Dualite ve Duyarlılık Analizleri

Dual problem ve primal problem arasındaki ilişkiler; dual çözümün taşıdığı önemli ekonomik anlam(gölge fiyatlar) ile matematiksel özellikler açısından işlem kolaylığı sağlaması bakımından yarar sağlar.   

Primal model olarak adlandırılan doğrusal programlama modellerinin değişik bir düzende oluşturulabilmesi ile elde edilen dual model adı verilir. 

Doğrusal programlamada dualitenin önemli olmasının ana nedenleri şunlardır: 
1. Dualite, primal problemin çözümünü kolaylaştırır.
2. Dual modelin değişkenlerinden hareketle, primal model ile ilgili önemli ekonomik açıklamalarda bulunma imkânı sağlar.
3. Duyarlılık analizi ile ilgili işlemlere katkıda bulunur.

Kanonik yapıda en büyükleme (maksimizasyon) amaçlı problemin dualini yazarken ortaya çıkan ilişkilere göre primal modelin sağ taraf sabitleri (b_i), dual modelin amaç fonksiyonu katsayılarıdır. 

Kanonik yapıda en küçükleme amaçlı problemin dualini yazarken ortaya çıkan ilişkilere göre, primal modelde amaç en küçükleme olduğunda, onun dual modelinde amaç en büyükleme olur.

Simpleks algoritması, doğrusal programlama modeli için optimum çözümü araştırmada kullanılan etkin bir çözüm yöntemidir. 

Maliyet yapılı doğrusal modelin simpleks ile çözümü araştırılırken en iyi çözüme C_j – Z_j ≥ 0 durumunda ulaşılmış olur.

Duyarlılık analizinin amacı, mevcut çözüm değişmeden modelin katsayılarında değişiklik olması hâlinde optimuma etkili bir şekilde nasıl ulaşılacağını belirlemektir. 

Maliyet yapılı model çözümünde simpleks tekniği uygulandığında Z_j –C_j nin değeri C_j –Z_j ≥0 veya Z_j –C_j ≤0 olduğundan optimum çözüme ulaşılmış olacaktır. 

Herhangi bir üretim miktarının bir birim artırılması veya azaltılması durumunda amaç fonksiyonundaki değişim miktarına gölge fiyat denir. 

Bol kaynakların gölge fiyatı 0'dır.  

Bu koşullarda 1 saat işgücünün değeri 8/3 TL’ dir.

Hammadde miktarının gölge fiyatı = 28/9 , duyarlılık analizi sonucuna göre hammadde miktarı 96 kg‘dan daha fazla ise 1 kg hammaddenin değeri 28/9 TL'den az olmasının nedeni, kaynakların bol oluşudur. 

Dual simpleks optimum çözüm tablosunda dual değişkenlerin C_j –Z_j aldığı değerler, primal modelin aylak değişken değerlerini verir.

Dual simpleks yöntemi, bir problemin dualine simpleks yöntemin uygulanmasıdır. Primal modele uygulandığı gibi dual model, adım adım simpleks yöntemi ile çözülür.

Bir doğrusal modelin dualinin kolaylıkla yazılabilmesi, amacın en büyükleme olması durumunda sıralanan (a) özellikleri ile amacın en küçükleme olması durumunda da sıralanan (b) özelliklerinin tamamının sağlanması halinde mümkündür. 

Primal modelin kısıtlayıcılarının teknik katsayıları dönüşüme uğradığında, dual modelin kısıtlayıcılarının teknik katsayılarını oluşturur. 

Kanonik yapıda en küçükleme amaçlı problemin dualini yazarken ortaya çıkan ilişkilere göre primal modelin her bir kısıtının sol tarafında yer alan satır katsayıları (a_i1,a_i2, … a_in), dual modelin “y_i” değişkenine ait sütun katsayılarını verir. 

Bir doğrusal programlama modelinde amaç fonksiyonu en büyükleme ve tüm kısıtlayıcılar “≤” yapısında veya amaç fonksiyonu en küçükleme ve tüm kısıtlayıcılar “≥” yapısında ise bu tür problemlere kanonik yapıda denir. 

Kanonik yapıda maksimizasyon amaçlı problemin dualini yazarken ortaya çıkan ilişkilere göre primal modelin kısıtlayıcı sayısı, dual değişken sayısına eşittir.