SEMBOLİK MANTIK

Tümel-niceleyici: Gündelik dilde, tümel-niceleyiciyi ifade etmek için “her”
kelimesi yerine, “tüm”, “bütün” ifadeleri de kullanılmaktadır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı bakımından aynı yargıyı dile getirirler:
Her insan ölümlüdür.
Tüm insanlar ölümlüdür.
Bütün insanlar ölümlüdür.
Hiçbir niceleyici ifade kullanmadan da tümel-nicelemeli bir önerme ifade edilebilir. Nitekim “İnsan ölümlüdür” dediğimizde aslında “Her insan ölümlüdür”
demek isteriz. “Cisimler ısıtılınca genleşir” önermesi de, “Her cisim ısıtılınca genleşir” anlamına gelir. Ayrıca, “bir” ifadesi de çoğu zaman tümel-niceleyici anlamında kullanılır. Örneğin, “Bir sayı çift ise iki ile bölünür” önermesi “Her çift sayı iki ile bölünür”
anlamına gelir.

Tikel-niceleyici: “Bazı” kelimesi yerine “kimi”, “en az bir” ifadeleri de tikelniceleyici anlamında kullanılır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı bakımından aynı yargıyı dile getirirler:
Bazı insanlar filozoftur.
Kimi insanlar filozoftur.
En az bir insan filozoftur.
Tümel-niceleyiciyle eşanlamlı kullanılabildiğini söylediğimiz “bir” ifadesi
kimi durumlarda tikel-niceleyiciyi ifade etmek için de kullanılır. Örneğin, “Bir filozof ‘İnsan herşeyin ölçüsüdür’ demiş” önermesinde “bir” ifadesi tikel-niceleyici
anlamında kullanılmaktadır. Bu önermenin her filozofun ‘İnsan herşeyin ölçüsüdür’ dediği yargısını bildirmediği açıktır. Gördüğümüz gibi, “bir” ifadesinin hangi durumda tikel-niceleyiciyi, hangi durumlarda tümel-niceleyiciyi ifade ettiği konusunda dikkatli olmamız gerekir.

Şimdi de tikel-nicelemeli önermelerin değillenmesini ele alalım. “Bazı F G dir”
önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesi değil, “Hiçbir F G değildir” önermesidir. Bunun nedenini kolayca görebiliriz: Çoğu durumda, hem “Bazı F G dir” önermesi hem de “Bazı F G değildir” önermesi birlikte doğrudur. Örneğin, hem “Bazı insanlar filozoftur” önermesi hem de “Bazı insanlar filozof değildir” önermeleri doğrudur. Buna göre, “Bazı F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesi olamaz çünkü değilleme kuralları gereği A ve ~A önermelerinin ikisi birlikte doğru olamaz.

lk olarak, tümel-nicelemeli önermelerin değillenmesini ele alalım: “Her F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesidir. “Her F G dir” önermesi doğru ise F olup G olmayan bir şey olamaz. Dolayısıyla, “Bazı F G değildir” önermesi yanlış olur. “Her F G dir” önermesi yanlış ise, F olan bazı şeyler G değildir ve “Bazı F G değildir” önermesi doğru olur. “Her F G dir” önermesinin dilbilgisi bakımından değili olan “Her F G değildir” önermesi “Her F G-olmayandır” yani “Hiçbir F G değildir” anlamında yorumlanabileceğine dikkat edilmelidir. Oysa “Her F G dir” önermesinin değili “Hiçbir F G değildir” olamaz. Çünkü bu iki önerme de aynı anda yanlış olabilir. Örneğin, hem “Her insan filozoftur” önermesi hem de “Hiçbir insan filozof değildir” önermesi yanlıştır. Bu iki önermenin birbirinin değili kabul edilmesi değilleme kurallarına aykırıdır: A ve ~A önermelerinin ikisi birden yanlış olamaz, biri yanlış ise diğeri doğru olmalıdır. Bu nedenlerle biz “Her F G dir” önermesinin değili olarak sadece “Bazı F G değildir” önermesini kullanacağız

Niceleme mantığının sembolik dili aşağıdaki sembolleri içerir:
(a) Önerme eklemleri: ~, ∧, ∨, →, ↔
(b) Birey değişkenleri: x, y, z, ...
(c) Ad sembolleri: A, B, C, ...
(d) Yüklem sembolleri: F, G, H, ...
(e) Tümel-niceleyici: ∀ (“her” olarak okunur)
Tikel-niceleyici: ∃ (“bazı” olarak okunur)
(f) Parantezler: (, ).

Niceleme mantığının sembolik dili aşağıdaki sembolleri içerir:
(a) Önerme eklemleri: ~, ∧, ∨, →, ↔
(b) Birey değişkenleri: x, y, z, ...
(c) Ad sembolleri: A, B, C, ...
(d) Yüklem sembolleri: F, G, H, ...
(e) Tümel-niceleyici: ∀ (“her” olarak okunur)
Tikel-niceleyici: ∃ (“bazı” olarak okunur)
(f) Parantezler: (, ).

Niceleme mantığının sembolik dili aşağıdaki sembolleri içerir:
(a) Önerme eklemleri: ~, ∧, ∨, →, ↔
(b) Birey değişkenleri: x, y, z, ...
(c) Ad sembolleri: A, B, C, ...
(d) Yüklem sembolleri: F, G, H, ...
(e) Tümel-niceleyici: ∀ (“her” olarak okunur)
Tikel-niceleyici: ∃ (“bazı” olarak okunur)
(f) Parantezler: (, ).

Niceleme mantığının dili önerme eklemlerini, birey değişkenlerini, ad sembollerini, yüklem sembollerini, tümel ve tikel-niceleyicileri içerir. Parantezler ise anlamı belirli kılmak için kullanılır. Niceleme mantığının anlamlı deyimleri iki gruba ayrılır: terimler ve formüller. Her bir değişken ve ad sembolü bir terimdir. 

D şıkkındaki "Her bir değişken ve ad sembolü bir formül" değil terimdir.

(∃x Gx ∧ ∀x (Fx ↔ Gx)) önermesini ön-nicelemeli normal biçime dönüştürelim:
(a)Karşılıklı koşul ekleminin elenmesi sonucunda aşağıdaki önerme elde edilir:
(∃x Gx ∧ ∀x ((Fx ∧ Gx) ∨ (~Fx ∧ ~Gx)))
(b) Önermedeki değilleme sembolleri sadece atomik önermelere etki ettiğinden, bu aşamada elde edilecek önerme yine (∃x Gx ∧ ∀x ((Fx ∧ Gx) ∨ (~Fx ∧~ Gx)))
önermesidir.
(c) Gerekli değişken değiştirmeleri yapılarak aşağıdaki önerme elde edilir:
(∃x Gx ∧ ∀y ((Fy ∧ Gy) ∨ (~Fy ∧ ~Gy)))
(d)Niceleyiciler başa alınarak aşağıdaki ön-nicelemeli normal biçimdeki önerme
elde edilir:
∃x ∀y (Gx ∧ ((Fy ∧ Gy) ∨(~Fy ∧ ~Gy)))

Bir formülde tüm değişken geçişleri bağlı ise, bu formül sembolik niceleme mantığında bir “kapalı formül” veya “önerme”dir. En az bir serbest değişken geçişi olan bir formül ise “açık formül” olarak adlandırılır.

Tümel-niceleyici

Tikel-niceleyici

En az bir canlı omurgalıdır.

Her kedi omurgalıdır.

En az bir kedi sıcakkanlıdır.

Bazı asal sayılar tek sayı değildir.

Hiçbir asal sayı tek rakamlı değildir.

Birey değişkenleri

Ad sembolleri

Bu formüldeki tüm değişken geçişlerinin bağlı olması