuluyla farklı sıralanışlar yapılabilir.

Bir olayın gerçekleşmesi için yapılan tesadüfi bir deneyde birbirinden farklı ve aynı anda olmayan N tane sonuç içinde bir olayın meydana gelme olasılığı P ile gösterilir ve bu bir olayın meydana gelme şansı olarak tanımlanır. Basit bir olayın olasılığı P ( E ) ile A bileşik olayının olasılığı ise P ( A )ile gösterilir.

Herhangi bir basit ya da bileşik olayın olasılığı sıfır ve bir aralığında yer alır;     

0 ≤ P(E) ≤ 1 ve
0 ≤ P(A )≤ 1 Olasılığı sıfır olan bir olay meydana gelmesi olanaksız olan olaydır.

İki ya da daha fazla olay bir arada meydana gelemiyorsa bu olaylara ayrık olaylar denir. Bu bir olayın otomatik olarak diğer olayın meydana gelmesini engellemek anlamına gelir. Bir araştırmacı A polikliniğine gelen hastaları cinsiyetlerine (kadın, erkek) ve yaşlarına (40’ın altında, 40 ve daha üstü) sınıflandırıyor. Polikliniğe gelen hastalar arasından tesadüfi olarak seçilen bir hasta her iki özelliğe de sahip olabileceğinden bu iki olay ayrık değildir

Bir tesadüfi deneyde birbirinden ayrık ve ortaya çıkma bakımından hepsi eşit şansa sahip bütün olası sonuçların sayısı N olsun. Eğer A olarak tanımlanan bir olay toplam N eşit olasılıklı durumdan M tanesinde gerçekleşiyorsa, o zaman A olayının olasılığı P(A)=M/N olarak ifade edilir.

A olayının meydana gelme olasılığı : 2/8

B olayının meydana gelme olasılığı : 1/8

A Birleşim B olasılığı : 2/8 + 1/8 -1/8 = 2/8 = 0.25

Bir X değişkeni, alabileceği her bir değeri belli bir olasılıkla alıyorsa bu değişkene tesadüfi değişken adı verilir. Bir tesadüfi değişken yalnızca sayılabilir sayıda değerler alabiliyorsa kesiklidir. Kesikli tesadüfi değişkenlere örnekler, büyük bir parti mal içinden alınan yirmilik bir örneklemdeki kusurlu parça sayısı, bir polikliniğe bir saat içinde gelen hasta sayısı vb. Bunların tersine, günlük hava sıcaklığıyla ilgilendiğimizi düşünelim. Sıcaklık, sürekli bir ölçekle ölçülür ve sürekli bir tesadüfi değişkendir. Bir tesadüfi değişken tanımlı bir aralıktaki tüm değerleri alabiliyorsa süreklidir. Bir ailenin yıllık geliri, ithal edilen ilaç hammadde miktarı, bir hisse senedi fiyatının aylık değişimi, bir hastaya konulan tanı ile iyileşmesi arasında geçen süre, bir kimyasal maddenin kirlilik oranı sürekli tesadüfi değişkenlere verilebilecek örneklerdir

Bir değişkenin X gibi bir değere eşit ya da daha küçük bir değeri alabilmesi olasılığını gösteren fonksiyon birikimli dağılım fonksiyonudur. X’ in birikimli olasılık fonksiyonu gerçel sayılar kümesinde x’e eşit veya ondan küçük değerleri alan ve S örneklem uzayında X tesadüfi değişkeni ile ilişkili olan olasılıktır.
Birikimli olasılık fonksiyonu F(x) ile gösterilir. F (x)  = P (X ≤ x)