SEMBOLİK MANTIK - Deneme Sınavı - 12

Nicelemeli önermelerin sembolleştirilmesinde temel adım, geleneksel mantıkta (Aristoteles mantığı) “kategorik önermeler” olarak adlandırılan dört temel nicelemeli önerme biçiminin sembolleştirilmesidir. F ve G, “insan”, “canlı” gibi, herhangi iki genel terim olmak üzere, kategorik önermeleri genel olarak aşağıdaki şekilde ifade edebiliriz:

• Her F G dir.
• Hiçbir F G değildir.
• Bazı F ler G dir.
• Bazı F ler G değildir

Doğru cevap E seçeneğidir.

“Her F G dir” önermesi, “Her şey, eğer F ise G dir” ya da, daha açık bir ifade ile, “Her şey için, eğer o şey bir F ise, o şey bir G dir” biçiminde yorumlanarak, ∀x (Fx → Gx) biçiminde sembolleştirilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

“Her F G dir” önermesi, “Her şey, eğer F ise G dir” ya da, daha açık bir ifade
ile, “Her şey için, eğer o şey bir F ise, o şey bir G dir” biçiminde yorumlanarak, ∀x (Fx → Gx) biçiminde sembolleştirilir. Doğru cevap A seçeneğidir.

“Hiçbir F G değildir” önermesi, “Her şey, eğer F ise G değildir” ya da, daha
açık bir ifade ile, “Her şey için, eğer o şey bir F ise, o şey bir G değildir” biçiminde yorumlanarak, ∀x (Fx → ~ Gx) içiminde sembolleştirilir. Doğru cevap B seçeneğidir.

“Bazı F ler G dir” önermesi, “Bazı şeyler, hem F dir hem de G dir” ya da, daha
açık bir ifade ile, “Bazı şeyler için, o şey hem bir F hem de bir G dir” biçiminde
yorumlanır ve ∃x (Fx ∧ Gx) biçiminde sembolleştirilir. Doğru cevap C seçeneğidir.

“Bazı F ler G değildir” önermesi “Bazı şeyler, F dir ve G değildir” ya da, daha
açık bir ifade ile, “Bazı şeyler için, o şey bir F dir ve bir G değildir” biçiminde
yorumlanır ve ∃x (Fx ∧ ~ Gx) biçiminde sembolleştirilir. Doğru cevap D seçeneğidir.

Bir gündelik dil önermesini, aşağıdaki adımları izleyerek sembolleştireceğiz:
1. adımda, gündelik dil önermesinde geçen tikel ve tümel-niceleme ifadelerinin ve önerme eklemlerinin eş anlamlıları, standart niceleme ifadeleriyle ve önerme eklemleri ile değiştirilerek, noktalama işaretlerine uygun olarak parantezler yerleştirilir. Önermeler mantığında olduğu gibi, bu işlem sonucunda elde edilen ifade gündelik dil önermesinin standart biçimidir.
2. adımda, niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri yerine niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerleştirilir.
3. adımda, “x bir insandır”, “Ahmet bir öğrencidir” gibi, X bir değişken veya ad, Y bir yüklem ifadesi olmak üzere, (XY) biçimindeki gündelik dil formülleri yerine, “{a bir insandır}x” ve “{a bir öğrencidir}Ahmet” ifadeleri gibi, {Y}X ifadesi konur.
4. adımda, parantezli yüklem ifadeleri yerine sembolleştirme anahtarında verilen yüklem sembolleri konur.
5. adımda, ifadede geçen adlar yerine ad sembolleri konur.
6. adımda, istenirse, kimi parantezler kurallara uygun olarak kaldırılabilir.

Doğru cevap E seçeneğidir.

Gündelik dile çeviri adımlarını açıkça sıralayrsak:
1. adımda, en dıştaki parantezler hariç, okuma kolaylığı sağlamak için kaldırılmış olan parantezler eklenir.
2. adımda, ad sembolleri yerine, sembolleştirme anahtarında verilen adlar konur.
3. adımda, ifadede geçen her yüklem sembolü yerine, sembolleştirme anahtarında verilen yüklem ifadesi küme parantezleri içine konur. Hemen yanına yüklemin uygulandığı değişken veya ad konur.
4. adımda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde
a yerine X değişken veya ad sembolünün konmasıyla elde edilen Y(X) ifadesi konur.
5. adımda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine gündelik dildeki
niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri konur.
6. adımda, doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri konur ve istenirse kimi niceleme ifadeleri ve önerme eklemleri eşanlamlı başka ifadelerle değiştirilir.

Doğru cevap B seçeneğidir.

1. adımda, verilen sembolik önermede, okuma kolaylığı sağlamak için kaldırılmış parantez olmadığından bu adımda yine ∃x ((Fx ∧ Gx) ∧ Hx) önermesi elde edilir.
2. adımda, önermede ad sembolü olmadığından, bu adımda yapılması gereken bir şey yoktur.
3. adımda, yüklem sembolleri yerine, sembolleştirme anahtarında verilen yüklem ifadelerini küme parantezleri içine koyarak ve bu ifadelerin yanına yüklemin uygulandığı değişkenleri koyarak, ∃x (({a Osmanlı döneminde yaşamıştır}x ∧ {a kadıdır}x) ∧ {a Kayserilidir}x) ifadesini elde ederiz.
4. adımda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde
a yerine X değişken veya ad sembolünün konmasıyla elde edilen Y(X) ifadesini koyarak, ∃x ((x Osmanlı döneminde yaşamıştır ∧ x kadıdır) ∧ x Kayserilidir) ifadesini elde ederiz.
5. adımda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine niceleme ifadelerini ve önerme eklemlerini koyarak, Bazı x ((x Osmanlı döneminde yaşamıştır ve x kadıdır) ve x Kayserilidir) ifadesini elde ederiz.
6. adımda, doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri koyarak ve niceleme ifadesini ve önerme eklemlerini eşanlamlı başka ifadelerle değiştirerek,
Osmanlı döneminde yaşamış bazı kadılar Kayserilidir
gündelik dil önermesini elde ederiz.

Doğru cevap C seçeneğidir.

1. adımda, verilen sembolik önermede, okuma kolaylığı sağlamak için kaldırılmış parantez olmadığından bu adımda yine ∃x ((Fx ∧ Gx) ∧ Hx) önermesi elde edilir.
2. adımda, önermede ad sembolü olmadığından, bu adımda yapılması gereken bir şey yoktur.
3. adımda, yüklem sembolleri yerine, sembolleştirme anahtarında verilen yüklem ifadelerini küme parantezleri içine koyarak ve bu ifadelerin yanına yüklemin uygulandığı değişkenleri koyarak, ∃x (({a geçmişe takılmıştır}x ∧ {a insandır}x) ∧ {a depresyondadır}x) ifadesini elde ederiz.
4. adımda, önermede geçen {Y(a)}X ifadeleri yerine, Y(a) yüklem ifadesinde
a yerine X değişken veya ad sembolünün konmasıyla elde edilen Y(X) ifadesini koyarak, ∃x ((x geçmişe takılmıştır ∧ x insandır) ∧ x depresyondadır)
ifadesini elde ederiz.
5. adımda, niceleyiciler ve önerme eklemi sembolleri yerine niceleme ifadelerini ve önerme eklemlerini koyarak, Bazı x ((x geçmişe takılmıştır ve x insandır) ve x depresyondadır) ifadesini elde ederiz.
6. adımda, doğal bir ifade elde etmek için parantezler yerine noktalama işaretleri koyarak ve niceleme ifadesini ve önerme eklemlerini eşanlamlı başka ifadelerle değiştirerek,
Geçmişe takılmış bazı insanlar depresyondadır 
gündelik dil önermesini elde ederiz.

Doğru cevap D seçeneğidir.

Gündelik dilde, tümel-niceleyiciyi ifade etmek için “her” kelimesi yerine, “tüm”, “bütün” ifadeleri de kullanılmaktadır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı bakımından aynı yargıyı dile getirirler:

Her insan ölümlüdür.

Tüm insanlar ölümlüdür.

Bütün insanlar ölümlüdür.

Hiçbir niceleyici ifade kullanmadan da tümel-nicelemeli bir önerme ifade edilebilir. Nitekim “İnsan ölümlüdür” dediğimizde aslında “Her insan ölümlüdür” demek isteriz.

“Bazı” kelimesi yerine “kimi”, “en az bir” ifadeleri de tikel-niceleyici anlamında kullanılır. Buna göre, aşağıdaki önermeler niceleme mantığı bakımından aynı yargıyı dile getirirler:

Bazı insanlar filozoftur.

Kimi insanlar filozoftur.

En az bir insan filozoftur.

Önermeler mantığınndan bildiğiniz gibi, bir A önermesi ile bu önermenin değili olan ~A önermesi arasındaki ilişki şudur: A doğru ise ~A yanlış, A yanlış ise ~A doğrudur. “Değilleme kuralları” diyebileceğimiz bu kurallar her A önermesi için geçerlidir. Dolayısıyla A nicelemeli bir önerme olduğunda bu kuralların sağlanması gerekir.

“Bazı F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesi değil, “Hiçbir F G değildir” önermesidir. Bunun nedenini kolayca görebiliriz: Çoğu durumda, hem “Bazı F G dir” önermesi hem de “Bazı F G değildir” önermesi birlikte doğrudur. Örneğin, hem “Bazı insanlar filozoftur” önermesi hem de “Bazı insanlar filozof değildir” önermeleri doğrudur. Buna göre, “Bazı F G dir” önermesinin değili “Bazı F G değildir” önermesi olamaz çünkü değilleme kuralları gereği A ve ~A önermelerinin ikisi birlikte doğru olamaz.

Hiçbir niceleyici ifade kullanmadan da tümel-nicelemeli bir önerme ifade edilebilir. Nitekim “İnsan ölümlüdür” dediğimizde aslında “Her insan ölümlüdür” demek isteriz. “Cisimler ısıtılınca genleşir” önermesi de, “Her cisim ısıtılınca genleşir” anlamına gelir.

Hiçbir niceleyici ifade kullanmadan da tümel-nicelemeli bir önerme ifade edilebilir. Nitekim “İnsan ölümlüdür” dediğimizde aslında “Her insan ölümlüdür” demek isteriz. “Cisimler ısıtılınca genleşir” önermesi de, “Her cisim ısıtılınca genleşir” anlamına gelir.

Ayrıca, “bir” ifadesi de çoğu zaman tümel-niceleyici anlamında kullanılır. Örneğin, “Bir sayı çift ise iki ile bölünür” önermesi “Her çift sayı iki ile bölünür” anlamına gelir.

∀, “her” olarak okunur ve tümel-niceleyici sembolüdür.

Bir nicelemenin bir formüldeki etki alanı, o nicelemeyi izleyen formüldür.

Ǝx (Gy v ∀z Hz) formülünde x için serbest geçiş vardır bu yüzden açık formüldür.

(Ǝx Gx ∧ ∀x (Fx ↔Gx)) önermesinin ön-nicelemeli normal biçimi:

Ǝx∀y(Gx ∧ ((Fy ∧ Gy) ∨ (~Fy ∧ ~Gy))) şeklindedir.