SOSYAL AĞ ANALİZİ

Tuhaftır ama 1998 yılına gelene kadar www’nun yaklaşık olarak rassal bir ağ olduğu düşünülüyordu. Web’deki her dokümanın kişisel veya profesyonel tercihlerle ortaya çıktığı ve kişiler ve kurumların ilgilendikleri alanlar çok çeşitli olduğu için bu dokümanlar üzerindeki bağlantıların da rassal olarak ortaya çıktığı kabul ediliyordu. 2000’li yılların başına kadar bilim dünyasının www’nun yapısını yeterli şekilde anlamadığını kabul etmeliyiz. Oysa günümüzdeki gelişmeler Web’i büyük ölçekli, insan özneli deneklerle deney yapılan sanal bir laboratuvar hâline getirmiş durumdadır.

İtalyan ekonomist ve sosyolog Vilfredo Pareto tarafından geliştirilen “Pareto İlkesi” gereğince, yapılan çalışmalarda arazinin % 80’inin nüfusun % 20’si tarafından sahiplenildiğini belirlenmiştir. Kuvvet yasasının gerçek hayattan yapılan ilk gözlemi, Pareto tarafından 1800’lü yılların sonunda İtalya’da gelir dağılımı konusunda yapılmıştır. Hemen hemen her ülkede bireylerin küçük bir oranı servetin büyük bir oranına sahiptir ve dağılım kuvvet yasasına uygundur.

Ağlar, yeni düğümlerin ağa eklenmesiyle büyürler. Ağlarda “popüler olmanın çekiciliği” konusu tercihli bağlantı ile ilgilidir. Eğer daha popüler düğümlerle bağlantı yapılıyorsa, bunun sonucunda gerçek birçok ağda gözlendiği gibi derece dağılımı, kuvvet yasasına uygun olur. Rassal ağ modelinde düğüm sayısı N sabit varsayılır ve bir düğümün bağlanacağı düğüm rassal olarak seçilir. Oysa gerçek ağlar büyürler, ağa yeni düğümler katılır ve yeni düğümler daha fazla bağlantıya sahip olan düğümlere bağlanırlar. Bu süreç, tercihli bağlantı (preferential attachment) diye adlandırılmaktadır.

Gerçek hayatta birçok ölçüm değeri tipik bir değerin etrafında kümelenir. Bir otoyoldaki otomobillerin hızları, bir alışveriş merkezîndeki karpuzların tartıları, belirli bir günde İstanbul’daki sıcaklık değerleri hep ortalama bir değerin etrafında kümelenerek bu değeri temsili bir değer hâline getirir. Buna karşılık, her değer böyle dağılmak zorunda değildir. Örneğin; kentlerin nüfusları, depremlerin büyüklükleri, elektrik kesintilerinin büyüklükleri hep kuvvet yasasına uygun olarak dağılır. Kuvvet yasası dağılımları sık sık kalın kuyruklu dağılımlar, Pareto dağılımları ve Zipf dağılımları adlarını alırlar. Ölçekten bağımsız bir ağda derece dağılımı kuvvet yasasına uyar.

Anomal­i durumu (a<2): a>2 olması durumunda, N limit durumunda sonsuza yaklaştığında (ağdaki düğüm sayısı çok büyüdüğünde), ortalama derece olan <k> ıraksar. En merkezî düğümün bağlantı sayısının ağdaki düğüm sayısından fazla olması gerekeceği için bu koşullara sahip ölçekten bağımsız bir ağ olamaz.

Ağları zaman içinde ele aldığımızda, ağların büyüdüğünü ve ağlara yeni düğümlerle yeni bağlantıların eklendiğini görürüz. Ağların gelişip büyümesi aklımıza çok sayıda soru getirir (McGlohon, 2011):
-Ağlar büyüdükçe yapıları değişir mi?
-Ağlar büyüdükçe belirli özelliklere sahip olurlar mı?
-Ağlarda davranışın aniden değiştiği bir evre geçişi (phase transition) var mıdır?
-Ağlar büyüdükçe zayıf bağlantılı bileşenler sonunda dev bileşen içinde absorbe edilirler mi?

Statik bir çizge için yarıçap, herhangi iki düğüm arasındaki maksimum uzaklıktır. Uzaklık ise, yönü hesaba katmadan iki düğüm arasındaki minimum sıçrama sayısıdır. Dev bileşenin içinden rassal olarak iki düğüm seçerek aralarındaki uzaklığı hesapladığımız ve bu isi tekrar tekrar yaptığımızı varsayalım. Bu yolla elde edeceğimiz çok sayıdaki uzaklığın 90. persantilini bulabiliriz. 90. persantili maksimum değer olarak kabul ettiğimizde, bu değer “etkin yarıçap”a karşı gelir. Kısaca etkin yarıçap, bütün olası düğüm çiftleri arasındaki uzaklıkların 90. persantilidir.

Ağların dinamik özellikleri aşağıdaki gibidir:
-Ağlar büyüdükçe yarıçapları küçülür ve ağlar yoğunlaşır.
-Sabit büyüklükteki küçük bileşenler, dev bileşen ile birleşene kadar belirli bir noktanın ötesine büyüyemezler.
-Diğer kuvvet yasaları geçerlidir.
-Ağlarda kalın kuyruklu dağılımların söz konusu olması, ağların statik özeliklerindendir.

Kuvvet yasasında üs değeri olan a’nın değerinin değişmesi, beraberinde sisteminin özelliklerinin değişmesini getirir. Ölçekten bağımsızlık durumunda (2 < a<3) derece dağılımının birinci momenti sonlu ama ikinci ve daha yüksek mertebeden momentleri N →∞ için ıraksar.

İnternetteki sayfaların % 80’inden fazlası 4 bağlantıdan azına sahiptir. Buna karşılık, bu sayfaların % 1’inden azı 1000’den fazla bağlantıya sahiptir.

Merkezî düğümlerin ortaya çıkmasının nedeni, ağların büyümesidir. Ayrıca ağlar büyürken, düğümler ‘tercihli bağlantı’ yaptıkları için bağlantı açısından zengin düğümler daha da zengin olurlar ve bu sürecin sonucunda merkezî düğümler oluşur.

Merkezî düğümlerin ortaya çıktığının, kuvvet yasasının neden oluştuğunun bir başka kanıtı ise günümüzde Benford yasası diye anılan yasa ile verilebilir. Bu yasa ilk kez 1881 yılında ortaya atılmıştır.

Benford yasası, ilk kez 1881 yılında Simon Newcomb tarafından ortaya atılmıştır.

Statik bir çizge için yarıçap, herhangi iki düğüm arasındaki maksimum uzaklıktır.

90. persantili maksimum değer olarak kabul ettiğimizde, bu değer “etkin yarıçap”a karşı gelir. Kısaca etkin yarıçap, bütün olası düğüm çiftleri arasındaki uzaklıkların 90. persantilidir.

Ağların dinamik özelliklerine bakıldığında ağlar büyüdükçe yarıçapları küçülür.

Ölçekten bağımsızlık durumu: (2< α<3). Bu durumda derece dağılımının birinci momenti sonlu ama ikinci ve daha yüksek mertebeden momentleri N → ∞ için ıraksar.

Barabási-Albert modelinde, rassal ağdan farklı olarak ağa her adımda yeni bir düğüm katılır ve bu düğüm i düğümünün derecesi olan ki ’ye bağımlı olarak i düğümü ile bağlantı kurar. Barabási-Albert modeli, ölçekten bağımsız ağ modeli (scale-free) adını da almaktadır.

n = 50 ve p = 0,10 olduğu için, np = 50 x 0,10 = 5 ve 5 tam sayı olduğu için 10. persantil değeri = ( 55,8 + 55,9 ) / 2 = 55,85 olarak bulunur.

İnternet rassal bir ağ değildir ve 1000’den fazla bağlantıya sahip sayfa sayısı oldukça azıdır.