SEMBOLİK MANTIK - Deneme Sınavı - 9

Çizelgede tüm dallar kapanırsa (yani çizelge kapanırsa) çıkarım . Doğru cevap C'dir.

................

Tümel niteleyici adı verilir?

Niceleme mantığında "bazı" kelimesiyle ifade edilen niteleyiciye tikel niteleyici adı verilir. Doğru cevap D'dir.

Tikel niteleyici

Niceleyicilerle karmaşık önermeler elde etmenin diğer bir yolu bileşik önermelerin nicelenmesidir. Örneğin, "Bazı insanlar zengindir ama mutlu değildir" önermesi bu yolla elde edilmiştir. Doğru cevap D'dir.

Önermeler mantığından bildiğiniz gibi, bir A önermesi ile bu önermenin değili olan ~A önermesi arasındaki ilişki şudur: A doğru ise ~A yanlış, A yanlış ise
~A doğrudur. Doğru cevap C'dir.

Şimdi de tikel-nicelemeli önermelerin değillenmesini ele alalım. "Bazı F G dir"
önermesinin değili "Bazı F G değildir" önermesi değil, "Hiçbir F G değildir" önermesidir. Bu örnekten hareketle doğru cevap B'dir.

Niceleme mantığı, önermelerin özne-yüklem yapısını ve "her", "bütün", "bazı", "kimi" gibi ifadeleri ele alan mantık sistemidir. Doğru cevap D'dir.

Nicelemeli bir sembolik önermenin verilen bir modeldeki doğruluk değerini çözümleyici çizelge yöntemi ile nasıl hesaplayacağımızı görelim. İlk olarak,
önermede geçen ad sembolleri yerine, bunların modelde karşılığı olarak verilen
elemanları yazarak elde ettiğimiz ifadeyi, çözümleyici çizelgenin 1 numaralı kök
noktasına yazarız. Ardından tümel ve tikel-nicelemenin açılımı kurallarını, niceleyici değilleme kurallarını ve önerme eklemlerine ait çözümleyici çizelge kurallarını kullanarak ilerleriz. Bir dalda ilerlerken, Y bir yüklem sembolü, s modelin
evreninin bir elemanı olmak üzere Ys veya ~Ys biçimindeki bir ifade ortaya çıktığında;
• Dalda ortaya çıkan ifade Ys ise ve modelde s ∈ YM ise, Ys ifadesi doğrudur
ve o dalda ilerlemeye devam ederiz.
• Dalda ortaya çıkan ifade ~Ys ise ve modelde s ∉ YM ise, ~Ys ifadesi doğrudur ve yine o dalda ilerlemeye devam edebiliriz.
• Dalda ortaya çıkan ifade Ys ifadesi ise ve modelde s ∉ YM ise, Ys ifadesi
yanlıştır ve o dalda daha fazla ilerlemeden, dalın sonuna bir × (çarpı) işareti
koyarız ve bu dalın “yanlış” bir dal olduğunu söyleriz.
• Dalda ortaya çıkan ifade ~Ys ifadesi ise ve modelde s ∈ YM ise,~Ys ifadesi
yanlıştır ve o dalda daha fazla ilerlemeden, dalın sonuna bir × (çarpı) işareti
koyarız ve bu dalın “yanlış” bir dal olduğunu söyleriz.

Birey değişkenleri: x, y, z sembollerini içerir. Doğru cevap E'dir.

Çözümleyici çizelge ile nicelemeli bir sembolik önermenin bir modelde doğruluk değerini
hesaplarken, çizelgede en az bir doğru dal ortaya çıkarsa, önerme bize verilen modelde
doğrudur. Çizelgede tüm dallar yanlış ise, önerme bize verilen modelde yanlıştır.

ν bir değişken A bir formül ise, ∀ ν A ve ∃ n A birer formüldür. Doğru cevap A'dır.

Çözümleyici çizelge ile model
oluştururken, bir dalda ∀ν A
biçiminde bir önerme ortaya
çıktığında, o dalda ortaya
çıkmış her s elemanı için A (s)
ifadesi dala eklenmelidir.

Çözümleyici çizelge ile
model oluştururken bir dalda
∃νA biçiminde bir önerme
ortaya çıktığında, o dalda
ortaya çıkmamış yeni bir s
elemanı için A (s) ifadesi dala
eklenmelidir.

Çözümleyici çizelge yöntemi ile, nicelemeli bir sembolik önerme için bir model bulmak için,
1. Önermede her S ad sembolü yerine s elemanını yazarız: A yerine a, B yerine
b, ... gibi. Bir ad sembolünün her geçtiği yere aynı eleman konmalıdır.
2. 1 numaralı kök noktasına elde ettiğimiz ifadeyi yazarız.
3. Tümel-özelleme ve tikel-özelleme kurallarını, tümel ve tikel-nicelemelerin
değillenmesi kurallarını ve önerme eklemlerine ait kuralları uygulayarak
ilerleriz. Burada özellikle dikkat etmemiz gereken nokta şudur: Dalda ortaya çıkan her eleman için o daldaki her ∀ν A ifadesine tümel-özelleme kuralı
uygulanmalıdır. Bir ∀ν A ifadesine tümel-özelleme kuralı uygulandıktan
sonra da dalda yeni bir eleman ortaya çıkarsa, ∀ν A ifadesine o eleman için
de tümel-özelleme kuralı uygulanmalıdır.
4. Bir dalda ilerlerken, bir ifade ve onun değili ortaya çıkarsa o dal kapalıdır ve
bu durum o dalın, sonuna × (çarpı) işareti konarak kapanmasıyla belirtilir.
5. İşlem uygulanacak bir ifade kalmadığı halde kapanmayan bir dal açık bir
daldır. Bu durum o dalın sonuna bir √ işareti konarak gösterilir

A ve B önermelerinin niceleme
mantığı bakımından eşdeğer
olduğunu çözümleyici çizelge
yöntemi ile göstermek, (A↔B)
önermesinin niceleme mantığında
geçerli olduğunu göstermek
demektir.

Totolojilerden önerme değişkenleri yerine niceleme mantığının önermelerinin konmasıyla elde edilen niceleme mantığı önermeleri niceleme mantığında geçerli önermelerdir. Doğru cevap B'dir.

Nicelemeli bir sembolik
çıkarımın geçerliliğini
denetlerken, öncüllerde ve
sonucun değilinde her S ad
sembolü için s elemanını
koyarak (aynı ad sembolünün
çıkarımdaki her geçişi yerine
aynı elemanı koymaya dikkat
ederek), model oluşturma
kurallarına göre ilerleriz.
Çizelgede tüm dallar kapanırsa
(yani çizelge kapanırsa)
çıkarım geçerlidir.

Bir çıkarımın geçersiz olması, en az bir modelde tüm öncüllerin doğru olmasına
rağmen sonuç önermesinin yanlış olmasıdır. Bir başka deyişle, bir çıkarımın geçerli
olması, bu çıkarımın öncüllerinin sonuç önermesinin değili ile birlikte tutarlı olmasıdır.