SEMBOLİK MANTIK

Nicelemeli önermelerin sembolleştirilmesinde temel adım, geleneksel mantıkta (Aristoteles mantığı) “kategorik önermeler” olarak adlandırılan dört temel
nicelemeli önerme biçiminin sembolleştirilmesidir. F ve G, “insan”, “canlı” gibi,
herhangi iki genel terim olmak üzere, kategorik önermeleri genel olarak aşağıdaki
şekilde ifade edebiliriz:

I. Her F G dir.
II. Hiçbir F G değildir.
III. Bazı F ler G dir.
IV. Bazı F ler G değildir.

Hangileri Doğrudur?

Önermeler mantığında olduğu gibi, niceleme mantığında da sembolleştirme
ancak bir sembolleştirme anahtarına göre yapılabilir. Önermeler mantığında, sembolleştirme anahtarı basit önermelerin önerme değişkenleri ile eşleştirilmesi ile belirtiliyordu. Niceleme mantığında ise, bir önerme için bir sembolleştirme anahtarı,
bu önermede geçen yüklemlerin yüklem sembolleri ile, adların da ad sembolleri
ile eşleştirilmesi ile belirtilir. Kullanacağımız yöntem bakımından, yüklemler yerine
a,b,... değişkenleri yardımıyla, “yüklem ifadeleri” kullanacağız. Örneğin, “insandır”
yüklemine ait bir yüklem ifadesi “a bir insandır” gündelik dil formülü, “sarıdır”
yüklemine ait bir yüklem ifadesi “b sarıdır” gündelik dil formülüdür.
Bir gündelik dil önermesini, aşağıdaki adımları izleyerek sembolleştireceğiz:
1. adımda, gündelik dil önermesinde geçen tikel ve tümel-niceleme ifadelerinin ve önerme eklemlerinin eş anlamlıları, standart niceleme ifadeleriyle
ve önerme eklemleri ile değiştirilerek, noktalama işaretlerine uygun olarak
parantezler yerleştirilir. Önermeler mantığında olduğu gibi, bu işlem sonucunda elde edilen ifade gündelik dil önermesinin standart biçimidir.
2. adımda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve
önerme eklemi sembolleri yerleştirilir.
3. adımda, “x bir insandır”, “Ahmet bir öğrencidir” gibi, X bir değişken veya
ad, Y bir yüklem ifadesi olmak üzere, (XY) biçimindeki gündelik dil formülleri yerine, “{a bir insandır}x” ve “{a bir öğrencidir}Ahmet” ifadeleri
gibi, {Y}X ifadesi konur.
4. adımda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarında verilen yüklem sembolleri konur.
5. adımda, ifadede geçen adlar yerine ad sembolleri konur.
6. adımda, istenirse, kimi parantezler kurallara uygun olarak kaldırılabilir.

Hangileri Doğrudur?

“Her insan hata yapabilir ancak kimi hatalar kolay affedilmez” önermesini
F: a bir insandır.
G: a hata yapabilir.
H: a bir hatadır.
K: a kolay affedilir.
sembolleştirme anahtarına göre, niceleme mantığında sembolleştirelim:
1. adımda, tikel ve tümel-niceleme ifadeleri ile önerme eklemlerinin eş anlamlıları standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile değiştirilerek ve noktalama işaretlerine uygun olarak parantezler yerleştirilerek,

Her x (x bir insandır ise x hata yapabilir) ve bazı y (y bir hatadır ve değildir
y kolay affedilir.)
ifadesi, önermenin standart biçimi olarak elde edilir.
2. adımda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve
önerme eklemi sembolleri yerleştirilerek
∀x (x bir insandır → x hata yapabilir) ∧ ∃y (y bir hatadır ∧ ~y kolay affedilir)
3. adımda, parantezli yüklem ifadelerinin uygulandıkları değişkenle birlikte
konulmasıyla
∀x ({a birinsandır}x → {a hata yapabilir}x) ∧ ∃y ({a bir hatadır}y ∧ {a kolay
affedilir}y)
ifadesi elde edilir.
4. adımda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarında
bunların karşılığı olarak verilen yüklem sembolleri konarak
∀x (Fx → Gx) ∧ ∃y (Hy ∧ ~Ky)
önermesi elde edilir.
5. adımda, önermede geçen hiçbir ad olmadığından, yine
∀x (Fx → Gx) ∧ ∃y (Hy ∧ ~Ky)
önermesi elde edilir.
6. adımda, kurallara göre hiçbir parantez elenemeyeceğinden, yine aynı önerme elde edilir.

Aşamaların hangileri doğrudur?

“Her canlı üremiştir. O halde, hiçbir canlı ilk canlı değildir” çıkarımını aşağıdaki
sembolleştirme anahtarına göre sembolleştirelim:
F: a ilktir.
G: a canlıdır.
H: a üremiştir.
Temel bir kategorik önerme olan öncül önermesinin sembolleştirmesi, bildiğiniz
gibi, ∀x (Gx → Hx) sembolik önermesidir. O halde, sonuç önermesini sembolleştirmeye geçebiliriz:
1. adımda, tikel ve tümel-niceleme ifadeleri ile önerme eklemlerinin eş anlamlılarını standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile değiştirerek ve noktalama işaretlerine uygun olarak parantezler yerleştirerek,
Her x ((x canlıdır ise değildir (x ilktir ve x canlıdır))
ifadesini elde ederiz.
2. adımda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve
önerme eklemi sembolleri yerleştirerek
∀x ((x canlıdır ( → ~(x ilktir ∧ x canlıdır))
ifadesini elde ederiz.
3. adımda, yüklemler yerine küme parantezli yüklem ifadelerini ve uygulandıkları değişkenleri koyarak
∀x (({a canlıdır}x → ~({a ilktir}x ∧ {a canlıdır}x))
ifadesini elde ederiz.
4. adımda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarında verilen karşılıkları konarak,
∀x ((Gx → ~(Fx ∧ Gx))
sembolik önermesi elde edilir.
5. adımda, önermede hiçbir ad geçmediğinden, yine aynı önerme elde edilir.
6. adımda, kurallara göre hiçbir parantez elenemeyeceğinden, yine
∀x ((Gx → ~(Fx ∧ Gx))
önermesi elde edilir.

Nicelemeli bir sembolik önermenin gündelik dildeki karşılığını oluşturduğumuzda, bu sembolik önermeyi gündelik dile çevirdiğimizi söyleriz. Gündelik dile çevirme işlemini de, sembolleştirmede olduğu gibi adım adım gerçekleştireceğiz.
Önermeler mantığında olduğu gibi, niceleme mantığında da gündelik dile çeviri ancak bir çeviri anahtarına göre yapılabilir. Niceleme mantığında, sembolik
bir önerme için bir çeviri anahtarı, bu önermede geçen yüklem sembollerinin
yüklem ifadeleri ile, ad sembollerinin ise adlar ile eşleştirilmesi ile belirtilir.
Gündelik dile çevirme işlemi, sembolleştirme işleminin tersi olduğundan,
sembolik bir önermeyi gündelik dile çevirirken, sembolleştirme de izlediğimiz
adımları tersine çeviririz. Gündelik dile çeviri adımlarını açıkça sıralayalım:
1. adımda, en dıştaki parantezler hariç, okuma kolaylığı sağlamak için kaldırılmış olan parantezler eklenir.
2. adımda, ad sembolleri yerine, sembolleştirme anahtarında verilen adlar
konur.
3. adımda, ifadede geçen her yüklem sembolü yerine, sembolleştirme anahtarında verilen yüklem ifadesi küme parantezleri içine konur. Hemen yanına
yüklemin uygulandığı değişken veya ad konur.
4. adımda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde
a yerine X değişken veya ad sembolünün konmasıyla elde edilen Y(X) ifadesi konur.
5. adımda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine gündelik dildeki
niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri konur.
6. adımda, doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri konur ve istenirse kimi niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri eşanlamlı başka ifadelerle değiştirilir.

Hangisi Doğrudur?

FA → ∃x (Fx ∧ Gx) sembolik önermesini aşağıda verilen çeviri anahtarına göre
gündelik dile çevirelim:
F: a asal sayıdır.
G: a çift sayıdır.
A: 2
1. adımda, verilen sembolik önermede, okuma kolaylığı sağlamak için kaldırılmış parantez olmadığından, bu adımda yine FA → ∃x (Fx ∧ Gx) önermesini elde ederiz.
2. adımda, “A” ad sembolü yerine, sembolleştirme anahtarında verilen karşılığını koyarak
F 2 → ∃x (Fx ∧ Gx)
ifadesini elde ederiz.
3. adımda, yüklem sembolleri yerine, sembolleştirme anahtarında verilen
yüklem ifadelerini küme parantezleri içine koyarak ve bu ifadelerin yanına
yüklemin uygulandığı değişkenleri koyarak,
{a asal sayıdır} 2 → ∃x ({a asal sayıdır}x ∧ {a çift sayıdır}x)
ifadesini elde ederiz.
4. adımda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde
a yerine X değişken veya ad sembolünün konmasıyla elde edilen Y(X) ifadesini koyarak,
2 asal sayıdır → ∃x (x asal sayıdır ∧ x çift sayıdır)
ifadesini elde ederiz.
5. adımda niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine niceleme ifadelerini ve önerme eklemlerini koyarak,
2 asal sayıdır ise, bazı x (x asal sayıdır ve x çift sayıdır)
ifadesini elde ederiz.
6. adımda, doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri koyarak ve niceleme ifadesini ve önerme eklemlerini eş anlamlı başka ifadelerle değiştirerek, 2 asal sayı ise, bazı asal sayılar çift sayıdır. Gündelik dil önermesini elde ederiz.

Hangisi Doğrudur?

"....................... gündelik dile çeviri, ad ve yüklem sembollerinin gündelik dildeki karşılığını belirten çeviri anahtarına göre gerçekleştirilir." Boşluğa ne gelmelidir?

Gündelik dildeki bir önerme veya çıkarımı niceleme mantığında denetlemek,
bu önerme veya çıkarımın semantik statüsünü niceleme mantığı bakımından ortaya koymak demektir. Buna göre semantik statüsü;

I. geçerlilik,

II. geçersizlik,

III. tutarlılık,

IV. olumsallık durumunu

Hangileri Doğrudur?

“Her F G dir” önermesi, ................. biçiminde sembolleştirilir." Boşluğa ne gelmelidir?

“Hiçbir F G değildir” önermesi, ................ biçiminde sembolleştirilir." Boşluğa ne gelmelidir?

Aşağıdakilerden hangisi çıkarımlar ve modeller için doğrudur?

Nicelemeli önermelerin sembolleştirilmesinde temel adım aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdakilerden hangisi "Her F G dir." ifadesinin sembolleştirilmiş halidir?

“Her insan hata yapabilir ancak kimi hatalar kolay affedilmez” önermesinin verilen sembolleştirme anahtarına göre niceleme mantığındaki sembolik karşılığı aşağıdakilerden hangisidir?

F: a bir insandır.
G: a hata yapabilir.
H: a bir hatadır.
K: a kolay affedilir

“Her canlı üremiştir. O halde, hiçbir canlı ilk canlı değildir” çıkarımının aşağıdaki
sembolleştirme anahtarına göre sembolleştirilmesi hangi seçenekte doğru verilmiştir?
F: a ilktir.
G: a canlıdır.
H: a üremiştir.

“Bazı başarılı öğrenciler, arkadaşları tarafından sevilmeyen öğrencilerdir. Çünkü Ahmet başarılı ama, arkadaşları tarafından sevilmeyen bir öğrencidir” çıkarımı aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

F: a başarılıdır.
G: a öğrencidir.
H: a arkadaşları tarafından sevilir.
A: Ahmet

Aşağıdakilerden hangisi sembollerin gündelik dile çevirisinin 3. adımıdır?

∃x ((Fx ∧ Gx) ∧ Hx) sembolik önermesini aşağıda verilen çeviri anahtarına göre gündelik dile çevirisi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?
F: a İlkçağda yaşamıştır.
G: a filozoftur.
H: a Anadolu’ludur

∀x (Gx ↔ Fx ∨ Hx) sembolik önermesini aşağıda verilen çeviri anahtarına göre
gündelik dile çevirisi aşağıdakilerden hangisidir?
F: a bir köpektir.
G: a’nın kuyruğu vardır.
H: a kedidir.

FA → ∃x (Fx ∧ Gx) sembolik önermesini aşağıda verilen çeviri anahtarına göre gündelik dile çevirisi aşağıdaki seçeneklerden hangisidir?
F: a asal sayıdır.
G: a çift sayıdır.
A: 2