Katı Cisimlerin Statik Dengesi

Statik dengedeki bir cisim hareketsizdir, yani ne yer değiştirir ne de döner. Fiziğin statik adı verilen bölümü, katı cisimlerin hareketsizlik koşullarını inceler. Katı cisim, dış kuvvetlerin etkisi altında şekil değiştirmeyen cisim anlamına gelir. Kurşun kalem silgisi, ekmek hamuru, plastik top gibi cisimler esnektir ve üzerilerine bir kuvvet uygulandığında şekil değiştirirler. Bu tür cisimler bizim tartışma konumuz dışındadır. Statik inceleme ile kuvvetlerin yanı sıra bu kuvvetlerin döndürme etkileri de araştırılır. Üzerine birçok kuvvet etki etmesine rağmen bir cisim hareketsiz kalıyorsa bu denge durumu statik denge olarak adlandırılır.

Bir itme veya çekme etkisi olarak tanımlanan kuvvetin cisimlere bir ivme kazandırdığını biliyoruz. Bu bölümde ise kuvvetin cisimler üzerindeki diğer bir etkisi olan döndürme etkisinden söz edeceğiz. Kapı ve pencereleri açıp kapatırken, musluğu, kap› anahtarını veya otomobilin direksiyonunu çevirirken, bir vidayı tornavida ile sıkarken kuvvetin döndürme etkisinden faydalanırız. Kuvvetin bu döndürme etkisine moment adı verilir. Genellikle M sembolü ile temsil edilen momentin büyüklüğü, kuvvetin çubuğa dik olan bileşeninin büyüklüğü (Fd) ile kuvvetin uygulandığı noktanın O dönme noktasına olan uzaklığının (d) çarpımına eşittir, M = Fdd.

Katı bir cismin denge durumunda olabilmesi için temel olarak herhangi bir ivmeye sahip olmaması gerekir. Diğer bir ifadeyle ivme sıfırsa, cisim dengededir. İvmesinin sıfır olması durumunda cismin hızında bir değişimin söz konusu olamayacağı açıktır. Cisim ya hareketsizdir, ya da sabit hızla hareket etmektedir.

Statik dengenin analizi mühendislik uygulamalar› için büyük önem taşır. Bu nedenle bir bina veya köprü yapılmadan önce statik projeleri hazırlanır. Bu tür bir statik projede genel prensip yapıyı oluşturan her bir parçaya etki eden net(bileşke) kuvvetin sıfır olmasıdır. Bu prensip dengenin birinci koşulu olarak adlandırılır.

Gerçek yaşamdaki cisimlerin belirli bir hacimleri, şekil ve kütle dağılımları olduğundan onları her zaman noktasal bir parçacık olarak ele almak mümkün olmaz. Bu durumda hacimsel bir cismin dengede kalabilmesi için sadece üzerine etkiyen kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olması yeterli değildir. Statik dengenin sağlanabilmesi için cismin aynı zamanda dönme eğilimi de göstermemesi gerekir. Cisimlerin bir eksen etrafındaki olası dönme hareketiyle ilgili genel bir denge koşulu elde edebilmek için hacimsel bir cisim üzerine eşit büyüklükte fakat zıt yönlü iki kuvvetin uygulandığını düşünelim. Cisim üzerindeki net kuvvet sıfır olduğu için dengenin birinci şartı sağlanmıştır.
Diğer taraftan eğer cisim O noktasından gevşekçe sabitlenmiş ise, her iki kuvvet de cismi O noktası etrafında döndürmeye çalışacaktır.

Eşitlik kuvvetlerin cisim üzerindeki döndürme etkisi kuvvetlerin dönme eksenine olan uzaklıklarına bağlıdır. Statik dengedeki bir cismin hiç hareket etmemesi istendiğine göre dengenin ikinci koşulu kendiliğinden ortaya çıkar. Bir cismin dengede kalabilmesi için üzerine etki eden net kuvvetin sıfır olması yanında bu kuvvetlerin döndürme etkilerinin de sıfır olması gerekir. Diğer bir deyişle, cisme etkiyen dış kuvvetlerin seçilen herhangi bir noktaya göre momentlerinin vektörel toplamı da sıfır olmalıdır.

Katı cisimlerin Newton yasalarına göre hareketini tanımlayabilmek veya denge koşullarını tartışabilmek için öncelikle ele alınan cisim üzerine etkiyen kuvvetlerin bilinmesi gerekir. Bu kuvvetlerin başında ise cismin ağırlığı yani cisim üzerine etkiyen yerçekimi kuvveti gelir. Aslında ağırlık sadece bir noktaya etkimez, aksine bütün cisim üzerine dağılmıştır. Fakat fiziksel problemlerin çözümünde, cismin ağırlığının ağırlık merkezi adı verilen tek bir noktada yoğunlaşmış olduğu kabul edilir.

Ağırlık merkezinin bulunması cisimler ağırlık merkezlerinden asıldığında dengede kaldığına göre, eşitlikleriyle tanımlanan denge koşullarından yararlanılarak değişik geometrik yapıya sahip cisimlerin ağırlık merkezleri kolaylıkla bulunabilir. Cisimlerin ağırlık merkezleri bulunurken;

i. İlk olarak cisim ağırlık merkezi bilinen geometrik parçalara bölünür,

ii. Her bir parçanın ağırlık merkezinde o parçaya etki eden yerçekimi kuvveti gösterilir,

iii. Cismin bütünü için ve eşitlikleriyle tanımlanan denge koşulları yazılarak ağırlık merkezinin konumu tespit edilir.

Çok parçacıktan oluşan sistemlerde kütle merkezinin konumunun bilinmesi sistemin genel hareketinin incelenmesini kolaylaştırır. Bu tür bir sistemde, kütle merkezinin Newton yasalarına göre hareketi ile sistemi oluşturan her bir parçacığın genel hareketi paralellik gösterir. Sistemin tüm kütlesi bu noktada toplanmış gibi hareket eder. Bir cismin ya da sistemin tüm kütlesinin toplandığı varsayılan noktaya kütle merkezi denir.

Bir cismin ağırlık merkezi, cisim düzgün bir yerçekimi alanı içindeyse onun kütle merkeziyle çakışır. Bu durumda cismin her bir parçasına etki eden yerçekimi kuvvetlerinin tümü (ağırlık), kütle merkezine etkiyen tek bir mg kuvveti ile temsil edilebilir.

Homojen ve türdeş üçgen şeklindeki cisimlerin ağırlık merkezi, kenarortayların kesim noktası olan noktadır. Bu nokta kenardan 1birim, köşelerden 2 birim uzaklıkta yer alır. Üçgen levhanın eşkenar üçgen şeklinde olması durumda ise kenarortayların hepsi eşit olur.

Homojen ve türdeş çember, daire ve küre şeklindeki cisimlerin geometrik merkezleri aynı zamanda onların ağırlık merkezleridir Türdeş ve homojen silindir, dikdörtgen prizma ve küp şeklindeki cisimlerin ağırlık merkezi, üst ve alt taban merkezlerini birleştiren doğrunun tam orta noktasıdır.

Ağırlık merkezi, cisme etki eden bileşke yerçekimi kuvvetinin uygulanma noktasıdır. Bu noktaya göre yerçekimi kuvvetlerinden kaynaklanan momentlerin toplam› sıfırdır. Bu nedenle bir cisim ağırlık merkezinden asıldığında dengede kalır. Böyle bir cisim hangi noktadan asılırsa asılsın ipin kendisi veya uzantısı ağırlık merkezinden geçer. Cismin her asılma durumu için ipin doğrultusu çizilirse bu çizgilerin kesişim noktası ağırlık merkezini verecektir. Cisimlerin ağırlık merkezleri bulunurken;

•  İlk olarak cisim ağırlık merkezi bilinen geometrik parçalara bölünür. 
• Daha sonra her bir parçanın ağırlık merkezinde o parçaya etki eden yerçekimi kuvveti gösterilir. 
• Son olarak, cismin bütünü için denge koşulları yazılarak ağırlık merkezinin konumu tespit edilir.

Katı bir cismin dengede kalabilmesi için birinci koşul, üzerine etki eden bileşke kuvvetin sıfır olmasıdır. SF = F1 + F2 + ... + Fn = 0

Dengenin ikinci koşulu gereğince bu kuvvetlerin döndürme etkilerinin yani momentlerinin toplamı da sıfır olmalıdır. Bu koşul matematiksel olarak

SM = M1 + M2 + ... + Mn = 0, eşitliği ile ifade edilir.

Kuvvetin döndürme etkisine moment adı verilir. Moment M, döndürme etkisi olan kuvvetin büyüklüğü (F) ile kuvvetin uygulandığı noktanın dönme noktasına olan dik uzaklığının (d) çarpımına eşittir.

M = F.d. Büyük olan kuvvet daima küçük olandan daha etkili moment meydana getirir. Kuvvetin uygulandığı nokta, dönme noktasına ne kadar uzaksa moment de o kadar büyük olur.

Bir cismin ya da sistemin tüm kütlesinin toplandığı varsayılan noktaya kütle merkezi denir. Katı bir cisim; m1, m2, m3, ..., mn kütleleri gibi çok sayıda küçük parçacıktan oluşan bir sistem gibi düşünülebilir. Böyle bir cismin kütle merkezinin x-koordinatı, bağlantısından bulunur. Kütle merkezinin y-koordinatı ise yukarıdaki ifadede x bileşenleri yerine y bileşenleri yazılarak elde edilir.

Cismin kütle merkezinin koordinatları (XM, YM) biçiminde ifade edilir.