SEMBOLİK MANTIK - Deneme Sınavı - 2

S_M {a,b}, F^M = {a,b}, G^M = {}

S_M {a,b}, F^M = {a,b}, G^M = {}

S_M {a,b}, F^M = {a, b}, G^M = {a}

∀x ((Fx ∧ Gx) → (Hx ∧ Jx))

Bazı kanatlılar kuştur. O halde, her kuş canlıdır.

Ǝx (Fx ∧ (Gx ∧ Hx))

∀x ((Fx ∧ Gx) → ~Hx)

Bazı şarkılar ne eğlenceli ne de üzüntülüdür.

Haftanın adı P” harfiyle başlayan günlerinin kümesi {Pazar, Pazartesi, Perşembe} kümesidir. 2 ile 5 arasındaki tam sayıların kümesi {3, 4} kümesidir. Haftanın adı “Z” harfiyle başlayan günlerinin kümesi { }, yani boş kümedir. Doğal sayılar kümesi {0,
1, 2, ...} kümesidir. Bir S kümesinin eleman sayısı bir doğal sayı ise, S kümesi sonlu bir kümedir. Örneğin, {Pazar, Pazartesi, Perşembe} kümesi, 3 elemanlı bir küme olduğu için sonludur. Boş küme de, 0 elemanlı bir küme olduğu için sonlu bir kümedir.

S kümesinin tüm elemanları T kümesinin de elemanları ise, “S kümesi T kümesinin alt kümesidir” denir. Bu durum sembolik olarak “S ⊆ T” biçiminde gösterilir.

Niceleme mantığının sembolik dilinde ad sembolleri gündelik dildeki özel adlar gibi işlev görür. Dolayısıyla, bir ad sembolünün bir kümede yorumlanması demek o ad sembolünü kümenin bir elemanı ile eşleştirmek demektir.

∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinde, F, G ve H yüklem sembolleri ve A ad sembolü geçmektedir.

Aşağıdaki modellerin her biri ∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesini denetleyebileceğimiz birer modeldir:
(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, HM = {b}, AM = a
(b) SM= {a, b, c}, FM = {b}, GM = {b,c}, HM = {b}, AM = c
(c) SM = {a}, FM = { }, GM = {a}, HM = {a}, AM= a

Aşağıdakilerin her biri ∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → GB)) ∴ ∃y (Gy ↔ HB) çıkarımını denetleyebileceğimiz bir modeldir:
(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, HM = {a}, AM = a, BM = a
(b) SM = {a, b,c}, FM = GM = HM = {a}, AM = a, BM = b
(c) SM = {a, b}, FM = { }, GM= {a}, HM = {b}, AM = b, BM = b

Aşağıdakilerin her biri {∃x ∃y (FA ∧~Fy), ∀y (GB ∧ ~Fy)} önermeler kümesini denetleyebileceğimiz bir modeldir:

(a) SM = {a, b}, FM = {a}, GM = {a,b}, AM = a, BM = b,
(b) SM = {a, b, c}, FM = {b}, GM = {b,c}, AM = c, BM = c,
(c) SM = {a}, FM = { }, GM = {a,b}, AM = a, BM = a

F gündelik dilde herhangi bir yüklem olmak üzere, “Bazı şeyler F dir” önermesini ele alalım: Bizim hakkında konuştuğumuz tüm varlıklar yani “her şey”, S = {a, b, c} kümesinin elemanları ise, “Bazı şeyler F dir” yani “En az bir şey F dir” demek, “Ya a, ya b, ya da c F dir” demektir. “Bazı şeyler F dir” önermesi sembolik olarak ∃x Fx ile gösterilmektedir.

F gündelik dilde herhangi bir yüklem olmak üzere, “Her şey F dir” önermesini ele alalım: Bizim hakkında konuştuğumuz tüm varlıklar yani “her şey”, S = {a, b, c} kümesinin elemanları ise, “Her şey F dir” demek, hem a, hem b, hem de c F dir demektir. “Her şey F dir” önermesi sembolik olarak ∀ x Fx ile gösterilmektedir.

∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinin {a, b} kümesindeki bir doğrusal açılımı: 

∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesi, A = ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) olmak üzere ∀v A biçimindedir. Tanıma göre, ∀v A ifadesinin {a, b} kümesindeki doğrusal açılımı, A(a) ∧ A(b) ifadesidir. Yani, ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) formülünde, x yerine önce a sonra b koyarak elde ettiğimiz iki ifadeyi tümel-evetleme ile birleştirmemiz gerekir:
A(a) = ((Fa ∧ GA) ∨ (Ga → Ha))
A(b) = ((Fb ∧ GA) ∨ (Gb → Hb))
olduğundan, ∀x ((Fx ∧ GA) ∨ (Gx → Hx)) önermesinin {a, b} kümesindeki açılımı olan A(a) ∧ A(b) ifadesi aşağıdaki biçimde elde edilir:
((Fa ∧ GA) ∨ (Ga → Ha)) ∧ ((Fb ∧ GA) ∨ (Gb → Hb))

Önerme hem önbileşeni hem de ardbileşeni niceleyici olan bir koşullu önerme olduğundan önce önbileşeni tanım gereği kümenin elemanlarına göre Fa ∨ Fb şeklinde indirgememiz gerekir. Sonra da ardbileşeni yine tanım gereği (FA → Ga) ∧ (FA → Gb) şeklinde indirgememiz gerekir. Önbileşen ver ardbileşeni koşul ifadesiyle birleştirip yazdığımızda ise karşımıza (Fa ∨ Fb) → ((FA → Ga) ∧ (FA → Gb)) önrmesi çıkar. Doğru yanıt A seçeneğidir.

Bu modelde "b" elemanı hem F kümesinin, hem de G kümesinin elemanı olduğu için (Fb ∧ Gb) önermesi doğru olur. Bu da ∃x (Fx ∧ Gx) önermesini doğru kılar. Doğru yanıt D seçeneğidir.