SEMBOLİK MANTIK - Deneme Sınavı - 6

Doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri koyarak ve niceleme ifadesini ve önerme eklemlerini eşanlamlı başka ifadelerle değiştirerek, İlkçağda yaşamış bazı filozoflar Anadolu’ludur gündelik dil önermesini elde ederiz.

Doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri koyarak ve niceleme ifadesini ve önerme eklemlerini eşanlamlı başka ifadelerle değiştirerek, Bir şeyin kuyruğu vardır ancak ve ancak, o şey ya bir köpek veya bir kedidir, ifadesini elde ederiz.

Doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri koyarak ve niceleme ifadesini ve önerme eklemlerini eşanlamlı başka ifadelerle değiştirerek, 2 asal sayı ise, bazı asal sayılar çift sayıdır, gündelik dil önermesini elde ederiz.

Tümel-niceleyici: Gündelik dilde, tümel-niceleyiciyi ifade etmek için “her”
kelimesi yerine, “tüm”, “bütün” ifadeleri de kullanılmaktadır.

Tikel-niceleyici: “Bazı” kelimesi yerine “kimi”, “en az bir” ifadeleri de tikelniceleyici anlamında kullanılır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı
bakımından aynı yargıyı dile getirirler:

Önerme "ve" ile bir araya getirilen iki önermeden oluüşmaktadır.

(a) Önerme eklemleri: ~, ∧, ∨, →, ↔
(b) Birey değişkenleri: x, y, z, şeklindedir.

Formüle ilişkin C şıkkı doğrudur.

Önermenin değili B şıkkında doğru olarak verilmiştir.

NİCELEME MANTIĞININ SEMBOLİK DİLİ bağlamında doğru cevap A olur.

Niceleme mantığında her formül, başta bir dizi niceleyici ve ardından niceleyici
geçmeyen bir “matris” ile oluşmuş bir formüle eşdeğerdir. Bu biçime formülün
“ön-nicelemeli normal biçimi” adı verilir.

∃y (Gy ∨ Hz) önermesinde ∃y nicelemesinin etki alanı (Gy ∨ Hz) formülüdür. ∃y
nicelemesinin (∃y Gy ∨ Hz) formülündeki etki alanı ise Gy formülüdür

Her F G dir” önermesinin dilbilgisi bakımından değili olan “Her F G değildir”
önermesi “Her F G-olmayandır” yani “Hiçbir F G değildir” anlamında yorumlanabileceğine dikkat edilmelidir. Oysa “Her F G dir” önermesinin değili “Hiçbir F G değildir” olamaz. Çünkü bu iki önerme de aynı anda yanlış olabilir. Örneğin,
hem “Her insan filozoftur” önermesi hem de “Hiçbir insan filozof değildir” önermesi yanlıştır. Bu iki önermenin birbirinin değili kabul edilmesi değilleme kurallarına aykırıdır: A ve ~A önermelerinin ikisi birden yanlış olamaz, biri yanlış ise
diğeri doğru olmalıdır. Bu nedenlerle biz “Her F G ddir” önermesinin değili olarak
sadece “Bazı F G değildir” önermesini kullanacağız.

Her F G dir” önermesi, “Her şey, eğer F ise G dir” ya da, daha açık bir ifade
ile, “Her şey için, eğer o şey bir F ise, o şey bir G dir” biçiminde yorumlanarak, ∀x
(Fx → Gx) biçiminde sembolleştirilir. “Her F G dir” önermesinin ∀x (Fx ∧ Gx)
biçiminde sembolleştirilmesi yanlış olurdu: ∀x (Fx ∧ Gx) önermesi bir modelde
yorumlandığında, o modeldeki her nesnenin hem F hem G olduğunu ifade eder.
Hakikaten, S = {a, b, c, ...} ise, bu kümede ∀x (Fx ∧ Gx) önermesinin açılımı, (Fa ∧
Ga) ∧ (Fb ∧ Gb) ∧ (Fc ∧ Gc) ∧... olurdu. Ancak,“Her F G dir” önermesi, bu biçimde yorumlanamaz

1. adımda, tikel ve tümel-niceleme ifadeleri ile önerme eklemlerinin eş anlamlıları standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile değiştirilerek ve noktalama işaretlerine uygun olarak parantezler yerleştirilerek, Her x (x bir insandır ise x hata yapabilir) ve bazı y (y bir hatadır ve değildir
y kolay affedilir.)
ifadesi, önermenin standart biçimi olarak elde edilir.
2. adımda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve
önerme eklemi sembolleri yerleştirilerek
∀x (x bir insandır → x hata yapabilir) ∧ ∃y (y bir hatadır ∧ ~y kolay affedilir)
3. adımda, parantezli yüklem ifadelerinin uygulandıkları değişkenle birlikte
konulmasıyla
∀x ({a birinsandır}x → {a hata yapabilir}x) ∧ ∃y ({a bir hatadır}y ∧ {a kolay
affedilir}y)
ifadesi elde edilir.
4. adımda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarında
bunların karşılığı olarak verilen yüklem sembolleri konarak
∀x (Fx → Gx) ∧ ∃y (Hy ∧ ~Ky)
önermesi elde edilir.
5. adımda, önermede geçen hiçbir ad olmadığından, yine
∀x (Fx → Gx) ∧ ∃y (Hy ∧ ~Ky)
önermesi elde edilir.
6. adımda, kurallara göre hiçbir parantez elenemeyeceğinden, yine aynı önerme elde edilir.
Dolayısıyla, “Her insan hata yapabilir ancak kimi hatalar kolay affedilmez”
önermesinin verilen sembolleştirme anahtarına göre niceleme mantığındaki sembolik karşılığı ∀x (Fx → Gx) ∧ ∃y (Hy ∧ ~Ky) sembolik önermesidir.

F: a besinsiz.
G: a canlıdır.
H: a beslenir.

Önerme A şıkkında gündelik dile uygun olarak verilmiştir.

Gündelik karşılığı C şıkkında doğru olarak verilmiştir.

En az bir modelde doğru olan bir nicelemeli önerme tutarlı, en az bir modelde yanlış olan bir önerme geçersiz, en az bir modelde doğru ve en az bir modelde yanlış olan (yani tutarlı ama geçersiz) bir önerme olumsal, tüm modellerde doğru olan bir önerme geçerlidir. Çıkarımlara gelince, en az bir modelde tüm öncülleri doğru ama sonuç önermesi yanlış olan bir çıkarım geçersiz, öncüllerinin tümünün doğru olduğu her modelde sonuç önermesi de doğru olan bir çıkarım ise geçerlidir.

“Her F G dir” önermesi, “Her şey, eğer F ise G dir” ya da, daha açık bir ifade
ile, “Her şey için, eğer o şey bir F ise, o şey bir G dir” biçiminde yorumlanarak, ∀x
(Fx → Gx) biçiminde sembolleştirilir.