ÖLÇME VE DEĞERLENDİRME

Puanların küçükten büyüğe sıraya konulmasından sonra hangi puandan kaç tane olduğunu belirlemek için frekansların da belirlenmesi pratik olur.

Sınav sonuçları başarı göstergesi olarak kullanıldığından, gerçekte sürekli değişkenler olmasına rağmen elde edilen puanlar tanım itibarı ile kesiklidirler. Bu nedenle anılan grafik türlerinin kullanılabilmesi için sınav puanlarının yapay olarak sürekli hale getirilmesi gerekir. Puanları sürekli hale getirmenin yollarından biri, her puanın yarım (0,5) altını ve yarım üstünü almaktır. (Örneğin, 24 puanının sınırları 24-0,5=23,5 ve 24+0,5=24,5’tir). Bu halde sürekliliği sağlanan puanların grafiği, yatay eksende test puanları ve dikey eksende frekanslar olacak şekilde çizilebilir. Ancak, öğrenci sayısının ve alınan farklı puanların sayısının fazla olması durumunda, puanların gruplandırılması yoluyla grafiklerin çizilmesine gidilebilir.

Tepe değer, bir puan dağılımında en çok tekrarlanan puandır; ya da frekansı en çok olan puandır.

Kelime anlamına bakıldığında ortanca sıralı verilerde ortaya (%50’inci sıraya) gelen puandır. Puanlar büyüklük sırasına dizildiğinde puan dağılımını iki eşit parçaya ayıran puan, dağılımın ağırlık merkezini tepe değere göre daha iyi göstermektedir.

Toplam puanların puan sayısına bölünmesiyle elde edilen aritmetik ortalama, puan dağılımındaki her puanın hesaplamaya dahil edilmesi nedeniyle diğer merkezi yığılma ölçülerine göre daha yeterli bir istatistiktir.

Merkezi yığılma ölçülerinin birbirlerine göre değerleri puan dağılımının sağa ya da sola çarpıklığı ile simetrik olup olmadığını gösterebilir. Merkezi yığılma ölçüleri arasındaki farklar açıldıkça dağılımın çarpıklaştığı, farklar kapandıkça da dağılımın simetrikleştiği anlaşılır. Burada ortanca, tepe değer ve aritmetik ortalama birbirine eşit olduğundan simetrik dağılım söz konusudur.

Merkezi yığılma ölçülerinin birbirlerine göre değerleri puan dağılımının sağa ya da sola çarpıklığı ile simetrik olup olmadığını gösterebilir. Merkezi yığılma ölçüleri arasındaki farklar açıldıkça dağılımın çarpıklaştığı, farklar kapandıkça da dağılımın simetrikleştiği anlaşılır. Verilen örnekte sağa çarpıklık söz konusudur.

Merkezi yığılma ölçülerinin birbirlerine göre değerleri puan dağılımının sağa ya da sola çarpıklığı ile simetrik olup olmadığını gösterebilir. Merkezi yığılma ölçüleri arasındaki farklar açıldıkça dağılımın çarpıklaştığı, farklar kapandıkça da dağılımın simetrikleştiği anlaşılır. Verilen örnekte sola çarpık dağılım söz konusudur.

Dizi genişliği puanların hangi aralıkta değişkenlik gösterdiğini belirten istatistiklerdir. En büyük puan ile en düşük puan arasındaki fark ile hesaplanır. İki puan arasındaki fark büyüdüğü ölçüde puanların geniş bir ranjda dağıldığı, yani heterojenleştiği; fark küçüldüğü ölçüde puanların birbirine çok yakın değerlerde olduğu, yani homojenleştiği anlaşılır. Buna göre örnekteki puanların rankı 12'dir. Yani puanlar heterojendir.

Standart kayma ve varyans aynı özellikleri taşıyan iki istatistiktir. Varyans standart kaymanın karesi olduğundan bu istatistiklerden birisi bilindiğinde diğerinin hesaplanması kolaydır. Bu nedenle burada standart kaymanın hesaplanması üzerinde durulmuştur. Varyans değişkenlik (variation) anlamına gelmektedir. Puanların varyansı, puanların değişkenliğinin bir ölçüsünü verir. Bu nedenle standart kayma da aynı anlama gelmektedir. Standart kayma, bir merkezi dağılım ölçüsü olarak puanların merkezi yığılma ölçüsünden uzaklıklarının bir ortalama değeri anlamını taşımaktadır. Aşağıdaki formül ile hesaplanır.

Puanların sıraya konulması: Öğretmenin sınav sonuçlarına bakarak öğrenci grubunu daha iyi tanıması için, ilk yapılması gereken ölçme sonuçlarının düzenlenmesi işidir. Ölçme sonuçlarının düzenlenmesinin en basit yolu, onları büyüklük sırasına koymaktır. Ölçme sonuçlarının büyüklük sırasına konulması, sınavdan alınan en düşük ve en yüksek puanların neler olduğunun ilgili bireyler tarafından kolayca görülmesini sağlar. Puanların sıralı bir şekilde verilmesi ile sınavdan alınan en düşük ya da en yüksek puanların yanında, bu puanlara yakın olan ikinci üçüncü vs. puanların da görülmesi sağlanır. Aşağıda, ilköğretim sekizinci sınıftaki 50 öğrencinin matematik dersinden 40 üzerinden aldıkları puanların bir dökümü, örnek olarak verilmiştir; bundan sonraki işlemler hep bu örnekteki veriler üzerinde gerçekleştirilmiştir.

Gerekli bilgileri topladıktan ve toplanan istatistik bilgilerin özetini yaptıktan sonra, bu bilgilerin toplu olarak görülebilmesi ve kolay anlaşılıp yorumlanabilmesi için grafiklerden yararlanılır. Grafikler günlük hayatta da çok kullanılan, bilgilerin daha kolay anlaşılır ve daha çabuk yorumlana bilirliğini artıran özelliklere sahiptirler. Ölçme sonuçlarının daha anlaşılır bir biçimde sunmanın ve özetlemenin bir diğer yolu grafikle gösterimlerdir. Grafikler frekans tablolarında bir gruba ilişkin özetlenen bilgilerin göze, hitap edecek şekilde farklı bir biçimde ifade edilmesidir. Grafikler, çok fazla olan verinin daha kolay anlaşılır olmasını sağlar. Grafikte ölçme sonuçlarını gösteren yatay eksen ve ölçme sonuçlarının gözlenme sıklıklarını, yani frekansları gösteren düşey eksenden oluşur. Amaca ve verilerin durumuna göre çeşitli grafikler kullanılabilir.

Tepe değer, bir puan dağılımında en çok tekrarlanan puandır; ya da frekansı en çok olan puandır. Eğer bir puan dağılımında en fazla alınan puan varsa, puan dağılımının merkezi noktası, o puana doğru yaklaşır. En fazla frekansa sahip olan puan sıralı puan dağılımında başta ya da sonlarda yer alırsa tepe değer, çok iyi bir merkezi dağılım ölçüsü olma özelliğini kaybeder. Bazen de en fazla tekrarlanan puanın birden çok puanda olduğuna rastlanabilir. Bu durumda tepe değerin de sayısı artar ve dağılım, iki, üç ya da daha çok tepe de- ğerli puan dağılımı adını alır. Örnek olarak kullandığımız sıralı verilerde tepe değerin ne olduğuna bakıldı- ğında, en fazla tekrarlanan puanın 77 olduğu görülmektedir (dört kez tekrarlanmıştır).

Ortanca (medyan): Kelime anlamına bakıldığında ortanca sıralı verilerde ortaya (%50’inci sıraya) gelen puandır. Puanlar büyüklük sırasına dizildiğinde puan dağılımını iki eşit parçaya ayıran puan, dağılımın ağırlık merkezini tepe değere göre daha iyi göstermektedir. Eğer ortancanın bulunacağı puan sayısı çift ise puan dağılımını iki eşit parçaya ayıracak tek bir puan yoktur. Örneğin puan sayısı sekiz olan bir dağılımda puanları iki eşit sayıda ayıracak tek bir puan yoktur. Tam ortaya gelecek olan puan dördüncü ve beşinci sıradaki puanın arasına gelir. Bu durumda ortanca dördüncü ve beşinci sıradaki puanların aritmetik ortalamalarının alınmasıyla hesaplanır.

Puan dağılımındaki puan sayısının tek olması durumunda ortancanın hesaplanması daha kolaydır. Çünkü, puanlar sıralandığında dağılımı iki eşit parçaya bölen tek bir puan bulunur. Yukarıdaki tabloda puan dağılımında yirmi beş puan olduğundan, onüçüncü sıradaki puanın sağında ve solunda eşit sayıda (on ikişer tane) puan olacağından ortancanın kolayca hesaplanması mümkündür.

Merkezi dağılım ölçülerin aritmetik ortalamanın en düşük, tepe değerin en büyük ve ortancanın ikisi arasında yer aldığı dağılımda sola çarpıklık olduğu ve öğrenci başarılarının yüksek olduğu anlaşılmaktadır. Ortalama ortancadan büyük, ortancada tepe değerinden büyük ise sağa çarpık dağılım denir. Bu durumda başarısız öğrencilerin daha çok olduğu ve çarpıklığın sağa doğru olduğu görülmektedir. Eğer ortalama, ortanca ve mod birbirine eşit ise dağılımın simetrik olduğu anlaşılmaktadır. Başarılı ve başarısız öğrencilerin oranlarının eşitliği söz konusudur. Merkezi yığılma ölçüleri birbirine eşittir.

Dizi genişliği (Ranj): Dizi genişliği puanların hangi aralıkta değişkenlik gösterdiğini belirten istatistiklerdir. En büyük puan ile en düşük puan arasındaki fark ile hesaplanır. İki puan arasındaki fark büyüdüğü ölçüde puanların geniş bir ranjda dağıldığı, yani heterojenleştiği; fark küçüldüğü ölçüde puanların birbirine çok yakın değerlerde olduğu, yani homojenleştiği anlaşılır. Örnek verilerimize ait dizi genişliği hesaplanırsa, en büyük puan 90 ve en düşük puan 60 olduğuna göre, 90-60=30’dur. En yüksek puanın 90 olduğu bir dağılımda ranjın 30 olması sınıfın homojen ve başarılı olduğunu gösterir.

Çeyrek Kayma: Küçükten büyüğe doğru sıralanan bir puan dağılımında %75 inci ile %25 inci puan arasındaki farkın yarısına eşittir. Puanların dağılımı hakkında en küçük ve en büyük puanlardan yararlanma yerine birinci ve üçüncü çeyreklerden yararlanılmaktadır. Böylece, aşırı uç puanların olmasından kaynaklanan olumsuzluğun bir ölçüde giderilmesi sağlanmış olur. Q sembolü ile gösterilen çeyrek kayma aşağıdaki formül ile hesaplanabilir. Yukarıdaki veri dizisinde %25. Puan 50;

%75. Puan 75 bulunur. 75-50/2 den 12,5 olarak hesaplanır.

Standart kayma ve varyans aynı özellikleri taşıyan iki istatistiktir. Varyans standart kaymanın karesi olduğundan bu istatistiklerden birisi bilindiğinde diğerinin hesaplanması kolaydır. Bu nedenle burada standart kaymanın hesaplanması üzerinde durulmuştur. Varyans değişkenlik (variation) anlamına gelmektedir. Puanların varyansı, puanların değişkenliğinin bir ölçüsünü verir. Bu nedenle standart kayma da aynı anlama gelmektedir. Standart kayma, bir merkezi dağılım ölçüsü olarak puanların merkezi yığılma ölçüsünden uzaklıklarının bir ortalama değeri anlamını taşımaktadır. Test puanlarının standart kaymasının yorumlanması için merkezi yığılma ölçülerinden aritmetik ortalama ile karşılaştırılmasına ihtiyaç vardır. Standart sapma küçükse grup homojen, büyük ise grup heterojendir ve ölçme aracı bilenle bilmeyeni ayırt ediyor demektir.

Bağıl değişkenlik katsayısı da standart kayma ile aritmetik ortalamanın birbirine oranlarını gösteren bir katsayıdır ve aşağıdaki formül ile hesaplanabilir. Elde edilen değer, standart kaymanın aritmetik ortalamaya oranının yüzdeye dönüştürülmüş halidir.

-bağıl değişim katsayısı 25’den büyükse (V>25) dağılım basık, heterojen, farklı,

-bağıl değişim katsayısı 20 ile 25 arasında ise (20<V<25) dağılım normal, simetrik,

-bağıl değişim katsayısı 20’den küçükse (V<20) dağılım sivri, homojen, benzeşik denir.

Bu nedenle yukarıdaki açıklama dikkate alındığında bu katsayının 20 ile 25 arasında olması puan dağılımlarının normal dağıldığına işarettir. Bağıl değişkenlik katsayısının 20’den daha küçük çıkması, standart kaymanın küçük, aritmetik ortalamanın büyük olması ile mümkündür. Standart kaymanın küçük olması ise puanların birbirine yakın (homojen) ve dağılımın dar alanda olduğunu gösterir; bu da puan dağılımının normalden daha sivri olduğu anlamına gelir. Bağıl değişkenlik katsayısının 25’ten büyük olması ise standart kaymanın ortalamaya göre büyümesi ile mümkündür. Bu durum, puanlar arası farkın çok (heterojen) olduğunu; dağılımın ise daha basık olduğunu gösterir. Puan dağılımlarının sivri ya da basıklığı her ne kadar bağıl değişkenlik katsayısı ile belirlenmeye çalışılsa da basıklık katsayısının hesaplanması daha doğru sonuçlar verir.

Z Puanı Ham puanların ortalamasını sıfır (0,00) ve standart kaymasını bir (1,00) olacak şekilde yapılan doğrusal dönüştürmeye z puanı adı verilir. Dönüştürmede kullanılacak olan formül aşağıda verilmiştir. Z = Z standart puanı Xi = i kişisinin ham puanı  = Ham puanların aritmetik ortalaması S= Ham puanların standart kayması Z puanı normal dağılım özelliği taşıyan bir puan dağılımıdır.

 formülünden İlker’in 60 puan alması ortalamanında 60 olması durumunda Z puanı 0’a eşit bulunur.

T Puanı T puanının Z puanı ile hemen hemen aynı olduğu görülmektedir. Z puanında ortalama sıfırken, T puanında ortalama elli (50,00)’dir. Standart kayma da Z puanında birken (1,00), T puanında on (10,00)’dur. T puanı da ham puanların doğrusal bir dönüşümüdür. Dönüştürmede kullanılan formül aşağıdaki gibidir. T puanı Z puanından sonra hesaplanan bir istatistiktir. T= 10. Z + 50 T puanın hesaplanabilmesi için öncelikle Z puanının hesaplanması gerekir. Z puanı yerine T puanı kullanmanın avantajı, Z puanının negatif değerlerinin T puanında pozitif değere karşılık gelmesidir.

formülünden Z=2 bulunur. T= 10Z + 50 formülünden T= 70 bulunur.