Tanımlayıcı İstatistikler

“Bir üretim hattında son 24 saat içerisinde saat başına ortaya çıkan ortalama hatalı ürün sayısı 9’dur. ” ifadesinde yer alan ortalama kavramı, bu üretim hattında saat başına ortaya çıkan hatalı ürün sayısının hangi değer etrafında toplandığı hakkında bir fikir vermektedir. Böyle bir durumda sistemden sorumlu olan karar verici ortalama kusurlu ürün sayısının fazla olduğuna karar vererek, sistemin üretimini durdurabileceği gibi bu rakamın kabul edilebilir sınırlar içinde olduğunu düşünerek sistemin ürün üretimine devam etmesini sağlayabilir.

Eğer ana kütle aritmetik ortalaması hesaplanıyorsa aritmetik ortalama için Yunan Alfabesinden µ (mü diye okunur) sembolü kullanılırken aritmetik ortalama örneklem için hesaplanıyor ise x_ sembolü kullanılır.

Gruplanmış frekans serilerinde hesaplanan aritmetik ortalama değeri yaklaşık bir değer olacaktır. Unutulmamalıdır ki gruplanmış frekans serilerinde her sınıf bir değer ile değil bir aralık ile temsil edilmektedir. Dolayısıyla aritmetik ortalamayı hesaplamak için her sınıfın orta noktasının alınması bir miktar bilgi kaybına yol açacaktır. Bu bilgi kaybı aritmetik ortalamanın yaklaşık bir değer olarak ortaya çıkmasına sebep olur.

Terim sayısının çift sayı olması durumunda medyan değerine sahip gözlem biriminin sıra numarası tamsayı değil ondalıklı bir sayıdır. Bu durumda medyan değerini tespit edebilmek için ilgili ondalıklı sayıyı kapsayan en yakın alt ve en yakın üst tam sayılar tespit edilir. Bu iki tamsayı sıra numarasında yer alan seri terim değerlerinin aritmetik ortalaması bize medyan değerini verecektir. 

Bir seride en çok tekrarlanan terimin değerine mod denir. Hesaplanması en kolay ortalama türüdür. Ölçümlenen değişken hangi ölçme düzeyinde olursa olsun mod hesaplanabilir. Seriler tek modlu olabilecekleri gibi bir seride 2 adet en çok tekrarlanan terim söz konusu ise seriye çift modlu seri denir. 2’den daha fazla terimin en çok tekrar sayısına sahip olması durumunda ise bu seride modun temsili bir ortalama olmayacağı belirtilerek uygun bir diğer ortalama hesaplanır. Gruplanmış frekans serilerinde mod bir tek gözlem değerine karşılık gelmez. Bunun yerine bir sınıfa karşılık gelir. En yüksek frekansa sahip sınıf mod sınıfı olarak adlandırılır. Daha sonra mod sınıfı yardımıyla gruplanmış frekans serisinin mod değeri hesaplanır.

Araştırılan değişkenin oran, indeks, yüzde ya da artış oranı olarak ölçümlendiği problemlerde değişken için ortalama hesaplanılması gerektiğinde kullanılan ortalama türü
geometrik ortalamadır. 

Seri içerisinde yer alan terimlerden herhangi birinin sıfır ya da sıfırdan küçük bir değer alması durumunda geometrik ortalama hesaplanamaz.

Bazı durumlarda küçükten büyüğe sıralanmış bir serinin alt ve üst limitlerinde bazı uç değerler yer alabilir. Bu uç değerler aykırı değerler olarak adlandırılır. Aykırı değerler özellikle aritmetik ortalama üzerinde olumsuz etkiler yaratarak, aritmetik ortalamanın seriyi temsiliyet gücünü azaltırlar. Serinin alt ve üst limitlerinde serinin genel yapısına uymayan aykırı değerlerin bulunması durumunda kullanılabilecek bir ortalama türü de kırpılmış ortalamadır.

Bir araştırmada gözlem değerlerinin terslerinin aritmetik ortalamasının tersi ile ilgileniliyor ise harmonik ortalama hesaplanır. Harmonik ortalama hesabına ekonomik olaylarda
ve bazı kimya, fizik deney sonuçlarının analizinde ihtiyaç duyulmaktadır. Özellikle fiyat, verimlilik gibi oransal olarak ifade edilebilen değişkenlerin ortalama hesabında harmonik
ortalama kullanımı uygundur.

Harmonik ortalamanın en büyük dezavantajı sıfır değerine sahip bir gözlem değeri olması durumunda sıfır olarak sonuçlanacağından, bu tür durumlarda kullanılamaz. Ek olarak ters işaretli (negatif, pozitif) değerli terimlerin bulunması durumunda da harmonik ortalama sonucu geçerli değildir. Harmonik ortalama kullanımı yaygın değildir.

Saçılım ölçüsü için elde edilecek küçük bir değer ilgilenilen verinin birbirine yakın değerler aldığını anlatır. Saçılımın büyük olduğu durumlarda ise verinin uç noktalarında aykırı değerler olabileceği veya değerlerin geniş bir yelpazede yer aldıkları algılanabilir. 

Varyans ve standart sapma aritmetik ortalama yardımıyla hesaplanırlar. Terim değerlerinin aritmetik ortalamadan olan karesel farklarının ortalaması alınarak varyans elde edilir. Varyansın karekökü alınarak standart sapma elde edilir. Varyans, ilgilenilen değişkenin ölçüm birimini karesel olarak ifade ederken standart sapma bu problemi ortadan kaldırarak değerin orijinal ölçüm birimi cinsinden ifade edilmesine olanak verir.

Farklı ölçekler ile ölçümlenmiş iki ya da daha fazla değişkenin standart sapma gibi bir ölçü yardımıyla değişkenliklerinin direk olarak karşılaştırılması mümkün değildir.  Karl Pearson bu amaçla değişkenlik katsayısı adı altında bir oran önermiştir. Veri farklı ölçeklere sahip olduğunda veya veri aynı ölçek ile ölçümlenmiş olsa bile değişken ortalamaları arasında çok büyük farklar var ise değişkenlik katsayısı faydalı bir karşılaştırma aracıdır. 

Üniversite çalışanlarının aile büyüklükleri ile aldıkları maaşları standart sapma cinsinden karşılaştırmak mümkün değildir. Direk olarak değişkenlikleri karşılaştırılamayan ama ortalamaya göre genel değişkenlikleri karşılaştırılmak istenen farklı ölçek tiplerindeki değişkenlerin bulunduğu durumlarda oransal bir değer kullanılabilir. Karl Pearson bu amaçla
değişkenlik katsayısı adı altında bir oran önermiştir.

Seride bulunan bütün terimlerin kullanılabileceği değişkenlik ölçülerinden birincisi ortalama sapmadır. Ana kütle ya da örneklemde yer alan terimlerin aritmetik ortalama
ya da medyandan ortalama olarak ne kadar saptıklarını göstermek amacı ile oluşturulur.

Dikkat edilirse eşitlikte farkların mutlak değerleri alınmaktadır. Bu mutlak değer alma işlemi gerçekleştirilmez ise bir seride yer alan bütün terimlerin aritmetik ortalamadan sapmaları toplamı her zaman için sıfır olacağından, ortalama sapma değişkenlik için faydalı bir değer olmayacaktır.

Değişkenlik ölçüsü olarak kullanılacak en basit teknik değişim aralığı olarak adlandırılır. Değişim aralığı hesaplanabilmesi için serinin yalnızca iki değerinin bilinmesi yeterlidir. Bu
iki değer serinin en büyük ve en küçük değeridir. Bunlar arasındaki fark bize değişim aralığı değerini verecektir.

Değişim aralığı genellikle kalite kontrol çalışmalarında hesaplama kolaylığından dolayı kullanılır. Ayrıca sadece bir ana kütle ya da bir örneklem için değişim aralığı hesaplaması yapmaktan çok, birden fazla ana kütle veya örneklemin karşılaştırılması için değişim aralığı hesabına ihtiyaç duyulur. Seride aykırı değerlerin varlığı, değişim aralığı istatistiğini olumsuz etkileyecektir.

Frekans dağılımlarının simetrik olup olmadığı ya da sağa ya da sola çarpık olup olmadıkları hakkında fikir sahibi olunmak için bu merkezî eğilim ölçüsü olan aritmetik ortalama, medyan ve moddan faydalanırız. Tam/Mükemmel simetrik serilerde her zaman Aritmetik Ortalama = Medyan = Mod ilişkisi vardır. Sola çarpık frekans serilerinde küçük değere sahip gözlem değeri sayısı fazla olacağından ve bu değerlerde aritmetik ortalamayı küçültme yönünde etkileyeceğinden Aritmetik Ortalama < Medyan < Mod ilişikisi vardır. Sağa çarpık frekans serilerinde büyük değere sahip gözlem değeri sayısı fazla olacağından ve bu değerlerde aritmetik ortalamayı büyütme yönünde etkileyeceğinden Aritmetik Ortalama > Medyan > Mod ilişkisi vardır.

Eğiklik katsayısında sıfır değeri frekans dağılımının tam/mükemmel simetrik olduğunu, pozitif değerler sağa doğru eğiklik ya da asimetriyi, negatif değerler ise sola doğru
eğiklik ya da asimetriyi gösterir. Eğiklik katsayısı –3 ile +3 arasında değerler alır. –3 ve + 3
limit değerlerine yaklaşıldıkça asimetri derecesinin arttığı belirtilir.

Herhangi bir veri kümesinde, ilgilenilen değişkenin frekans dağılımının şekline bakmaksızın (simetrik, sağa eğik veya sola eğik gibi) aritmetik ortalama değerinden belirli bir standart sapma uzaklıkta yer alan birimlerin en küçük oranı P.L. Chebyshev tarafından bir teorem yardımıyla gösterilmiştir. Örneğin, Chebyshev teoremine göre birimlerin %75’i aritmetik ortalamadan artı eksi 2 standart sapma aralığında değerler almaktadır. Chebyshev teoremine göre herhangi bir veri seti için (örneklem veya ana kütle) aritmetik ortalamadan standart sapmanın k katı uzaklıkta, k > 1 olmak üzere, yer alacak terimlerin en düşük oranı 1 – (1/k2) olur.