NİCELENMİŞ ÖNERMELERİN YORUMLANMASI
∃x Fx ∴∃x (Fx ∧ FA) çıkarımının karşı-modeli nedir?
SM = {a, b}, F = {a}, A = b
∀x (Fx → ∃y (Gx ∨ Gy)) önermesinin {a, b} kümesindeki açılımını yazınız.
(Fa → (Ga ∨ Ga) ∨ (Ga ∨ Gb)) ∧
(Fb → ((Gb ∨ Ga) ∨ (Gb ∨ Gb)))
Kümenin tanımını yazınız.
Küme, varlığı mantıksal bir çelişkiye yol açmayan herhangi bir nesneler topluluğudur.
Bir α nesnesi S kümesini oluşturan nesnelerden biri ise, “α nesnesi S kümesinin elemanıdır” denir ve bu durum sembolik olarak ne şekilde gösterilir?
Bir α nesnesi S kümesini oluşturan nesnelerden biri ise, “α nesnesi S kümesinin elemanıdır” denir ve bu durum sembolik olarak “α ∈ S” şeklinde gösterilir.
Alt kümeyi tanımlayınız.
S kümesinin tüm elemanları T kümesinin de elemanları ise, “S kümesi
T kümesinin altkümesidir” denir.
alt küme sembolik olarak hangi biçimde gösterilir?
Bu durum sembolik olarak “S ⊆ T” biçiminde
gösterilir.
Modelin tanımını yazınız.
S sonlu bir küme ise, bir önermede, önerme kümesinde veya çıkarımda geçen her yüklem sembolü için S kümesinin bir altkümesi ve her ad sembolü
için S kümesinin bir elemanından oluşan yapı, bu önermeyi, önerme kümesini
veya çıkarımı denetleyebileceğimiz bir modeldir.
∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesini denetleyecek bir model oluşturunuz.
∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinde, F, G ve H yüklem sembolleri ve A ad
sembolü geçmektedir. Dolayısıyla, bu önermeyi denetleyebileceğimiz bir M modeli,
modelin evreni olarak bir SM kümesinden, F, G ve H yüklemlerinin herbiri için SM
kümesinin FM, GM ve HM altkümelerinden ve A ad sembolünün karşılığı olarak SM
kümesinin bir AM elemanından oluşmalıdır. O halde, aşağıdaki modellerin herbiri
∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesini denetleyebileceğimiz birer modeldir:
(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, HM = {b}, AM = a
(b) SM= {a, b, c}, FM = {b}, GM = {b,c}, HM = {b}, AM = c
(c) SM = {a}, FM = { }, GM = {a}, HM = {a}, AM= a
altküme yüklemin “kaplamı”'nı açıklayınız
Bir yüklem sembolünün bir kümede yorumlanması, o kümede o yüklemin belirttiği özelliğe sahip elemanlardan oluşan altkümenin belirtilmesidir. Bu altküme yüklemin “kaplamı” olarak adlandırılır.
Bir ad sembolünün bir kümede yorumlanması ne şekilde gerçekleşir?
Bir ad sembolünün bir kümede yorumlanması, o ad sembolünün kümede işaret ettiği elemanın belirtilmesidir
∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → GB)) ∴ ∃y (Gy ´ HB) çıkarımında hangi ad sembolleri geçmektedir?
∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → GB)) ∴ ∃y (Gy ´ HB) çıkarımında A ve B ad sembolleri geçmektedir.
∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → GB)) ∴ ∃y (Gy ´ HB) çıkarımında yüklem
sembolleri hangileridir?
∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → GB)) ∴ ∃y (Gy ´ HB) çıkarımında, F, G ve H yüklem
sembolleridir.
∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → GB)) ∴ ∃y (Gy ´ HB) çıkarımını denetleyeceğimiz bir M modelinde kümenin elemanlarını yazınız.
∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → GB)) ∴ ∃y (Gy ´ HB) çıkarımında, F, G ve H yüklem
sembolleri, A ve B ad sembolleri geçmektedir. Dolayısıyla, bu çıkarımı denetleyebileceğimiz bir M modeli, modelin evreni olarak bir SM kümesinden, F, G ve H
yüklemlerinin herbiri için SM kümesinin FM, GM, HM altkümelerinden, A ve B ad
sembollerinin karşılığı olarak SM kümesinin AM ve BM elemanlarından oluşmalıdır.
∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → GB)) ∴ ∃y (Gy ´ HB) çıkarımını denetleyeceğiniz bir model oluşturunuz.
Aşağıdakilerin her biri ∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → GB)) ∴ ∃y (Gy ↔ HB)
çıkarımını denetleyebileceğimiz bir modeldir:
(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, HM = {a}, AM = a, BM = a
(b) SM = {a, b,c}, FM = GM = HM = {a}, AM = a, BM = b
(c) SM = {a, b}, FM = { }, GM= {a}, HM = {b}, AM = b, BM = b
{∃x ∃y (FA ∧ ~Fy), ∀y (GB ∧ ~Fy)} önermeler kümesinde yüklem sembolleri hangileridir?
{∃x ∃y (FA ∧ ~Fy), ∀y (GB ∧ ~Fy)} önermeler kümesinde, F ve G yüklem sembolleridir.
{∃x ∃y (FA ∧ ~Fy), ∀y (GB ∧ ~Fy)} önermeler kümesinde ad sembolleri hangileridir?
{∃x ∃y (FA ∧ ~Fy), ∀y (GB ∧ ~Fy)} önermeler kümesinde A ve B ad sembolleridir.
{∃x ∃y (FA ∧ ~Fy), ∀y (GB ∧ ~Fy)} önermeler kümesini denetleyeceğiniz bir model oluşturunuz.
Aşağıdakilerin her biri {∃x ∃y (FA ∧~Fy), ∀y (GB ∧ ~Fy)} önermeler kümesini denetleyebileceğimiz bir modeldir:
(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, AM = a, BM = b,
(b) SM = {a, b, c}, FM = {b}, GM = {b,c}, AM = c, BM = c,
(c) SM = {a}, FM = { }, GM = {a,b}, AM = a, BM = a
{∃x ∃y (FA ∧ ~Fy), ∀y (GB ∧ ~Fy)} önermeler kümesini denetleyeceğimiz bir M modelinde kümenin elemanlarını yazınız.
bu önermeler kümesini denetleyebileceğimiz bir M modeli, modelin evreni olarak bir SM kümesinden, F ve G yüklemlerinin herbiri için SM kümesinin FM ve GM altkümelerinden, A ve B ad sembollerinin karşılığı olarak SM kümesinin AM ve BM elemanlarından oluşmalıdır.
Nicelemeli Bir Önermenin Bir Evrende Açılımına bir örnek veriniz.
A = ∀y ((Fx ∧ Gy) ∨ (Gy → Hx)) olsun. A formülünün tek serbest değişkeni
x olduğundan, A(a) ifadesi A formülünde x değişkeninin her geçişi yerine a
elemanının konması ile elde edilir: A(a) = ∀y ((Fa ∧ Gy) ∨ (Gy → Ha)) . Aynı
şekilde, A(b) = ∀y ((Fb ∧ Gy) ∨ (Gy → Hb)) .
Nicelemeli önermelere bir örnek veriniz.
A = ∃x ((FA ∧ Gy) ∨ (Gy → Hx)) olsun. A formülünün tek serbest değişkeni
y olduğundan, A(a) ifadesi A formülünde y değişkeninin her geçişi yerine a
elemanının konması ile elde edilir: A(a) = ∃x ((FA ∧ Ga) ∨ (Ga → Hx)). Aynı
şekilde, A(b) = ∃x ((FA ∧ Gb) ∨ (Gb →Hx))