SOSYAL AĞ ANALİZİ - Deneme Sınavı - 1

Merkezî düğümlerin ortaya çıkmasının nedeni, ağların büyümesidir. Ayrıca ağlar büyürken, düğümler ‘tercihli bağlantı’ yaptıkları için bağlantı açısından zengin düğümler daha da zengin olurlar ve bu sürecin sonucunda merkezî düğümler oluşur. Vilfredo Pareto tarafından “Pareto İlkesi” şeklinde geliştirilmiştir. Pareto, yaptığı çalışmalarda arazinin % 80’inin nüfusun % 20’si tarafından sahiplenildiğini belirlemiştir. Bu bir anlamda, toplumda merkezî düğümler bulunduğunun anlaşılmasıdır. Kuvvet yasasının gerçek hayattan yapılan ilk gözlemi, Pareto tarafından 1800’lü yılların sonunda İtalya’da gelir dağılımı konusunda yapılmıştır. Hemen hemen her ülkede bireylerin küçük bir oranı servetin büyük bir oranına sahiptir ve dağılım kuvvet yasasına uygundur. Neden merkezî düğümlerin ortaya çıktığının, kuvvet yasasının neden oluştuğunun bir başka kanıtı ise günümüzde Benford yasası diye anılan yasa ile verilebilir. Bu yasa ilk kez 1881 yılında Simon Newcomb tarafından ortaya atılmıştır. Ancak konunun popülerlik kazanması, Fizikçi Frank Benford ile olmuştur. “İlk Sayı Savı” olarak da adlandırılan bu yasaya göre, çok çeşitli alanlardaki verilerde kullanılan ilk sayılar ele alındığında, en sık kullanılan sayı 1’dir ve diğer kullanılan tam sayı değerlerinin olasılığı sayı değeri arttıkça azalır.

Ağlar, yeni düğümlerin ağa eklenmesiyle büyürler. Ağlarda “popüler olmanın çekiciliği” konusu tercihli bağlantı ile ilgilidir. Eğer daha popüler düğümlerle bağlantı yapılıyorsa, bunun sonucunda gerçek bir çok ağda gözlendiği gibi derece dağılımı, kuvvet yasasına uygun olur. Rassal ağ modelinde düğüm sayısı N sabit varsayılır ve bir düğümün bağlanacağı düğüm rassal olarak seçilir. Oysa gerçek ağlar büyürler, ağa yeni düğümler katılır ve yeni düğümler daha fazla bağlantıya sahip olan düğümlere bağlanırlar. Bu süreç, tercihli bağlantı (preferential attachment) diye adlandırılmaktadır.

Kuvvet yasası dağılımları sık sık kalın kuyruklu dağılımlar, Pareto dağılımları ve Zipf dağılımları adlarını alırlar. Ölçekten bağımsız bir ağda derece dağılımı kuvvet yasasına uyar. Kuvvet yasası eğrilerinin çok sayıda türü vardır ve bunlar farklı kuyruklara sahiptirler. Kuyruğun şekli dağılımdaki üs (α) tarafından belirlenir. α’nın değeri büyüdükçe eğri daha hızla düşer ve daha ince bir kuyruğa sahip olur.

Gerçek hayattan elde edilen ağ verilerini kuvvet yasasına uydururken, ilk olarak x ve P(x) verilerinin logaritmaları grafik üzerinde bir doğru üzerinde ise, diğer bir deyişle kuvvet yasası test edilen verilerin her iki tarafının logaritması alındığında bu değerler serpilme diyagramında bir doğru hâlindeyse, akla verilerin kuvvet yasasına uygun olabileceği gelir. Bu verilere en küçük kareler yöntemi uygulanarak regresyon denkleminin eğim parametresi, üs olan α’nın tahmini değeri olarak kullanılır.

Ağları zaman içinde ele aldığımızda, ağların büyüdüğünü ve ağlara yeni düğümlerle yeni bağlantıların eklendiğini görürüz. Ağların gelişip büyümesi aklımıza çok sayıda soru getirir (McGlohon, 2011):
• Ağlar büyüdükçe yapıları değişir mi?
• Ağlar büyüdükçe belirli özelliklere sahip olurlar mı?
• Ağlarda davranışın aniden değiştiği bir evre geçişi (phase transition) var mıdır?
• Ağlar büyüdükçe zayıf bağlantılı bileşenler sonunda dev bileşen içinde absorbe
edilirler mi?

Sorulardan sonuncusunun yanıtı olarak gerçek ağlarda zaman içinde dev bir bileşenin oluştuğunu söyleyebiliriz. Ağlarda üçlü sayıları ve üçgenlere katılan düğüm sayıları bir kuvvet yasasına uygun olarak dağılırlar (Leskovec, 2008). Ağlarda bileşenlerin dağılımı da kuvvet yasasına göre dağılır. Ağlar büyüdükçe bir jölelenme noktasına ulaşır. Bu noktada küçük çok sayıda bağlantısız bileşen birleşir ve çizgede en büyük bağlantılı bileşen olan dev bileşeni oluştururlar. Bu nokta yarıçapın en büyük olduğu noktadır ve daha sonra yarıçap küçülerek bir denge değerine ulaşır. Leskovec ve diğerleri gerçek çizgelerin yarıçaplarının zaman içinde küçülüp stabilize olduğunu göstermişlerdir. Bu noktadan önce çizge, oluşma dönemindedir ve küçük bağlantısız bileşenlerden oluşur

Ağların statik özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir:
• Ağlarda kalın kuyruklu dağılımlar söz konusudur. Az sayıda merkezî düğüm, çok sayıda az bağlantıya sahip düğüm bulunur. Örneğin; sosyal ağlarda, az sayıda kişinin çok arkadaşı, çok sayıda kişinin ise az arkadaşı vardır.
• Ağların yarıçapları küçüktür ve topluluk yapılarına sahiptirler.
• Çeşitli kuvvet yasaları geçerlidir. Üçlülerin kuvvet yasası, yoğunlaşma kuvvet yasası gibi.

Ağların dinamik özellikleri ise aşağıdaki gibidir:
• Ağlar büyüdükçe yarıçapları küçülür ve ağlar yoğunlaşır.
• Sabit büyüklükteki küçük bileşenler, dev bileşen ile birleşene kadar belirli bir noktanın ötesine büyüyemezler.
• Diğer kuvvet yasaları geçerlidir.

Rassal ağ düşüncesi, Paul Erdős ile Alfréd Rényi’ye dayanır. Erdős – Rényi rassal ağ modelinde (Erdős ve Rényi, 1959) iki düğümün birbirleri ile bağlantılı olmaları, sabit bir olasılıkla gerçekleşir. Eğer sabit bir olasılıkla rassal bir şekilde düğüm çiftleri arasında bağlantılar oluşturulursa, sonuçta elde edilen ağ bir rassal ağ olur. Bir anlamda istatistikteki normal dağılıma benzeyen rassal ağ modeli, sosyal ağ analizinde bir referans noktası önemine sahiptir. Analizlerde rassal ağ, istatistikteki normal dağılım gibi ağların türlerini belirlemek ve ağların rassal ağdan ne ölçüde saptıklarını görebilmek için belirli bir dayanak noktası oluşturur.

Ağda iki kişinin birbirlerine ne kadar uzaklıkta oldukları sorusu akla sık gelen bir sorudur ve bu çerçevede “patika” kavramı ağ çalışmaları için çok önemli bir kavramdır. Patikayı “bir düğümle başlayıp bir düğümle biten bir bağlantı dizisi” olarak tanımlayabiliriz. Komşu olmayan iki kişi arasındaki uzaklık, birinden diğerine olan en küçük sıçrama sayısı ile ölçülebilir. İki düğüm arasındaki uzaklık dij olarak gösterildiğinde yönsüz ağlar için dij= dji olur.

Kümelenme katsayısını (clustering coefficient) en basit şekilde şöyle açıklayabiliriz: Eğer bir sosyal ağda arkadaşlarınız da birbirleri ile arkadaşlarsa, birbirlerini tanıyorlarsa, kümelenme katsayınız yüksektir. Eğer arkadaşlarınız birbirini tanımıyorsa, o zaman da kümelenme katsayınız düşüktür. Kümelenme katsayısı arkadaşlarımızın birbirleri ile ne kadar arkadaş olduklarını ölçer. Bir yönsüz ağın kümelenme katsayısı ağdaki üçgen sayıdır. Bir ağın genel kümelenme katsayısı, her düğümün lokal kümelenme katsayısına dayanır.

Steve Milgram bir sosyal psikologdu. 1961-1962 yıllarında Yale Üniversitesi’nde otoriteye uyum testleri yaptı. Bu testlerde Steve Milgram, deneklerinin % 65’inin bilimsel otorite onlara emir verdi diye suçsuz bir adama zararsız elektrik şoklar vermeye istekli olduklarını ortaya çıkardı. Adam aslında bir aktördü ve gerçekte elektrik şoklarını almıyordu ancak bu durum deneklere deneyin sonunda açıklanıyordu. Steve Milgram’ın bizim asıl konumuz olan deneyinde ise Milgram, 1967 yılında 60 mektup yollayarak bir deney gerçekleştirdi. Mektup Cambridge, Massachusetts’ de bir yere gidecekti ve deneye katılanlardan bu mektubu arkadaşlarının arkadaşlarına ulaştırarak istenilen kişiye göndermeleri isteniyordu. İlk anda deneye katılım az olsa da sonraları Milgram bunu çeşitli yollardan artırarak, mektubun ortalama altı adımda istenilen yere ulaştığını belirledi. Sonraları bu olgu sosyolojide ve ağ kuramında “altı adım hipotezi” olarak yer aldı.

Bir ağın küçük dünya ağı olup olmadığını anlamak için o ağın ortalama patika uzunluğu ile aynı büyüklükteki rassal ağın ortalama patika uzunlukları ve ağların kümelenme katsayıları karşılaştırılır.

Ağlar şu şekilde de sınıflanabilir: Eğer bir ağda düğümler derecelerine bakmaksızın başka düğümlerle rassal bağlantılar kuruyorsa bu ağlar nötral ağlardır. Bunun tersine eğer merkezî düğümler merkezî düğümlere ekleniyorsa, bu ağlar sınıflandırıcı (assortative); bunun tersine çok bağlantısı olan düğümler zayıf bağlantısı olan düğümlerle bağlantı kuruyorlarsa, o zaman da bu ağlar sınıflandırıcı olmayan (dissassortive) ağlardır. Ünlülerin ünlülerle evlenmesi sınıflandırıcı ağlara, eski Türk filmlerinde zengin kızın, fakir erkekle veya zengin erkeğin fakir kızla evlenmesi ise sınıflandırıcı olmayan ağlara örnek olarak verilebilir. Sosyal ağlar sınıflandırıcı, teknolojik ve biyolojik ağlar ise sınıflandırıcı olmayan ağlardır.

Ünlülerin ünlülerle evlenmesi sınıflandırıcı ağlara, eski Türk filmlerinde zengin kızın, fakir erkekle veya zengin erkeğin fakir kızla evlenmesi ise sınıflandırıcı olmayan ağlara örnek olarak verilebilir. Sosyal ağlar sınıflandırıcı, teknolojik ve biyolojik ağlar ise sınıflandırıcı olmayan ağlardır.

Örneğin, virüsler ilk karşılaşmada bulaşabilirken (basit bulaşma), yenilikler ancak birkaç karşılaşmadan sonra ve karşılaşma sayısında belirli bir eşik aşıldığında bulaşabiliyor (karmaşık bulaşma). Kısaca ağların, bizim açımızdan, gördükleri fonksiyonlar kadar tehlikeleri de var. Bu nedenle ağların türleri ile virüslere veya başka tehlikelere dirençli olup olmadıklarının incelenmesi gerekiyor.

Saldırılarla karşılaştığında bile iyi performans gösteren bir ağ dirençli bir ağdır. Kabaca rassal ağlar dirençli ağlardır çünkü bu ağlarda bütün düğümler belirli bir olasılıkla başka düğümlere bağlanırlar. Buna karşılık, merkezî düğümlerin olduğu ağlar, bu düğümlerin hedef alınması koşuluyla dirençsiz ağlardır.

Ağların her yerde bulunması mümkündür. Bu ağlarda biyolojik, sosyal, finansal ağlar ile ulaşım, enerji ve iletişime ilişkin ağlar olabilmektedir