YÜKLEMLER VE NİCELEYİCİLER

Gündelik dilde, tümel-niceleyiciyi ifade etmek için “her” kelimesi yerine, “tüm”, “bütün” ifadeleri de kullanılmaktadır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı bakımından aynı yargıyı dile getirirler:

Her insan ölümlüdür.
Tüm insanlar ölümlüdür.
Bütün insanlar ölümlüdür.

“Bazı” kelimesi yerine “kimi”, “en az bir” ifadeleri de tikel-niceleyici anlamında kullanılır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı bakımından aynı yargıyı dile getirirler: Bazı insanlar filozoftur. Kimi insanlar filozoftur. En az bir insan filozoftur.

“Her F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesidir. “Her F G dir” önermesi doğru ise F olup G olmayan bir şey olamaz. Dolayısıyla, “Bazı F G değildir” önermesi yanlış olur. “Her F G dir” önermesi yanlış ise, F olan bazı şeyler G değildir ve “Bazı F G değildir” önermesi doğru olur. “Her F G dir” önermesinin dilbilgisi bakımından değili olan “Her F G değildir” önermesi “Her F G-olmayandır” yani “Hiçbir F G değildir” anlamında yorumlanabileceğine dikkat edilmelidir. Oysa “Her F G dir” önermesinin değili “Hiçbir F G değildir” olamaz. Çünkü bu iki önerme de aynı anda yanlış olabilir.

Örneğin, hem “Her insan filozoftur” önermesi hem de “Hiçbir insan filozof değildir” önermesi yanlıştır. Bu iki önermenin birbirinin değili kabul edilmesi değilleme kurallarına aykırıdır: A ve ~A önermelerinin ikisi birden yanlış olamaz, biri yanlış ise diğeri doğru olmalıdır. 

“Bazı F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesi değil, “Hiçbir F G değildir” önermesidir. Bunun nedenini kolayca görebiliriz: Çoğu durumda, hem “Bazı F G dir” önermesi hem de “Bazı F G değildir” önermesi birlikte doğrudur. Örneğin, hem “Bazı insanlar filozoftur” önermesi hem de “Bazı insanlar filozof değildir” önermeleri doğrudur. Buna göre, “Bazı F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesi olamaz çünkü değilleme kuralları gereği A ve ~A önermelerinin ikisi birlikte doğru olamaz.

Bir sembolik dilin belirlenmesi için, öncelikle bu dilde kullanacağımız sembolleri belirtmeli, ardından da, bu sembolleri düzgün ifadeleri oluşturmak için hangi şekillerde bir araya getirebileceğimizi tanımlamalıyız.

Niceleme mantığının sembolik dili aşağıdaki sembolleri içerir:

(a) Önerme eklemleri: ~, ∧, ∨, →, ↔

(b) Birey değişkenleri: x, y, z, ...

(c) Ad sembolleri: A, B, C, ...

(d) Yüklem sembolleri: F, G, H, ...

(e) Tümel-niceleyici: 6 (“her” olarak okunur) Tikel-niceleyici: 7 (“bazı” olarak okunur)

(f) Parantezler: (, ).

Niceleme mantığının terimleri şu şekilde tanımlanabilir: (a) Her bir birey değişkeni bir terimdir. (b) Her bir ad sembolü bir terimdir. (c) Başka hiçbir sembol dizisi bir terim değildir.

Niceleme mantığının formülleri şu şekilde tanımlanabilir: (a) t bir terim ve Y bir yüklem sembolü ise Yt bir formüldür, (b) A bir formül ise ~A bir formüldür, (c) A ve B birer formül ise, (A ∧ B), (A ∨ B), (A → B) ve (A ↔ B) birer formüldür. (d) ν bir değişken A bir formül ise, 6 ν A ve 7 ν A birer formüldür, (e) Başka hiçbir sembol dizisi bir formül değildir. Sadece bir yüklem ve onu izleyen bir formülden oluşan Yt biçimindeki formüller “basit formül”, “atomik formül” ya da “atom”, bunun dışındaki formüller “bileşik formül” olarak adlandırılır.

Birey değişkenleri gündelik dildeki “bu”, “şu” gibi zamirlerin sembolik dildeki karşılığıdır. Aynen “bu” zamirinin hangi varlığa işaret ettiğinin kullanıldığı duruma göre değişmesi gibi, birey değişkenleri de, belirli bir varlığa işaret etmezler ancak bir birey değişkeni yerine belli bir varlığa işaret eden bir sembol konabilir. Bu anlamda birey değişkenlerini birer “yer tutucu” olarak kabul edebiliriz. Belirli bir varlık hakkında konuşmak istediğimizde, bu değişkenler yerlerini hakkında konuşmak istediğimiz varlığa ait ad sembolüne bırakırlar.

7y (Gy ∨ Hz) önermesinde 7y nicelemesinin etki alanı (Gy ∨ Hz) formülüdür. 7y nicelemesinin (7y Gy ∨ Hz) formülündeki etki alanı ise Gy formülüdür.

7y (Gx ∨ 6z Hz) formülünde 7y tikel-nicelemesinin etki alanı (Gx ∨ 6z Hz) formülüdür. Bu formülde 6z tümel-nicelemesinin etki alanı ise Hz formülüdür.

(7y (Gy ∨ 6z Hz) ↔ 7x Gx) formülünde 7y tikel-nicelemesinin etki alanı (Gy ∨ 6z Hz) formülü, 6z tümel-nicelemesinin etki alanı Hz formülü, 7x tikel-nicelemesinin etki alanı ise Gx formülüdür.

Bir v değişkenin bir formüldeki bir geçişi, bir 6v veya 7v nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “bağlı” geçişidir. Eğer, v değişkeninin bu geçişi ne 6v ne de 7v nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “serbest” geçişidir. Niceleyiciye bitişik olan birey değişkenleri de bağlı kabul edilir. Yani, 6v ve 7v nicelemelerinde, niceleyiciye bitişik olan v değişken geçişleri bağlıdır

Tüm arabalar kırmızıdır

Bazı insanlar yeşildir

Sadece x

x değişkeninin altı çizili olan ilk geçişi hiçbir 6x veya 7x nicelemesinin etki alanında olmadığından, 7y nicelemesinin etki alanında olmasına rağmen, serbesttir. x değişkeninin diğer tüm geçişleri ise 6x nicelemesinin etki alanında olduğundan bağlıdır.

Bir v değişkenin bir formüldeki bir geçişi, bir 6v veya 7v nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “bağlı” geçişidir. Eğer, v değişkeninin bu geçişi ne 6v ne de 7v nicelemesinin etki alanında ise bu değişkenin bir “serbest” geçişidir. Niceleyiciye bitişik olan birey değişkenleri de bağlı kabul edilir. Yani, 6v ve 7v nicelemelerinde, niceleyiciye bitişik olan v değişken geçişleri bağlıdır.

Bir formülde tüm değişken geçişleri bağlı ise, bu formül sembolik niceleme mantığında bir “kapalı formül” veya “önerme”dir. En az bir serbest değişken geçişi olan bir formül ise “açık formül” olarak adlandırılır.