SOSYAL AĞ ANALİZİ

Merkezî düğümlerin ortaya çıkmasının nedeni, ağların büyümesidir. Ayrıca ağlar büyürken, düğümler ‘tercihli bağlantı’ yaptıkları için bağlantı açısından zengin düğümler daha da zengin olurlar ve bu sürecin sonucunda merkezî düğümler oluşur. Vilfredo Pareto tarafından “Pareto İlkesi” şeklinde geliştirilmiştir. Pareto, yaptığı çalışmalarda arazinin % 80’inin nüfusun % 20’si tarafından sahiplenildiğini belirlemiştir. Bu bir anlamda, toplumda merkezî düğümler bulunduğunun anlaşılmasıdır. Kuvvet yasasının gerçek hayattan yapılan ilk gözlemi, Pareto tarafından 1800’lü yılların sonunda İtalya’da gelir dağılımı konusunda yapılmıştır. Hemen hemen her ülkede bireylerin küçük bir oranı servetin büyük bir oranına sahiptir ve dağılım kuvvet yasasına uygundur. Neden merkezî düğümlerin ortaya çıktığının, kuvvet yasasının neden oluştuğunun bir başka kanıtı ise günümüzde Benford yasası diye anılan yasa ile verilebilir. Bu yasa ilk kez 1881 yılında Simon Newcomb tarafından ortaya atılmıştır. Ancak konunun popülerlik kazanması, Fizikçi Frank Benford ile olmuştur. “İlk Sayı Savı” olarak da adlandırılan bu yasaya göre, çok çeşitli alanlardaki verilerde kullanılan ilk sayılar ele alındığında, en sık kullanılan sayı 1’dir ve diğer kullanılan tam sayı değerlerinin olasılığı sayı değeri arttıkça azalır.

Ağlar, yeni düğümlerin ağa eklenmesiyle büyürler. Ağlarda “popüler olmanın çekiciliği” konusu tercihli bağlantı ile ilgilidir. Eğer daha popüler düğümlerle bağlantı yapılıyorsa, bunun sonucunda gerçek bir çok ağda gözlendiği gibi derece dağılımı, kuvvet yasasına uygun olur. Rassal ağ modelinde düğüm sayısı N sabit varsayılır ve bir düğümün bağlanacağı düğüm rassal olarak seçilir. Oysa gerçek ağlar büyürler, ağa yeni düğümler katılır ve yeni düğümler daha fazla bağlantıya sahip olan düğümlere bağlanırlar. Bu süreç, tercihli bağlantı (preferential attachment) diye adlandırılmaktadır.

Kuvvet yasası dağılımları sık sık kalın kuyruklu dağılımlar, Pareto dağılımları ve Zipf dağılımları adlarını alırlar. Ölçekten bağımsız bir ağda derece dağılımı kuvvet yasasına uyar. Kuvvet yasası eğrilerinin çok sayıda türü vardır ve bunlar farklı kuyruklara sahiptirler. Kuyruğun şekli dağılımdaki üs (α) tarafından belirlenir. α’nın değeri büyüdükçe eğri daha hızla düşer ve daha ince bir kuyruğa sahip olur.

Gerçek hayattan elde edilen ağ verilerini kuvvet yasasına uydururken, ilk olarak x ve P(x) verilerinin logaritmaları grafik üzerinde bir doğru üzerinde ise, diğer bir deyişle kuvvet yasası test edilen verilerin her iki tarafının logaritması alındığında bu değerler serpilme diyagramında bir doğru hâlindeyse, akla verilerin kuvvet yasasına uygun olabileceği gelir. Bu verilere en küçük kareler yöntemi uygulanarak regresyon denkleminin eğim parametresi, üs olan α’nın tahmini değeri olarak kullanılır.

Birçok gerçek sistemde α>2 değerine sahiptir. Kuvvet yasasında üs değeri olan α’nın değerinin değişmesi, beraberinde sisteminin özelliklerinin değişmesini getirir (Barabási, 2013).

• Anomali durumu (α<2): α>2 olması durumunda, N limit durumunda sonsuza yaklaştığında (ağdaki düğüm sayısı çok büyüdüğünde), ortalama derece olan ıraksar. En merkezî düğümün bağlantı sayısının ağdaki düğüm sayısından fazla olması gerekeceği için bu koşullara sahip ölçekten bağımsız bir ağ olamaz.

• Ölçekten bağımsızlık durumu: (2< α<3) Bu durumda derece dağılımının birinci momenti sonlu ama ikinci ve daha yüksek mertebeden momentleri N → ∞ için ıraksar.

• α>3 olması durumu: Bu durumda ölçekten bağımsız bir ağı rassal bir ağdan ayırmak zorlaşmaktadır.

Ağları zaman içinde ele aldığımızda, ağların büyüdüğünü ve ağlara yeni düğümlerle yeni bağlantıların eklendiğini görürüz. Ağların gelişip büyümesi aklımıza çok sayıda soru getirir (McGlohon, 2011):
• Ağlar büyüdükçe yapıları değişir mi?
• Ağlar büyüdükçe belirli özelliklere sahip olurlar mı?
• Ağlarda davranışın aniden değiştiği bir evre geçişi (phase transition) var mıdır?
• Ağlar büyüdükçe zayıf bağlantılı bileşenler sonunda dev bileşen içinde absorbe
edilirler mi?

Sorulardan sonuncusunun yanıtı olarak gerçek ağlarda zaman içinde dev bir bileşenin oluştuğunu söyleyebiliriz. Ağlarda üçlü sayıları ve üçgenlere katılan düğüm sayıları bir kuvvet yasasına uygun olarak dağılırlar (Leskovec, 2008). Ağlarda bileşenlerin dağılımı da kuvvet yasasına göre dağılır. Ağlar büyüdükçe bir jölelenme noktasına ulaşır. Bu noktada küçük çok sayıda bağlantısız bileşen birleşir ve çizgede en büyük bağlantılı bileşen olan dev bileşeni oluştururlar. Bu nokta yarıçapın en büyük olduğu noktadır ve daha sonra yarıçap küçülerek bir denge değerine ulaşır. Leskovec ve diğerleri gerçek çizgelerin yarıçaplarının zaman içinde küçülüp stabilize olduğunu göstermişlerdir. Bu noktadan önce çizge, oluşma dönemindedir ve küçük bağlantısız bileşenlerden oluşur

Ağların statik özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir:
• Ağlarda kalın kuyruklu dağılımlar söz konusudur. Az sayıda merkezî düğüm, çok sayıda az bağlantıya sahip düğüm bulunur. Örneğin; sosyal ağlarda, az sayıda kişinin çok arkadaşı, çok sayıda kişinin ise az arkadaşı vardır.
• Ağların yarıçapları küçüktür ve topluluk yapılarına sahiptirler.
• Çeşitli kuvvet yasaları geçerlidir. Üçlülerin kuvvet yasası, yoğunlaşma kuvvet yasası gibi.

Ağların dinamik özellikleri ise aşağıdaki gibidir:
• Ağlar büyüdükçe yarıçapları küçülür ve ağlar yoğunlaşır.
• Sabit büyüklükteki küçük bileşenler, dev bileşen ile birleşene kadar belirli bir noktanın ötesine büyüyemezler.
• Diğer kuvvet yasaları geçerlidir.