SEMBOLİK MANTIK - Deneme Sınavı - 7

Doğru yanıt E seçeneğidir.

Doğru yanıt C seçeneğidir.

Doğru yanıt A seçeneğidir.

Küme, varlığı mantıksal bir çelişkiye yol açmayan herhangi bir nesneler topluluğudur. Bir α nesnesi S kümesini oluşturan nesnelerden biri ise, “α nesnesi S kümesinin elemanıdır” denir ve bu durum sembolik olarak “α ∈ S” şeklinde gösterilir.

Bir α nesnesi S kümesini oluşturan nesnelerden biri ise, “α nesnesi S kümesinin elemanıdır” denir ve bu durum sembolik olarak “α ∈ S” şeklinde gösterilir. Eğer α nesnesi S kümesini oluşturan nesneler arasında değil ise, “α nesnesi S kümesinin elemanı değildir” denir ve bu durum sembolik olarak “α ∉ S” biçiminde gösterilir. Kümeyi, elemanlarını “{” ve ∀}” küme parantezleri arasına yazarak gösteririz. Bir kümenin hiçbir elemanının olmaması da mümkündür. Hiçbir elemanı olmayan küme “boş küme” olarak adlandırılır. Boş küme { } sembolü ile gösterilir.

S kümesinin tüm elemanları T kümesinin de elemanları ise, “S kümesi T kümesinin altkümesidir” denir. Bu durum sembolik olarak “S ⊆ T” biçiminde gösterilir.
(a) {a} ⊆ {a, b}, {b} ⊆ {a, b}, {a, c} ⊆ {a, b, c}
(b) Her S kümesi için, { } ⊆ S
(c) Her S kümesi için, S ⊆ S

Bir yüklem sembolünün bir kümede yorumlanması, o kümede o yüklemin belirttiği özelliğe sahip elemanlardan oluşan altkümenin belirtilmesidir. Bu altküme yüklemin “kaplamı” olarak adlandırılır.

∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinde, F, G ve H yüklem sembolleri ve A ad sembolü geçmektedir. Dolayısıyla, bu önermeyi denetleyebileceğimiz bir M modeli, modelin evreni olarak bir SM kümesinden, F, G ve H yüklemlerinin herbiri için SM kümesinin FM, GM ve HM altkümelerinden ve A ad sembolünün karşılığı olarak SM kümesinin bir AM elemanından oluşmalıdır. O halde, aşağıdaki modellerin herbiri ∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesini denetleyebileceğimiz birer modeldir:
(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, HM = {b}, AM = a
(b) SM= {a, b, c}, FM = {b}, GM = {b,c}, HM = {b}, AM = c
(c) SM = {a}, FM = { }, GM = {a}, HM = {a}, AM= a

A = ∀y ((Fx ∧ Gy) ∨ (Gy → Hx)) olsun. A formülünün tek serbest değişkeni x olduğundan, A(a) ifadesi A formülünde x değişkeninin her geçişi yerine a elemanının konması ile elde edilir: A(a) = ∀y ((Fa ∧ Gy) ∨ (Gy → Ha)) . Aynı şekilde, A(b) = ∀y ((Fb ∧ Gy) ∨ (Gy → Hb)) .

Bir A önermesinde geçen tüm nicelemelerin bir S kümesine göre elenmesiyle elde edilen ifade, A önermesinin S kümesindeki bir “doğrusal açılımı” olarak adlandırılır.

A = ∀y ∃x ((Fx ∧ Gy) ∨ (Gy → Hx)) olsun. A önermesinin {a, b} kümesindeki doğrusal açılımını bulalım. Önce tümel-niceleyiciyi elersek,
∃x ((Fx ∧ Ga) ∨ (Ga → Hx)) ∧ ∃x ((Fx ∧ Gb) ∨ (Gb → Hx)) elde edilir. Şimdi tikel-nicelemeleri elersek,
(((Fa ∧ Ga) ∨ (Ga → Ha)) ∨ ((Fb ∧ Ga) ∨ (Ga → Hb))) ∧ (((Fa ∧ Gb) ∨ (Gb → Ha)) ∨ ((Fb ∧ Gb) ∨ (Gb → Hb)))
ifadesi, ∀y ∃x ((Fx ∧ Gy) ∨ (Gy → Hx)) önermesinin {a, b} kümesindeki doğrusal açılımı olarak elde edilir.

Niceleme mantığında bir çıkarımın geçersiz olduğunu, çıkarımın tüm öncüllerinin doğru ancak çıkarımın sonuç önermesinin yanlış olduğu bir “karşı-model” oluşturarak gösterebiliriz. Bir çıkarımın bir karşı-modeli varsa, bu çıkarım niceleme mantığında geçersizdir. Çıkarımın karşı-modeli olmayan tüm modeller çıkarımın bir modeli kabul edilir. Yani, bir modelin çıkarımın bir modeli olması için, öncüllerden en az biri bu modelde yanlış olmalı veya tüm öncüller bu modelde doğru ise, sonucun da bu modelde doğru olması gerekir. Bir çıkarımın karşı-modelini oluştururken tüm önermeleri aynı modelde değerlendirmek gereklidir.

∃x ∃y (Fx ∧ ~Fy) önermesinin {a, b} kümesindeki açılımını elde etmek için, önce ∃x nicelemesini eleyelim. Elde edeceğimiz ifade ∃y (Fa ∧ ~Fy) ∨ ∃y (Fb ∧ ~Fy) ifadesidir. Şimdi her iki ∃y nicelemesini de elersek, ((Fa ∧ ~Fa) ∨ (Fa ∧ ~Fb)) ∨ ((Fb ∧ ~Fa) ∨ (Fb ∧ ~Fb)) ifadesini elde ederiz. ∃x ∀y (Fx ∧ ~Fy) önermesinin {a, b} kümesindeki açılımını elde etmek için, önce ∃x nicelemesini eleyelim. Elde edeceğimiz ifade ∀y (Fa ∧ ~Fy) ∨ ∀y (Fb ∧ ~Fy) ifadesidir. Şimdi her iki ∀y nicelemesini de elersek,
((Fa ∧ ~Fa) ∧ (Fa ∧ ~Fb)) ∨ ((Fb ∧ ~Fa) ∧ (Fb ∧ ~Fb)) ifadesini elde ederiz.
((Fa ∧ ~Fa) ∨ (Fa ∧ ~Fb)) ∨ ((Fb ∧ ~Fa) ∨ (Fb ∧ ~Fb)) ifadesinin doğru olması için, (Fa ∧ ~Fb) veya (Fb ∧ ~Fa) ifadelerinden birinin doğru olması gerekir. (Fa ∧ ~Fb) ifadesini doğru kabul edelim. Dolayısıyla, a elemanı F yükleminin kaplamında yer almalı b elemanı ise F elemanının kaplamında yer almamalıdır. ((Fa ∧ ~Fa) ∧ (Fa ∧ ~Fb)) ∨ ((Fb ∧ ~Fa) ∧ (Fb ∧ ~Fb)) ifadesi ise hiçbir durumda doğru olamaz. Bu ifade bir tikel-evetleme olduğundan, (Fa ∧ ~Fa) ∧ (Fa ∧ ~Fb) ya da (Fb ∧ ~Fa) ∧ (Fb ∧ ~Fb) bileşenlerinden birinin doğru olması yeterlidir. Ancak, (Fa ∧ ~Fa) ifadesi nedeniyle (Fa ∧ ~Fa) ∧ (Fa ∧ ~Fb) ifadesi, (Fb ∧ ~Fb) ifadesi nedeniyle de (Fb ∧ ~Fa) ∧ (Fb ∧ ~Fb) ifadesi doğru olamaz. Dolayısıyla, ∃x ∃y (Fx ∧ ~Fy) \ ∃x ∀y (Fx ∧ ~Fy) çıkarımı için karşı-modeli aşağıdaki şekilde oluşturabiliriz.
SM = {a, b}, FM = {a}

En az bir modelde doğru olan bir nicelemeli önerme tutarlı, en az bir modelde yanlış olan bir önerme geçersiz, en az bir modelde doğru ve en az bir modelde yanlış olan (yani tutarlı ama geçersiz) bir önerme olumsal, tüm modellerde doğru olan bir önerme
geçerlidir. Çıkarımlara gelince, en az bir modelde tüm öncülleri doğru ama sonuç önermesi yanlış olan bir çıkarım geçersiz, öncüllerinin tümünün doğru olduğu her modelde sonuç önermesi de doğru olan bir çıkarım ise geçerlidir.

Nicelemeli önermelerin sembolleştirilmesinde temel adım, geleneksel mantıkta (Aristoteles mantığı) “kategorik önermeler” olarak adlandırılan dört temel nicelemeli önerme biçiminin sembolleştirilmesidir.

• Her F G dir: ∀x (Fx → Gx)
• Hiçbir F G değildir: ∀x (Fx → ~ Gx)
• Bazı F ler G dir: ∃x (Fx ∧ Gx)
• Bazı F ler G değildir: ∃x (Fx ∧ ~ Gx)

“Her insan hata yapabilir ancak kimi hatalar kolay affedilmez” önermesinin verilen sembolleştirme anahtarına göre niceleme mantığındaki sembolik karşılığı ∀x (Fx → Gx) ∧ ∃y (Hy ∧ ~Ky) sembolik önermesidir.

“Her canlı üremiştir. O halde, hiçbir canlı ilk canlı değildir” çıkarımının, bize verilen sembolleştirme anahtarına göre, niceleme mantığının dilindeki sembolik karşılığı ∀x (Gx → Hx) ∴ ∀x ((Gx → ~(Fx ∧ Gx)) sembolik çıkarımıdır.

Sonuç olarak, “Bazı başarılı öğrenciler, arkadaşları tarafından sevilmeyen öğrencilerdir. Çünkü Ahmet başarılı ama arkadaşları tarafından sevilmeyen bir öğrencidir” çıkarımının niceleme mantığındaki sembolik karşılığı
FA ∧ (~HA ∧ GA) ∴ ∃x ((Fx ∧ Gx) ∧ (~Hx ∧ Gx))
sembolik çıkarımıdır.

Gündelik dile çeviri adımlarını açıkça sıralayalım:
1. adımda, en dıştaki parantezler hariç, okuma kolaylığı sağlamak için kaldırılmış olan parantezler eklenir.
2. adımda, ad sembolleri yerine, sembolleştirme anahtarında verilen adlar konur.
3. adımda, ifadede geçen her yüklem sembolü yerine, sembolleştirme anahtarında verilen yüklem ifadesi küme parantezleri içine konur. Hemen yanına yüklemin uygulandığı değişken veya ad konur.
4. adımda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde a yerine X değişken veya ad sembolünün konmasıyla elde edilen Y(X) ifadesi konur.
5. adımda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine gündelik dildeki niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri konur.
6. adımda, doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri konur ve istenirse kimi niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri eşanlamlı başka ifadelerle değiştirilir.