SEMBOLİK MANTIK

En temel bildirsel tümceler (önermeler), “Dünya yuvarlaktır.” ve “Dünya Güneşin etrafında döner.” önermeleri gibi, bir varlığın belirli bir niteliğe sahip olduğunu veya belirli varlıklar arasında belirli bir ilişki olduğunu dile getiren önermelerdir.
Bu önermeler gibi, başka bir önermeden türetilmemiş olan önermeler basit önermelerdir. Basit önermeler “değil” ve “ve” gibi ifadelerle birleştirilerek bileşik önermeler elde edilir. Bir başka deyişle en az bir başka önermeden elde edilmiş önermeler bileşik önermedir. Önermelere eklenerek veya önermeleri birleştirerek yeni
önerme elde etmemizi sağlayan ifadeler önerme eklemleridir. Bir bileşik önermeyi elde etmek için kullanılan önermeler bu bileşik önermenin bileşenleridir. Bir bileşik önermede en son birleştirilen önermeler bu bileşik önermenin ana bileşenleridir“Değil”, “ve” ve benzerlerini az sonra ele alacağımız ifadelerin en önemli özelliği, bu ifadelerin birer doğruluk fonksiyonu belirtmeleridir. Bir önerme ekleminin doğruluk fonksiyonu belirtmesi demek, bu eklemle elde edilmiş bir önermenin doğruluk değerinin, sadece bu eklemin anlamı ve birleştirilen önermelerin doğruluk değerlerine göre belirlenebilmesi demektir. Bu eklemlere doğrusal eklem denmektedir. Doğru yanıt A seçeneğidir.

Doğrusal olmayan eklemlere örnek olarak, “için” ifadesini ele alalım. Bu ifade ile de, her iki önermeyi ekleyip yeni bir önerme elde edebiliriz. Örneğin, aynı önermeleri kullanarak elde edeceğimiz “Dünya Güneşin etrafında döndüğü için (Dünya) yuvarlaktır.” önermesini ele alalım. Hakikaten, anlaşılır ve kesin bir yargı
bildiren bu tümce de bir önermedir. Dahası, hangi iki önermeyi alırsak alalım, bu iki önermeyi “için” ifadesi ile birleştirdiğimizde yeni bir önerme elde ederiz. Ancak, iki önermenin “için” ifadesi ile birleştirilmesi ile elde edilen önermenin
doğruluk değerini sadece “için” ifadesinin anlamına ve birleştirdiğimiz iki önermenin doğruluk değerine bakarak karar veremeyiz. Hepimiz gibi, “için” ifadesinin anlamını bilen bir kişi, hem Dünyanın Güneş etrafında döndüğünü hem Dünyanın yuvarlak olduğunu bildiği halde, Dünyanın yuvarlak olmasının Güneş
etrafında döndüğü için olup olmadığını bilmeyebilir. Bunu bilmek için Dünyanın
yapısını, nasıl oluştuğunu vs. bilmek gerekir. Bu da, bir miktar astronomi, jeoloji, fizik bilgisi gerektirir. Bu örnekten yola çıkarak, genel olarak, “için” ifadesi ile birleştirilmiş iki önermeden oluşan bir önermenin doğruluk değerinin, sadece
mantık bilgisi ile belirlenemeyeceğini söyleyebiliriz. Bu belirleme ancak bu önermelerin ait olduğu alanda (gündelik yaşam, bir bilim dalı vs.) gerçekleştirilebilir. Doğrusal olmayan önerme eklemlerinin önemli bir türü, önermelerin doğruluğunu niteleyen kiplerdir (modaliteler). Doğru yanıt B seçeneğidir.

Temel doğrusal önerme eklemleri aşağıdaki gibi adlandırılır:
• “değil” olarak okunan önerme eklemi değilleme eklemi,
• “ve” olarak okunan önerme eklemi tümel evetleme eklemi,
• “veya” olarak okunan önerme eklemi tikel evetleme eklemi,
• “ise” olarak okunan önerme eklemi koşul eklemi,
• “ancak ve ancak ... ise “ olarak okunan önerme eklemi karşılıklı koşul eklemidir.

Bu eklemleri göstermek için yaygın olarak kullanılan semboller ise şunlardır:
• Değilleme eklemi sembolü: ~
• Tümel-evetleme eklemi sembolü:∧
• Tikel-evetleme eklemi sembolü: ∨
• Koşul eklemi sembolü: →
• Karşılıklı-koşul eklemi sembolü: ↔ Doğru yanıt C seçeneğidir.

Tümel evetleme eklemi: “A ve B” tümel-evetlemeli önermesi,
1. Hem A hem de B,
2. A olmasına rağmen B,
3. A ama (fakat, ancak) B,
4. A olmasının yanı sıra B
biçimlerinde ifade edilebildiği gibi,
5. Bileşenlerden biri tümcecik olarak ifade edilerek de ifade edilebilir.
Buna göre, aşağıdaki önermelerin hepsi de “Dünya kendi ekseni etrafında döner ve Dünya Güneşin etrafında döner” önermesi ile aynı yargıyı dile getirir ve, bu nedenle, aynı biçimde sembolleştirilecektir:
1. Dünya hem kendi ekseni etrafında, hem de Güneşin etrafında döner.
2. Dünya kendi ekseni etrafında dönmesine rağmen, Güneşin etrafında (da)
döner.
3. Dünya kendi ekseni etrafında döner ama kendi ekseni etrafında da döner.
4. Dünya kendi ekseninin etrafında dönmesinin yanı sıra, Güneşin etrafında
da döner.
5. Kendi ekseni etrafında dönen Dünya, Güneşin etrafında da döner.
Tikel evetleme eklemi: “A veya B” tikel evetlemeli önermesi “Ya A ya da B” biçiminde de ifade edilir. Buna göre, “Dünya kendi ekseni etrafında döner veya Dünya Güneşin etrafında döner” önermesi ile aynı yargıyı dile getiren “Dünya ya kendi ekseni etrafında ya da Dünya Güneşin etrafında döner” önermesi de tikel evetlemeli önerme biçiminde sembolleştirilecektir. Doğru yanıt D seçeneğidir.

Değilleme eklemi: Bir önerme doğru ise değili yanlış, yanlış ise değili doğrudur.

Tümel evetleme eklemi: Tümel-evetlemeli
bir önerme ancak her iki bileşeni de doğru ise
doğru olur. Diğer tüm hallerde tümel-evetlemeli
bir önerme yanlıştır.

Tikel evetleme eklemi: Tikel evetlemeli önerme ancak iki bileşeni de yanlış ise yanlış olur. Diğer tüm hallerde önerme doğrudur.

Koşul eklemi: Koşullu önerme ancak ön-bileşeni doğru, ard-bileşeni yanlış olduğunda yanlıştır. Diğer tüm hallerde önerme doğrudur.

Karşılıklı-koşul eklemi: Karşılıklıkoşullu önerme her iki bileşeni de aynı doğruluk değerini aldığında doğru, bileşenlerinin doğruluk değerleri farklı olduğunda yanlıştır. Doğru yanıt E seçeneğidir.

~(~(~p ∧ ~q) ∨ ~(p ∨ q))

≡ ~~(~p ∧ ~q) ∧ ~~(p ∨ q))
≡ (~p ∧ ~q) ∧ (p ∨ q)
≡ ~p ∧ (~q ∧ (p ∨ q))
≡ ~p ∧ ((~q ∧ p) ∨ (~q ∧ q)) Doğru yanıt C seçeneğidir.

Doğruluk tablolarını yaparak görebileceğiniz gibi, aşağıdaki eşdeğerlikler doğru olduğundan, değilleme ve tümel evetleme eklemleri diğer eklemleri ifade etmeye yeterlidir:
1. p ∨ q ≡ ~(~p ∧ ~q)
2. p → q ≡ ~(p ∧ ~q)
3. p ↔ q ≡ ~(p ∧ ~q) ∧ ~(~p ∧ q))
Doğruluk tablolarını yaparak görebileceğiniz gibi, aşağıdaki eşdeğerlikler doğru olduğundan, değilleme ve tikel evetleme eklemleri diğer eklemleri ifade etmeye yeterlidir:
1. p ∧ q ≡ ~(~p ∨ ~q)
2. p → q ≡ (~p ∨ q)
3. p ↔ q ≡ ~(~p ∨ ~q) ∨ ~(p ∨ q))

Doğru yanıt A seçeneğidir.

Ve

Ali ve Ayşe ayrıldılar.

/\

A, B önermelerinin her ikisi de yanlış ise

A yanlış ise

~, /\, v, -->, <-->

(~p --> ~p)

~(p --> p)

p /\ q

(~q --> ~p)