SAĞLIK ALANINDA İSTATİSTİK - Deneme Sınavı - 18

0 ile 1 arasında (0 ve 1 dahil) değerler alan ve bir olayın gerçekleşme şansını belirten sayıya olasılık denir.

Saymanın temel ilkesine göre bu deney için toplam olası sonuç sayısı: (2)(4)(3) = 24 olur.

İkinci sayma kuralı olan kombinasyon yardımıyla, N sayıda nesne arasından n adet nesnenin diziliş sırası dikkate alınmadan kaç farklı biçimde seçilebileceği yani bu seçimdeki olası sonuç sayısı belirlenebilmektedir. Buna göre, N sayıda nesneden n tanesi (n≤N) rastgele olarak seçilir ve n birim herhangi bir sırada yazılırsa buna n-dereceli kombinasyon adı verilir. Buna göre;

C_N^n = N!/(n ! .(N-n)!) eşitliği yardımıyla hesaplanır.

N=5 ve n= 2 olduğuna göre

C_5^2 = 5!/(2 ! .(5-2)!) = 5.4.3.2.1/2.1.3.2.1 = 10

Örneklem uzayında tanımlanan A ve B olaylarının birleşimi, A veya B ya da her ikisine de ait tüm örneklem uzayı noktalarını içeren olaydır ve bu birleşim A ∪B biçiminde gösterilir. Örneklem uzayında tanımlanan A ve B olaylarının kesişimi ise hem A hem de B’ye ait örneklem uzayı noktalarını içeren olaydır ve bu kesişim A ∩B biçiminde gösterilir. Verilen bilgiler ışığında, toplama kuralı yardımıyla iki olayın birleşiminin olasılığı hesaplanabilir. A ve B gibi iki olay için Toplama Kuralı;
P(A ∪B)= P(A)+P(B)-P(A ∩B)
P(A ∪B)= 0,75 + 0,4 – 0,38
= 0,77

Verilen bir A olayının tümleyeni, örneklem uzayında A olayının dışında kalan tüm örneklem uzayı noktalarını içeren olay olarak tanımlanır ve A^T olayının tümleyeni ile gösterilir. Bu durumda P(A)=1- P(A^T) = 1 – 0,82 = 0,18 olarak bulunur.

Beklenen değer, bir rassal değişkenin aldığı değerlerin, bu rassal değişkenlere ilişkin olasılıklarla ağırlıklandırıldığı bir ağırlıklı ortalamadır. Kesikli bir rassal değişkeninin beklenen değeri aşağıdaki eşitlik yardımıyla hesaplanır:

E(x)= µ = ∑ x.P(x) = 0.(0,15) + 1.(0,25) + 2. (0,40 ) + 3. (0,20)
= 0 + 0,25 + 0,80 + 0,60
= 1,65

Binom deneyi uygulamalarında, binom olasılık fonksiyonu olarak adlandırılan özel bir matematiksel eşitlik yardımıyla, n sayıda denemede, ilgilenilen sonucun x kez ortaya çıkma olasılığı hesaplanabilir. Binom olasılık fonksiyonu;

P(x)= (n¦x) p^x (1- p)^(n-x)
n = 4 p= 0,70 (1-p)=0,30 ve x=4 olarak verilmiştir.Değerleri yerine yazdığımızda
P(x)= (4¦4) 〖(0,70)〗^4 (0,30)^0
= 1.(0,70).(0,70).(0,70).(0,70).1
= 0,24 değeri bulunur.

Binom deneyi uygulamalarında, binom olasılık fonksiyonu olarak adlandırılan özel bir matematiksel eşitlik yardımıyla, n sayıda denemede, ilgilenilen sonucun x kez ortaya çıkma olasılığı hesaplanabilir. Binom olasılık fonksiyonu;

P(x)= (n¦x) p^x (1- p)^(n-x)
n = 7 p= 0,80 (1-p)=0,20 ve x=5 olarak verilmiştir.Değerleri yerine yazdığımızda
P(x)= (7¦5) 〖(0,80)〗^5 (0,20)^2
= 21.(0,80).(0,80).(0,80).(0,80).(0,80).(0,20).(0,20)
= 0,275 değeri yaklaşık 0,28 olarak bulunur.

Aritmetik ortalaması μ ve standart sapması σ olan herhangi bir normal dağılım için olasılıkların hesaplanmasında standart normal dağılımdan yararlanılabilir. Bu amaçla yapılması gereken ilk işlem, dağılımın standart normal dağılıma dönüştürülmesidir. Herhangi bir normal dağılım, gözlem değerlerinden aritmetik ortalama değeri çıkartıldıktan sonra, bu farkın standart sapmaya bölünmesi yoluyla standart normal dağılıma dönüştürülebilir. Dolayısıyla, aritmetik ortalaması μ ve standart sapması σ olan normal dağılıma sahip bir x rassal değişkeninin standart normal dağılımlı z rassal değişkenine dönüştürülebilmesi için kullanılacak eşitlik;
Z= (x- μ)/σ olarak verilir. Ardından, istenen olasılığın hesaplanabilmesi için standart normal dağılım tablosu ve uygun z değerinden yararlanılır. Örneğimiz için ise P(28≤x≤37) değerleri hesaplanırken
X=28 için z değeri Z= (28-32)/4 = -1 ve

X=37 için z değeri Z= (37-32)/4 = 1,25 olarak bulunur. Bu durumda
P(-1 ≤ z ≤ 1,25 ) değerleri arasındaki alan hesaplanmalıdır.
Z= -1 ortalamanın solunda ve z = 1,25 değeri ortalamanın sağında olduğu için ikisinin denk geldiği alan değerleri toplanır.
Z= -1 için alan 0,3413 ve z = 1,25 için alan 0,3944 iki değer toplandığında ise 0,7357 olarak bulunur.

• Normal dağılım için eğrinin altında kalan toplam alan 1’e eşittir. Dağılım simetrik olduğundan, aritmetik ortalamanın sağında ve solunda kalan yarı alanların büyüklüğü 0,50’ye eşittir.
• Aritmetik ortalaması ve standart sapması belli bir normal dağılımda μ ve σ değerleri arasında değişmez ilişkiler vardır. Bu ilişki yardımıyla aritmetik ortalamadan ne kadar uzaklaşılırsa hangi büyüklükte bir alan elde edileceği belirlenebilir.
Standart normal dağılım için, dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonundan yararlanılarak oluşturulan tablo yardımıyla eğrinin altında kalan alanlar hesaplanarak istenen olasılıklar hesaplanabilir. Bu tabloya z tablosu adı verilir. Ek-1’de verilen z tablosunda, standart normal dağılıma sahip bir rassal değişkenin 0 ile z değeri aralığında bir değer alma olasılıkları verilmektedir.
Bizim işlemimiz için z= 1,15 değerine bakıldığında z=0 ile z=1,15 değerleri arasında kalan alan hesaplanmış olur.z= 1,15 değeri ise 0,3749 olduğu görülecektir.Bizden istenen P(z > 1,15) olduğu için (0,50 – 0,3749 ) = 0,1251 olarak bulunur.

Örneklemden hesaplanan istatistik, genellikle ana kütle parametresinden farklı değerler alır. Hesaplanan örneklem istatistikleri, ana kütle parametresinden ya hep daha küçük, ya da hep daha büyük olarak belirleniyorsa, yani hesaplanan bu değerler ana kütle parametresinden her zaman tek bir yönde farklılık gösteriyor ise o araştırmada sistematik hatanın var olduğu söylenebilir.

Örneklem istatistikleri, N sayıda birimden oluşan ana kütleden seçilen n birimlik örneklemden elde edilen veriler kullanılarak hesaplandığı için ana kütle parametresi ile örneklem istatistiği arasında belli miktarda bir fark ortaya çıkar. Bu farka örneklemede rassal hata ya da örnekleme hatası adı verilir.

Gerçekte H0 hipotezi doğru iken test sonucunda yanlış karara varılıp reddedilirse yapılan bu hataya 1. tip hata ya da alfa-hatası adı verilir. Gerçekte H0 hipotezi yanlış iken test sonucunda yanlış karara varılıp kabul edilirse yapılan bu hataya da 2. tip hata ya da Beta-hatası adı verilir.

Basit Rassal Örnekleme (BRÖ) yönteminin en önemli özelliği hem ana kütlede yer alan tüm birimlerin hem de ana kütleden seçilebilecek tüm örneklemlerin seçilme şanslarının eşit olmasıdır. BRÖ yönteminde seçilebilecek olası örneklem sayısı ise ile verilir.

Araştırmada incelenecek değişkenler bakımından ana kütle birimlerinin homojenlik gösterdiği durumlarda genellikle sistematik örnekleme (SÖ) yöntemi uygulanır. Bu yöntemde öncelikle ana kütlede yer alan her örnekleme birimi için 1’den N’ye kadar birer sıra numarası verilir. N büyüklüğündeki bu ana kütleden n birimlik bir örneklem seçebilmek için ilk k birimden rassal olarak bir birim seçilir. k sayısı; incelenecek ana kütledeki birim sayısının belirlenen örneklem büyüklüğüne bölünmesi sonucu elde edilir.

Tabakalı Örnekleme (TÖ) yönteminin aslı, ana kütlenin araştırmanın konusunu oluşturan bir ya da daha fazla değişken bakımından çeşitli alt gruplara bölünmesi ve her bir alt gruptan ayrı ayrı örneklem çekilmesine dayanır. Buradaki her alt grup, tabaka adını alır. Tabakaları oluşturan birimler kendi içlerinde incelenen değişken yönünden ortak özelliklere sahip olmakla birlikte, diğer tabakalardaki birimlerden belirgin biçimde farklılık göstermelidirler. Ayrıca ana kütlede yer alan tüm birimler tek bir tabakada yer alacak ve hiç bir ana kütle birimi dışarıda kalmayacak biçimde tabakalanmalıdır. Bu durumda, her bir tabaka ayrı ayrı ana kütlelermiş gibi düşünülerek bu tabakalara en uygun örnekleme yöntemi uygulanabilir. Dolayısıyla TÖ, bilinen örnekleme yöntemlerin tabakalara uygulanması olarak ifade edilebilir.

Örnekleme birimlerinin birden çok ana kütle biriminden oluştuğu olasılıksal örneklemeye Küme Örneklemesi (KÖ), her bir örnekleme birimine de bir küme adı verilir. KÖ yönteminde, seçilen kümeler eşit ya da farklı sayıda ana kütle birimi içerebilir. Bu yöntemde ana kütle alt gruplara bölünür ve bu gruplar üzerinden örneklemeye geçilerek örnekleme giren grupların tamamı alınır.

Ana kütlede yer alan tüm örneklem birimlerinin belirli olasılıklarla örnekleme seçildiği yöntemlere olasılıksal ya da rassal örnekleme yöntemleri adı verilir. Olasılıksal ya da rassal örnekleme yöntemleri:  Basit rassal örnekleme, Sistematik Örnekleme, Tabakalı Örnekleme, Küme Örneklemesidir.

Ana kütledeki bazı birimlerin seçilen örneklemde yer alma şansının bulunmadığı ya da seçilme olasılığının tam olarak belirlenemediği örnekleme yöntemlerine olasılıksal olmayan örnekleme yöntemleri adı verilir. Olasılıksal olmayan örnekleme yöntemleri: Kolayda Örnekleme, Kota Örneklemesi, Kartopu Örneklemesi ve Karar Örneklemesi’ dir.

Ana kütle parametresinin tahmininde güven aralıkları kullanıldığında, bu tahminin doğruluk derecesi, verilen herhangi bir aralığın parametreyi içermesi olasılığının incelenmesi yoluyla belirlenebilir. Bu olasılık, güven düzeyi olarak adlandırılır. Tahminin yanılma payı i ile gösterilirken güven düzeyi 1 –  alfa ile belirtilir.  Güven aralıkları, güven düzeylerine ilişkin olarak belirlenir. Böylece, %95 güven düzeyi seçildiğinde, belirlenen aralığın ana kütle aritmetik ortalamasını içermesi olasılığının 0,95 olduğu belirtilmiş olur. Güven aralıkları herhangi bir güven düzeyi için oluşturulabilir. Ancak uygulamalarda en sık kullanılan güven düzeyleri 0,90, 0,95 ve 0,99 değerleridir.

Ana kütle parametresinin içerisinde yer alacağı tahmin edilen ve belli bir güven düzeyine göre belirlenen sayısal değerler aralığına güven aralığı adı verilir.

Belli bir aralığın ana kütle parametresini içermesi olasılığına güven düzeyi denilir.

Bir ana kütle parametresinin tek bir sayı olarak tahmininde kullanılan örneklem istatistiği değerine nokta tahmini adı verilir.

Nokta tahmini, ana kütle parametresine ilişkin tahminde bulunmada genel bir yöntem olmasına karşın, birçok sorunu da beraberinde getirir. Örneğin nokta tahmini sonucunda, tahminin gerçek parametre değerine ne kadar yakın bir değer olduğuna ya da tahmin sonucunda oluşacak olası hata miktarına ilişkin herhangi bir bilgi edinilemez. Bu nedenle tahminin parametreye yakınlık derecesinin belirlenmesi için nokta tahmini yerine aralık tahminlemesi yöntemi tercih edilebilir. Ana kütledeki tüm birimleri incelemenin mümkün olmadığı araştırmalarda ana kütle parametresi hesaplanamadığından, örneklem bilgilerinden yararlanarak ana kütle parametrelerinin içinde yer aldığı aralık değerleri belli olasılık düzeylerinde tahmin edilebilir. Aralık tahminlemesi yöntemi ile ana kütle parametresinin içerisinde yer alabileceği bir aralık belirlenir. Bu değerler aralığına ana kütle parametresinin güven aralığı adı verilir. Dolayısıyla ana kütle parametresinin tahmininde parametrenin hangi aralıkta yer alacağı hesaplanmış olur.

Örneklem seçimi sonucunda hesaplanan istatistik aracılığı ile ana kütle parametresinin aldığı değer olarak kabul edilen bir aralık ya da bir sayı elde etme işlemine tahminleme adı verilir.

Eğer H1 hipotezi çift-yönlü, yani ana kütle parametresinin test edilecek değerden farklı olduğu seklinde kurulmuş ise red bölgesi dağılımın her iki alt kuyruğunda da yer alır ve bu iki bölgenin toplam büyüklüğü, alfa/2’si sağ alt kuyrukta ve alfa/2’si sol alt kuyrukta olmak üzere kadardır.

Red bölgesinin büyüklüğü alfa anlam düzeyine eşittir. Dağılım üzerindeki konumu ise kurulan karşıt hipotezin tek ya da çift-yönlü oluşuna göre değişmektedir. Eğer H1 hipotezi tek-yönlü ve ana kütle parametresinin test edilecek değerden büyük olduğu şeklinde kurulmuş ise red bölgesi dağılımın sağ alt kuyruk bölgesinde, küçük olduğu şeklinde kurulmuş ise dağılımın sol alt kuyruk bölgesinde yer alır ve bu bölgenin büyüklüğü  alfa kadardır

Görüldüğü gibi istatistiksel hipotez testlerinde yapılabilecek iki tür hata söz konusudur. Gerçekte Ho hipotezi doğru iken test sonucunda yanlış karara varılıp reddedilirse yapılan bu hataya 1. tip hata ya da alfa-hatası adı verilir. Gerçekte H0 hipotezi yanlış iken test sonucunda yanlış karara varılıp kabul edilirse yapılan bu hataya da 2. tip hata ya da beta-hatası adı verilir.

Hipotez testlerinde, 1. tip hata üzerinde daha çok durulur ve 2. tip hataya nazaran, 1. tip hata işlemekten daha çok kaçınılır. Ayrıca, 1. ve 2. tip hatalar arasında ters orantı vardır. Yani bu hatalardan birini işleme olasılığı azalırken diğerinin olasılığı artar.

Hesaplanmış F değeri tablodaki F değerinden büyük olduğu zaman grup ortalamaları arasında anlamlı bir fark olmadığını ileri süren Ho hipotezi reddedilir. Aksi halde kabul edilir.

Varyans Analizi uygulanabilmesi için bazı koşulların sağlanması gerekir. Bu koşullar; grupların çekildiği ana kütleler Normal dağılıma sahip olmalı, karşılaştırılan gruplar birbirinden bağımsız olmalı ve grupların varyansları eşit olmalı seklinde sıralanabilir.

Varyans Analizinde, toplam değişim bileşenlerine ayrıldığı için yukarıda belirtilen üçüncü varsayım çok önemlidir. Çünkü farklı varyanslı grup ortalamaları karşılaştırıldığında, gruplar arası değişim için sistematik hata yapılmış olur.