SAĞLIK ALANINDA İSTATİSTİK

Olasılık değerleri, daima 0 ile 1 arasında bir değer alır. Olasılık değerinin 0 olması olayın gerçekleşme şansının bulunmadığını, 1 olması ise olayın kesinlikle gerçekleşeceğini göstermektedir. 0 ile 1 arasındaki olasılık değerleri, olayın gerçekleşme şansının derecesini temsil eder. Bu nedenle doğru cevap C şıkkıdır.

Olası gözlemlerden yalnızca birinin gerçekleşmesi ile sonuçlanan sürece deney adı verilir. Deneyin sona erme biçimine ise sonuç adı verilir. Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.

Bir deneyin örneklem uzayı, bu deneyin tüm olası sonuçlarının kümesidir. Bu nedenle doğru cevap D şıkkıdır.

Tüm ayrı durumlar için ayrı ayrı olasılıkların çarpılması ile sonuç bulunabileceği için ilk zar atıldığında 6, daha sonra her zar atıldığında yine 6 farklı rakam gelme olasılığı olduğu için 6*6*6=216 olarak sonuç bulunur. Doğru cevap E şıkkıdır.

Seçim sırası önemli olduğundan permütasyon ile hesaplama yapılarak sonuç 120 olarak hesaplanır. Doğru cevap D şıkkıdır.

Olası tüm deney sonuçlarının gerçekleşme olasılıklarının toplamı 1 e eşit olmalıdır. Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.

Olasılıklar ağırlıklar olarak alındığında, bir rassal değişkenin kendi ortalamasından karesel sapmalarının ağırlıklı ortalaması varyanstır. Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

0 ile 1 arasında (0 ve 1 dahil) değerler alan ve bir olayın gerçekleşme şansını belirten sayıya olasılık denir.

Saymanın temel ilkesine göre bu deney için toplam olası sonuç sayısı: (2)(4)(3) = 24 olur.

İkinci sayma kuralı olan kombinasyon yardımıyla, N sayıda nesne arasından n adet nesnenin diziliş sırası dikkate alınmadan kaç farklı biçimde seçilebileceği yani bu seçimdeki olası sonuç sayısı belirlenebilmektedir. Buna göre, N sayıda nesneden n tanesi (n≤N) rastgele olarak seçilir ve n birim herhangi bir sırada yazılırsa buna n-dereceli kombinasyon adı verilir. Buna göre;

C_N^n = N!/(n ! .(N-n)!) eşitliği yardımıyla hesaplanır.

N=5 ve n= 2 olduğuna göre

C_5^2 = 5!/(2 ! .(5-2)!) = 5.4.3.2.1/2.1.3.2.1 = 10

Örneklem uzayında tanımlanan A ve B olaylarının birleşimi, A veya B ya da her ikisine de ait tüm örneklem uzayı noktalarını içeren olaydır ve bu birleşim A ∪B biçiminde gösterilir. Örneklem uzayında tanımlanan A ve B olaylarının kesişimi ise hem A hem de B’ye ait örneklem uzayı noktalarını içeren olaydır ve bu kesişim A ∩B biçiminde gösterilir. Verilen bilgiler ışığında, toplama kuralı yardımıyla iki olayın birleşiminin olasılığı hesaplanabilir. A ve B gibi iki olay için Toplama Kuralı;
P(A ∪B)= P(A)+P(B)-P(A ∩B)
P(A ∪B)= 0,75 + 0,4 – 0,38
= 0,77

Verilen bir A olayının tümleyeni, örneklem uzayında A olayının dışında kalan tüm örneklem uzayı noktalarını içeren olay olarak tanımlanır ve A^T olayının tümleyeni ile gösterilir. Bu durumda P(A)=1- P(A^T) = 1 – 0,82 = 0,18 olarak bulunur.

Beklenen değer, bir rassal değişkenin aldığı değerlerin, bu rassal değişkenlere ilişkin olasılıklarla ağırlıklandırıldığı bir ağırlıklı ortalamadır. Kesikli bir rassal değişkeninin beklenen değeri aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır:

E(x)= µ = ∑ x.P(x) = 0.(0,15) + 1.(0,25) + 2. (0,40 ) + 3. (0,20)
= 0 + 0,25 + 0,80 + 0,60
= 1,65

Binom deneyi uygulamalarında, binom olasılık fonksiyonu olarak adlandırılan özel bir matematiksel eşitlik yardımıyla, n sayıda denemede, ilgilenilen sonucun x kez ortaya çıkma olasılığı hesaplanabilir. Binom olasılık fonksiyonu;

P(x)= (n¦x) p^x (1- p)^(n-x)
n = 4 p= 0,70 (1-p)=0,30 ve x=4 olarak verilmiştir.Değerleri yerine yazdığımızda
P(x)= (4¦4) 〖(0,70)〗^4 (0,30)^0
= 1.(0,70).(0,70).(0,70).(0,70).1
= 0,24 değeri bulunur.

Binom deneyi uygulamalarında, binom olasılık fonksiyonu olarak adlandırılan özel bir matematiksel eşitlik yardımıyla, n sayıda denemede, ilgilenilen sonucun x kez ortaya çıkma olasılığı hesaplanabilir. Binom olasılık fonksiyonu;

P(x)= (n¦x) p^x (1- p)^(n-x)
n = 7 p= 0,80 (1-p)=0,20 ve x=5 olarak verilmiştir.Değerleri yerine yazdığımızda
P(x)= (7¦5) 〖(0,80)〗^5 (0,20)^2
= 21.(0,80).(0,80).(0,80).(0,80).(0,80).(0,20).(0,20)
= 0,275 değeri yaklaşık 0,28 olarak bulunur.

Aritmetik ortalaması μ ve standart sapması σ olan herhangi bir normal dağılım için olasılıkların hesaplanmasında standart normal dağılımdan yararlanılabilir. Bu amaçla yapılması gereken ilk işlem, dağılımın standart normal dağılıma dönüştürülmesidir. Herhangi bir normal dağılım, gözlem değerlerinden aritmetik ortalama değeri çıkartıldıktan sonra, bu farkın standart sapmaya bölünmesi yoluyla standart normal dağılıma dönüştürülebilir. Dolayısıyla, aritmetik ortalaması μ ve standart sapması σ olan normal dağılıma sahip bir x rassal değişkeninin standart normal dağılımlı z rassal değişkenine dönüştürülebilmesi için kullanılacak eşitlik;
Z= (x- μ)/σ olarak verilir. Ardından, istenen olasılığın hesaplanabilmesi için standart normal dağılım tablosu ve uygun z değerinden yararlanılır. Örneğimiz için ise P(28≤x≤37) değerleri hesaplanırken
X=28 için z değeri Z= (28-32)/4 = -1 ve

X=37 için z değeri Z= (37-32)/4 = 1,25 olarak bulunur. Bu durumda
P(-1 ≤ z ≤ 1,25 ) değerleri arasındaki alan hesaplanmalıdır.
Z= -1 ortalamanın solunda ve z = 1,25 değeri ortalamanın sağında olduğu için ikisinin denk geldiği alan değerleri toplanır.
Z= -1 için alan 0,3413 ve z = 1,25 için alan 0,3944 iki değer toplandığında ise 0,7357 olarak bulunur.

• Normal dağılım için eğrinin altında kalan toplam alan 1’e eşittir. Dağılım simetrik olduğundan, aritmetik ortalamanın sağında ve solunda kalan yarı alanların büyüklüğü 0,50’ye eşittir.
• Aritmetik ortalaması ve standart sapması belli bir normal dağılımda μ ve σ değerleri arasında değişmez ilişkiler vardır. Bu ilişki yardımıyla aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaşılırsa hangi büyüklükte bir alan elde edileceği belirlenebilir.
Standart normal dağılım için, dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonundan yararlanılarak oluşturulan tablo yardımıyla eğrinin altında kalan alanlar hesaplanarak istenen olasılıklar hesaplanabilir. Bu tabloya z tablosu adı verilir. Ek-1’de verilen z tablosunda, standart normal dağılıma sahip bir rassal değişkenin 0 ile z değeri aralığında bir değer alma olasılıkları verilmektedir.
Bizim işlemimiz için z= 1,15 değerine bakıldığında z=0 ile z=1,15 değerleri arasında kalan alan hesaplanmış olur.z= 1,15 değeri ise 0,3749 olduğu görülecektir.Bizden istenen P(z > 1,15) olduğu için (0,50 – 0,3749 ) = 0,1251 olarak bulunur.