SAĞLIK ALANINDA İSTATİSTİK

n birimlik örneklemin aritmetik ortalaması gözlem değerlerinin toplamının örneklem hacmine bölünmesi ile hesaplanır. İlgili formül şöyledir:

Buna göre örneklemin aritmetik ortalaması aşağıdaki biçimde elde edilir:

Türkiye İstatistik Kurumu 2012 yılı istatistiklerine göre 15-24 yaş grubunda yer alan genç erkeklerin boy ortalamaları 173.5'tir. Doğru cevap A'dır.

Standart sapma merkezi eğilim ölçülerinden biri değildir. Standart sapma değişkenlik ölçülerindendir.

Değişkenlik ölçüsü olarak kullanılacak en basit teknik değişim aralığı'dır. Değişim aralığı hesaplanabilmesi için serinin yalnızca iki değerinin bilinmesi yeterlidir.

Bir araştırmada gözlem değerlerinin terslerinin aritmetik ortalamasının tersi ile ilgileniliyor ise harmonik ortalama hesaplanmaktadır.

Yükseklik (mm) Frekans Orta Değer Frekans x Sınıf Orta Değeri (f_i x_i)
0 - 40                    2           20                 2 x 20 = 40  
40 - 80                  5           60                 5 x 60 = 300
80 - 120               12         100              12 x 100 = 1200
120 - 160              6          140               6 x 140 = 840
160 - 200              2          180               2 x 180 = 360
Toplam                 27                             ∑ f_ix_i    = 2740

μ= 2740/27 = 101.481'dir.

H.O.= 6/(1/40+1/45+1/44+1/49+1/47+1/48)= 45.248'dir.

Bu problemde yarışmacı için puan veren 10 adet hakem bulunmaktadır. Öncelikle
kaç tane gözlem değerinin hesaplama dışı bırakılacağı hesaplanır, 10*0,10 =1. Dolayısıyla küçükten büyüğe sıralı serinin en küçük bir değeri ve en büyük bir değeri hesaplama dışı bırakılır. Bu durumda 10 ve 90 gözlem değerleri değerlendirme dışı bırakılırlar. Geriye kalan 8 gözlem değerinin aritmetik ortalaması %10 kırpılmış ortalama olarak adlandırılır. Bu örnek için %10 kırpılmış ortalama değeri 69.375 olarak elde edilir.

Aralık en büyük ve en küçük değer arasındaki fark olarak tanımlanmıştır. Seride en büyük değer 25 gr ve en küçük değer 16 gr olduğundan maya ağırlığı değişkeni için aralık değeri 25 – 16 = 9 gr.’dır.

Değişkenlik ölçüleri arasında en sık kullanılanlar varyans ve standart sapma'dır. Varyans
ve standart sapma aritmetik ortalama yardımıyla hesaplanırlar.

Sağa çarpık frekans serilerinde büyük değere sahip gözlem değeri sayısı fazla olacağından ve bu değerlerde aritmetik ortalamayı büyütme yönünde etkileyeceğinden Aritmetik Ortalama > Medyan > Mod ilişkisi vardır. Doğru cevap E'dir.

10, 10, 12, 28, 28, 39, 50, 50, 50, 57 serisi frekans serisi olarak ve gruplandırılmış frekans serisi olarak aşağıdaki tablodaki gibi gösterilebilir.

Bu durumda, aritmetik ortalamaları da 334/10= 33,4 ve 316,5/10= 31,65 olarak hesaplanacaktır. Soruda sorulan ortalama farkı ise 33,4-31,65=1,75 olarak bulunur. Doğru yanıt B‘dir.

Öncelikle tabloya kümülatif frekansları yer alan bir sütun ekleyelim.

Toplam 30 öğrenci olduğuna göre 30/2= 15 olarak bulunur. Gruplanmış frekans serisinde, 15. Terimin yer aldığı sınıf medyan sınıfı 8-10 sınıfı’dır. Formülde yerine koyarsak:

 

Medyan=8+(2/11).((30/2)-6)=8+(18/11)=(88+18)/11=106/11=9,63

olarak hesaplanır. Doğru yanıt C seçeneğidir.

Bazı durumlarda küçükten büyüğe sıralanmış bir serinin alt ve üst limitlerinde bazı uç değerler yer alabilir. Bu uç değerler aykırı değerler olarak adlandırılır. Aykırı değerler özellikle aritmetik ortalama üzerinde olumsuz etkiler yaratarak, aritmetik ortalamanın seriyi temsiliyet gücünü azaltır. Serinin alt ve üst limitlerinde serinin genel yapısına uymayan aykırı değerlerin bulunması durumunda kullanılabilecek bir ortalama türü de kırpılmış ortalamadır. Doğru yanıt A'dır.

Frekans dağılımlarının simetrik olup olmadığı ya da sağa ya da sola çarpık olup olmadıkları hakkında fikir sahibi olunmak için bu merkezî eğilim ölçüsü olan aritmetik ortalama, medyan ve moddan faydalanırız. Tam/Mükemmel simetrik serilerinde her zaman Aritmetik Ortalama = Medyan = Mod ilişkisi vardır. Sola çarpık frekans serilerinde küçük değere sahip gözlem değer sayısı fazla olacağından ve bu değerlerde aritmetik ortalamayı küçültme yönünde etkileyeceğinden Aritmetik Ortalama < Medyan < Mod ilişkisi vardır. Sağa çarpık frekans serilerinde büyük değere sahip gözlem değer sayısı fazla olacağından ve bu değerlerde aritmetik ortalamayı büyütme yönünde etkileyeceğinden Aritmetik Ortalama > Medyan > Mod ilişkisi vardır. Bu durumda doğru yanıt C'dir.

Bu soruda tuğlaların değişken frekans dağılımı hakkında hiçbir bilgi verilmemiştir. Dağılımın simetrik ya da asimetrik olduğu konusunda bir bilgi yoktur. Dolayısıyla çözüm için Chebyshev teorem kullanılabilir. Chebyshev teoremine göre herhangi bir veri seti için (örneklem veya ana kütle) aritmetik ortalamadan standart sapmanın k katı uzaklıkta, k > 1 olmak üzere, yer alacak terimlerin en düşük oranı 1 – (1/k²)olur. İstenen aralık 5 gr. standart sapma aralığı olduğu için teoreme göre göre 

1-(1/(5²))=1-(1/25)=1-0,04=0,96 bulunduğundan, tuğlaların en az %96’ü 1000 gr'ın artı eksi 5 gr. standart sapma aralığında yer almaktadır. Doğru yanıt C'dir.

Veri setinde bulunan en küçük ve en büyük değerler sırasıyla 33 ve 98’dir. Eğer en küçük ve en büyük değerler bu değerler olsaydı veri setinin değişim aralığı = en büyük değer- en küçük değer = 98-33=65 olarak bulunurdu. Ancak soruda bize veri setinin değişim aralığının 75 olduğu verilmektedir. Bu durumda bu aralığı sağlamak için x in alabileceği iki değer vardır. x en küçük değer ise 75=98-x eşitliğinden x=23 olmalıdır. x en büyük değer ise 75=x-33 olur ki bu durumda x=108 olmalıdır. Bu değerlerden 23 seçenekler arasında yer aldığından doğru yanıt E'dir.

Değişkenlik ölçüler arasında en sık kullanılanlar varyans ve standart sapmadır. Varyans ve standart sapma, aritmetik ortalama yardımıyla hesaplanır. Terim değerlerinin aritmetik ortalamadan olan karesel farklarının ortalaması alınarak varyans elde edilir. Varyansın karekökü alınarak standart sapma elde edilir. Dolayısıyla biri biliniyorken diğeri hesaplanabilir. Bu durumda D seçeneğindeki ifade yanlıştır ve doğru yanıt D'dir.

Sınav sonuçlarının ortalaması 550/10=55 olarak bulunur. Ana kütle standart sapma formülü

olarak verilmiştir. Bu formülde ortalama yerine 55, n yerine 10 koyularak ve her bir değer için hesaplama gerçekleştirilerek standart sapma değeri 21,12 olarak hesaplanır.

Sola çarpık grafik şekildeki gibidir.

 

Ayrıca sola çarpık dağılımlarda aritmetik ortalama <medyan < mod olduğu unutulmamalıdır.

C seçeneği modu açıklamaktadır. E seçeneğinde ise medyan < mod ilişkisi ifade edilmektedir. Tüm verilenler değerlendirildiğinde verilerin başarılı bir gruba ait olduğu söylenebilir. Bu durumda B seçeneği yanlıştır. Doğru yanıt B’dir.