SEMBOLİK MANTIK - Deneme Sınavı - 1

B şıkkında ∀x (Fx ∧ ~Gx) öncül ifadesini tanıma ve evrene göre indirgediğimizde (Fa ∧ ~Ga) ∧ (Fb ∧ ~Gb) ifadesine ulaşırız. Bu ifade, kümelere baktığımızda D doğruluk değerini taşır. Sonuç ifadesi olan  ∀x (Fx ∧ GA) modele göre indirgendiğinde ise  (Fa ∧ GA) ∧ (Fb ∧ GA) ifadesi karşımıza çıkar. A'yı yerine koyduğumuzda (Fa ∧ Gb) ∧ (Fb ∧ Gb) önermesine ulaşırız. b, G kümesinin elemanı olmadığından Gb ifadesi yanlış olur, bu da sonucun doğruluk değerini Y (yanlış) kılar. Öncülü doğru olup sonucu yanlış olduğu için doğru yanıt B seçeneğidir.

Eğer α nesnesi S kümesini oluşturan nesneler arasında değil ise, “α nesnesi S kümesinin elemanı değildir” denir ve bu durum sembolik olarak “α ∉ S” biçiminde gösterilir. Doğru yanıt E seçeneğidir.

Küme, varlığı mantıksal bir çelişkiye yol açmayan herhangi bir nesneler topluluğudur. Doğru yanıt D seçeneğidir.

Bahsedilen eksik modelde ∀x ~Gx ifadesi G^M kümesi boş küme olmadığından her yorumda yanlış olacaktır. Bu durumda, FA önermesi de yanlış olmalıdır ki, FA ↔ ∀x ~Gx önermesinin doğruluk değeri her durumda  Y ↔ Y şeklinde doğru (D) olsun. Bize verilen eksik modelde A'yı yerine koyduğumuzda FA'yı Fb'ye indirgeriz. Bu durumda Fb'nin yanlış olması bize sorunun doğru cevabını verecektir. Bunu ifade eden önerme b ∉ F^M önermesidir. Doğru yanıt E seçeneğidir.

İlk niceleyiciyi kaldırarak indirgeme işlemi yaptığımızda ∃y (Fa ↔ Gy) ∧  ∃y (Fb ↔ Gy) ifadesi ortaya çıkar. Bu ifadeleri de indirgediğimzde bulduğumuz önerme ((Fa ↔ Ga) ∨ (Fa ↔ Gb)) ∧ ((Fb ↔ Ga) ∨ (Fb ↔ Gb)) önermesi olur. Doğru yanıt A seçeneğidir.

Modele baktığımızda GA'yı Gb şeklinde indirgeyebiliriz ve bu ifadenin doğruluk değeri D'dir. ∃x Gx ifadesini indirgedimizde ise Ga ∨ Gb ∨ Gc ifadesine ulaşırız. Modele göre Gb ve Gc ifadeleri doğru olduğu için Ga ∨ Gb ∨ Gc önermesinin doğruluk değeri de D olur. Bu durumda bu modele göre GA ↔ ∃x Gx önermesi doğru bir önerme olarak karşımıza çıkar. Doğru yanıt C seçeneğidir.

∃x (Fx ∧ Gx) ∴ ∀x (Fx → GA) ifadesinin öncülünü B şıkkındaki modele göre inirgediğimizde (Fa ∧ Ga) ∨ (Fb ∧ Gb) ∨ (Fc ∧ Gc) önermesine ulaşırız. Sonucunu indirgediğimzde ise (Fa → Gb) ∧  (Fb → Gb) ∧  (Fc → Gb) ortaya çıkar. Modele baktığımızda (Fa ∧ Ga) doğru olduğu için (yani  {a} kümesi hem F^M hem de G^M kümelerinin alt kümesi olduğu için) öncül doğru olur. Gb ifadesi, {b} kümesi G^M kümesinin alt kümesi olmadığından yanlış olur. Bu durum da, Fa → Gb önermesinin (Fa'nın doğru olduğunu {a} kümesinin F^M kümesinin altkümesi olmasından dolayı biliyoruz) doğruluk değerini Y yaptığından, sonucun doğruluk değerini de Y yapar. Doğru yanıt B seçeneğidir.

Karşı model oluştururken izlenmesi gereken adımlar şunlardır: (a) Sonlu bir S kümesi seçmek,
(b) Çıkarımı oluşturan tüm önermelerin A kümesindeki bir doğrusal açılımını oluşturmak, (c) Elde edilen ifadede, bileşenlere öncülleri doğru, sonuç önermesini yanlış yapacak şekilde doğruluk değeri vermeye çalışmak, (d) Elde edilen doğruluk değerlemesine göre, ad sembollerine karşılık gelecek elemanları ve yüklemlerin kaplamlarını belirlemek. Buna göre, doğru yanıt C seçeneğidir.

Önermeler mantığında gördüğümüz önerme eklemleri ile elde edilen bir bileşik önermenin doğruluk değeri, önerme ekleminin doğruluk tablosuna ve bileşenlerin doğruluk değerine göre belirlenir. Bileşenlerin nicelemeli veya nicelemesiz önermeler olması bu durumu değiştirmez.

Niceleme mantığında önermelerin yorumlanması için temel kavram olan “model” kavramını ele alabilmek için, kümelerle ilgili en temel kavramlara ilişkin bilgiye ihtiyacımız olacaktır.

niceleme mantığında yorumlama modellerle gerçekleşir. Her model bir küme üzerinde oluşturulur. Modelin üzerine kurulduğu küme, modelin “taşıyıcı kümesi” ya da “evreni” olarak adlandırılır.

{∃x ∃y (FA ∧ ~Fy), ∀y (GB ∧ ~Fy)} önermeler kümesinde, F ve G yüklem sembolleri, A ve B ad sembolleri geçmektedir.

Bir nicelemeli önermenin bir kümedeki açılımını elde etmekteki temel fikir, hakkında konuştuğumuz tüm varlıklar yani “konuşma evreni” bu küme olduğunda, önermenin ifade ettiği yargıyı ortaya koymaktır. Belirttiğimiz gibi, bizim kullanacağımız tüm kümeler sonlu olacağından, önermenin açılımı da belli uzunlukta bir ifade olacaktır.

Bir nicelemeli önermenin bir kümedeki doğrusal açılımını oluştururken, hangi nicelemenin önce elendiği sonucu değiştirmez.

{a, b, c} kümesi üzerindeki M modelinde FM = {a, b}, GM = {b, c} olsun. Buna göre, a ∈ FM ve b ∈ FM olduğundan, Fa ve Fb doğru, c ∉ FM olduğundan Fc yanlıştır. Ga yanlış, Gb ve Gc ise doğrudur.

A önermesinde geçen tüm yüklem ve ad sembollerinin yorumlandığı ve A önermesinin doğru olduğu bir M modeli A önermesinin bir modelidir. Eğer A önermesinin bir modelini oluşturmak istiyorsak, oluşturacağımız M modelinin evreni olmak üzere bir S kümesi seçip, bu kümede A önermesinin açılımını oluşturduktan sonra, ad ve yüklem sembollerini, A önermesinin açılımını doğru yapacak şekilde yorumlamamız gerekir. Bildiğiniz gibi, yorumlamada ad sembollerine karşılık S kümesinin bir elemanını, yüklem sembollerine karşılık olarak da S kümesinin bir altkümesini seçmemiz gerekir.

Önermeler mantığında bir çıkarımın geçersiz olduğunu göstermek için, çıkarımın doğruluk tablosunu yaparak, çıkarımın tüm öncüllerinin doğru ancak çıkarımın sonuç önermesinin yanlış olduğu bir doğruluk değerlemesi bulmak yeterli idi. Niceleme mantığında bir çıkarımın geçersiz olduğunu, çıkarımın tüm öncüllerinin doğru ancak çıkarımın sonuç önermesinin yanlış olduğu bir “karşı-model” oluşturarak gösterebiliriz.

(a) Sonlu bir S kümesi seçmek,
(b) Çıkarımı oluşturan tüm önermelerin A kümesindeki bir doğrusal açılımını oluşturmak,
(c) Elde edilen ifadede, bileşenlere öncülleri doğru, sonuç önermesini yanlış
yapacak şekilde doğruluk değeri vermeye çalışmak,
(d) Elde edilen doğruluk değerlemesine göre, ad sembollerine karşılık gelecek elemanları ve yüklemlerin kaplamlarını belirlemek.