İSTATİKSEL TAHMİN VE HİPOTEZ TESTLERİ

İstatistiksel tahmin belirli bir ana kütleden tesadüfi olarak alınan örneklemden yararlanarak, ana kütlenin belirli bir parametresi ya da parametrelerinin değerinin araştırılması işlemidir. Dolayısıyla ana kütle parametreleri, örneklem istatistikleri yardımıyla tahmin edilmektedir. Tahmin işlemi istatistiğin çıkarsama işlevi ile ilgilidir.

Ana kütle parametresini çekilen örneklemden elde edilecek örneklem istatistiğinden hareketle tek bir değerle tahmin etmek nokta tahmin(tek değer tahmin) olarak adlandırılır. Genel gösterim olarak anakütle parametresi “θ ”, örneklem istatistiği ise “T” simgeleri ile gösterilir. Nokta tahmininde genel olarak ana kütle ortalaması, ana kütle oranı ya da bunlar arasındaki farklar için tahmin yapılır.

Ana kütle parametresinin değerinin örneklem istatistiğinden hareketle bir aralık biçiminde tahmin edilmesi “aralık tahmin” olarak tanımlanır. Aralık tahmininde, ana kütle parametresinin belirli bir olasılık düzeyinde içerisinde yer alabileceği simetrik bir aralık belirlenir. Belirtilen olasılık düzeyi, tahminin doğruluğundan ne kadar emin olunacağını belirtir ve aralığı oluşturan güven sınırlarının belirlenmesinde kullanılır. Aralık tahmininde oluşacak aralığa “güven aralığı”, aralığın alt ve üst sınır değerlerine ise
“güven sınırları” adı verilir.

Nokta tahmin, ana kütle parametresinin tahmininde kullanılan genel bir yaklaşımdır. Ancak kesin değildir. Dolayısıyla, gerçekleştirilen bir nokta tahmini sonucunda tahminin gerçek parametre değerine ne kadar yakın olduğu bilinemez. Bundan dolayı güvenilir bir tahmin yapma gerekliliği doğar. Güvenilirliğin somut olarak ortaya konulması için “güven aralığı” kavramı geliştirilmiştir. Bu nedenle güvenilir bir tahmin yapılabilmesi için aralık tahmini yaklaşımı geliştirilmiştir.

Herhangi bir ana kütleden çekilen farklı örneklemler için hesaplanan güven aralıklarının bir kısmı değeri araştırılan anakütle parametresini kapsamaz. Dolayısıyla ana kütle parametresinin tahmininde güven aralığı yaklaşımı kullanıldığında, yapılan tahminin doğruluk derecesi yani hesaplanan güven aralığının anakütle parametresini içermesi olasılığı (1-α) belirlenebilmektedir. Bu olasılık “güven düzeyi” olarak adlandırılır. Burada α tahminin hata payını ifade etmektedir. Örneğin, aralık tahminin %95 olasılıkla (güven düzeyinde) yapılması, belirlenen güven aralığının anakütle parametresini içermesi olasılığı 0,95 olacaktır. 

Hipotez, genel olarak belirli bir konuda ileri sürülen iddia (önerme) dır. İstatistiksel Hipotez ise, bir araştırmada araştırma amacına uygun olarak ilgilenilen bir veya daha fazla anakütle parametresi hakkında ileri sürülen, doğruluğu konusunda kuşku duyulan ve bundan dolayı doğruluğu (veya geçerliliği) olasılık kurallarına göre test edilme gerekliliği olan özel önermelerdir.

Ana kütle parametresinin belirli bir değere eşitliği, iki ya da daha fazla ana kütle parametresi arasında fark olmadığı biçimindeki hipotez; sıfır hipotezidir ve H0 ile gösterilir.

Ana kütlenin ilgilenilen parametresinin belirli bir değerden farklılığını, iki ya da daha fazla ana kütle parametresi arasında fark
olduğunu ifade eden hipotez ise karşıt hipotezdir ve H1 ile gösterilir.

I. Sıfır hipotezi gerçekte doğrudur, reddedilememiştir.
II. Sıfır hipotezi gerçekte doğrudur, reddedilmiştir.
III. Sıfır hipotezi gerçekte yanlıştır, reddedilememiştir.
IV. Sıfır hipotezi gerçekte yanlıştır, reddedilmiştir.

I. TİP HATA: Gerçekte doğru olan sıfır hipotezini test sonucunda yanlıştır diye reddetmeye I. Tip Hata adı verilir. α-Hatası olarak da adlandırılan bu hatayı işleme olasılığı α kadardır.

II. TİP HATA: Gerçekte yanlış olan sıfır hipotezini test sonucunda doğrudur diye “reddedilemez” kararı vermeye II. Tip Hata adı verilir. β-Hatası olarak da adlandırılan bu hatayı işleme olasılığı da β kadardır.

1-α: H0 gerçekte doğru olduğunda onu reddetmeme olasılığıdır ve aralık tahmininde olduğu gibi “Güven Düzeyi” olarak adlandırılır.

1-β: H0 gerçekte yanlış olduğunda onu reddetme olasılığıdır ve “Testin Gücü” olarak adlandırılır.

Araştırmanın amacına uygun olarak yürütülecek bir hipotez testinde genel olarak izlenecek aşamalar şu
biçimde sıralanabilir:
1. Sıfır hipotezi ve alternatif hipotezin ifade edilmesi
2. Anlamlılık düzeyi α nın seçilmesi
3. Örnekleme dağılımının belirlenmesi
4. Red bölgesinin (kritik değerin) belirlenmesi
5. Uygun test istatistiğinin hesaplanması
6. İstatistiksel kararın verilmesi

Sıfır hipotezi her zaman eşitlik şeklinde ifade edilir. Alternatif hipotez ise bizim araştırmak istediğimiz hipotezdir. Daha sonra testin tek taraflı mı yoksa çift taraflı mı olacağına, dolayısıyla alternatif hipotezin yönüne karar verilir. Ana kütle ortalamasının iddia edilen değerden büyük olduğu ya da küçük olduğu biçimindeki iddialar için test tek taraflı olarak adlandırılır. Yön belirtilmeden ana kütle ortalamasının iddia edilen değerden farklı olduğu ileri sürülecekse alternatif hipotez eşitsizlik biçiminde kurulur ve testin çift taraflı olduğu ifade edilir. Tek taraflı testlerde eşitsizliğin yönü belirlenirken dikkat edilmelidir.

Tek bir ana kütle aritmetik ortalamasına ilişkin hipotez testinde, ilgili ana kütle aritmetik ortalamasının (μ) belirli bir değere (μ0) eşitliği biçiminde ifade edilen sıfır hipotezinin test edilmesi işlemleri gerçekleştirilir.

Anlamlılık düzeyi, bir hipotez testinde I. Tip hatayı işleme olasılığı idi. Bu hata miktarı çoğunlukla 0,05 ve 0,01 olarak belirlenir. Ancak, araştırmanın önemi dikkate alınarak daha büyük ya da küçük bir değer de belirlenebilir. Anlamlılık düzeyine bağlı olarak testin güven düzeyi de belirlenmiş olur. Buna göre olarak belirlenmiş olur.

Örneklemeye başvurulduğunda, istatistiksel tahminde olduğu gibi hipotez testlerinde de, örneklem istatistiğinin örnekleme dağılımından ve onun olasılık kurallarından yararlanılmaktadır. Dolayısıyla araştırmanın amacına uygun olarak hangi örnekleme dağılımından yararlanılacağı bu aşamada belirlenir ve örneklem istatistikleri kullanılarak standart hata hesaplanır.

Test istatistiğinin hesaplanan değerlerinin bizi sıfır hipotezinin reddi kararına götüreceği değerler kümesi red bölgesidir. Red bölgesinin sınırında bulunan değere kritik değer adı verilir. Red bölgesinin büyüklüğü Tip I hata olasılığı olan α’ya bağlıdır. Buna göre anlamlılık düzeyinin belirlenmesiyle red bölgesinin büyüklüğü de ortaya çıkmış olur. Karşıt hipotez ise, red bölgesinin yerini belirlemede yardımcı olur. Karşıt hipotez, ana kütle ortalamasının iddia edilen değerinden büyük ya da küçük bir değer olduğu biçiminde ise, yani tek taraflı bir test gerçekleştirilecekse, red bölgesi birinci durumda dağılımın pozitif (sağ) ucunda yer alır. İkinci durumda ise dağılımın sol ucunda gösterilir. Eğer karşıt hipotez anakütle ortalamasının iddia edilen değerinden farklı olduğu biçiminde ise, red bölgesi dağılımın iki ucunda olmak üzere iki eşit bölgede yer alır. Tek taraflı, sağ veya sol uçtaki testler için red bölgesinin alanı α’ya; `çift taraflı testler için ise α/2'ye eşittir.

Tek-Yönlü Varyans Analizi, bağımlı değişken üzerinde sadece bir bağımsız değişkenin etkisinin araştırıldığı, dolayısıyla bağımsız değişkenin düzeyleri olarak ortaya çıkan gruplar arasındaki farkların istatistiksel olarak anlamlılığının araştırıldığı bir yaklaşımdır. Çözümlemede F-Testinden yararlanılır. Bu amaçla test istatistiği olarak F istatistiği kullanılır. F istatistiği, aynı varyansın bağımsız iki tahmincisinin birbirine oranıdır. Bu oran, payın serbestlik derecesi V1 =(k-1) ve paydanın serbestlik derecesi V2 =(N-k) serbestlik dereceleriyle dağılan F örnekleme dağılımının bir terimidir