MATEMATİKSEL İKTİSAT

Denge halinde bir ürünün marjinal faydasının fiyatına oranı diğer ürünün marjinal faydasının fiyatına oranına eşittir. Aksi halde tüketici marjinal faydasının fiyata oranı yüksek olan ürünü daha fazla tüketir. Bu yüzden cevap D şıkkıdır.

Maliyet minimizasyonu yapacağımıza göre Langrange ifadesi şu şekilde olacaktır:

Buradan 1. derece türevleri alırsak:

=0 ve  =0 olacaktır. Buradan:  eşitlikleri bulunur. Bunları taraf tarafa bölersek:

 bulunur. Üretim fonksiyonunda bunu ikame edersek:

 bulunur. Buradan da minimum toplam maliyet (10*700)+(5*1400)=14000 olur.

İster maliyet minimizasyonu olsun ister ürün miktarı maksimizasyonu, denge halinde her bir üretim faktörü için marjinal fiziki ürünün o faktörün fiyatına oranı eşit olmalıdır. Aksi halde fiyatına nazaran marjinal fiziki ürünü daha yüksek olan faktör daha fazla kullanılacaktır.

Çevre 400 metre ve kenarlar birbirine dik olduğuna göre, sorunun matematiksel ifadesi 2x+2y=400 kısıtı altında A=xy çarpımının maksimize edilmesidir. 

2x+2y=400 ise y=200-x olur. Bu durumda A=xy=x(200-x)=200x-x² olacaktır. A fonksiyonunun 1. derece türevini alıp sıfıra eşitlersek

A'=200-2x=0 ve x=100 olur y=200-x olduğuna göre y=100 dür. Bu durumda alan, A=xy=100*100=10000 olacaktır.

Ahmet’in bütçesi 250, oyuncakların fiyatları sırasıyla 30 ve 20 Lira olduğuna göre kısıt fonksiyonumuz 250=30x+20y olacaktır. Bu durumda Langrange fonksiyonumuz:

L=U(x,y)+λ(B-P_xx-P_yy)

L= x^0.6y^0.4+ λ(250-30x-20y)

Tüketiciler faydalarını maksimize etmek isteyeceğine göre bu bir maksimizasyon problemidir. Bu nedenle 1. dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit, 2. dereceden kısmi türevlerin ise negatif olması gerekir.

L= x^0.6y^0.4+ λ(250-30x-20y)

L_x=0.6(y/x)^0.4-30 λ=0 ve buradan 0.6(y/x)^0.4= 30λ  yani λ=0.02(y/x)^0.4olur.

L_y=0.4(x/y)^0.6-20 λ=0 ve buradan 0.4(x/y)^0.6= 20λ yani λ=0.02(x/y)^0.6olur.

Bu durumda 0.02(y/x)^0.4= 0.02(x/y)^0.6 ve buradan y^0.6y^0.4= x^0.6x^0.4 yani y=x olur.

250=30x+20y=30x+20x olacak, buradan x=y=5 bulunacaktır.

Şimdi de ikinci derece türevleri alarak negatiflik koşulunun yerine gelip gelmediğine bakalım:

L_x=0.6(y/x)^0.4-30 λ ise L_xx=-0.24y^0.4x^-1.4<0

L_y=0.4(x/y)^0.6-20 λ ise L_yy=-0.24x^0.6y^-1.6<0.

İkinci koşul da sağlandığına göre her iki oyuncaktan da 5'er tane almalıdır. Doğru cevap C'dir.

Tüketici Seda verili faydayı minimum harcama yaparak elde etmek isteyeceğinden bu bir minimizasyon problemidir. Sedanın amacı B(x,y)=12x+3y bütçe fonksiyonunu minimum yapmaktır. Bu probleme ilişkin Langrange fonksiyonunu yazalım:

L= 12x+3y+ λ(8- x^0.5y^0.5)

Şimdi de 1. derece kısmi türevleri sıfıra eşitleyelim:

L_x=12-0.5 λ(y/x)^0.5=0 ve buradan 24= λ(y/x)^0.5

L_y=3-0.5 λ(x/y)^0.5=0 ve buradan 6= λ(y/x)^0.5

İçinde λ olan ifadeleri taraf tarafa bölersek:

4=y/x ve buradan y=4x çıkar. Bunu fayda fonksiyonunda kullanırsak:

8= x^0.5y^0.5

64=xy=x*4x=4x²  ve böylece x=4, y=4x=16 çıkar. Öyleyse gerekli minimum harcama B=12x+3y=(12*4)+(3*16)=96 Liradır. Doğru cevap B'dir.

Bu bir üretim miktarı maksimizasyonu problemi olduğuna göre Langrange çarpanının 4 olması, toplam maliyetteki 1 birimlik artışın üretim düzeyini 4 birim artması anlamına gelmektedir. Doğru cevap E'dir.

Toplamın en düşük olması istendiğine göre bu bir minimizasyon problemidir. Kısıt fonksiyonumuz K(x,y)=xy=900, minimum olmasını istediğimiz amaç fonksiyonumuz ise f(x,y)=x+y’dir.

Yerine koyma yöntemiyle tek değişkene indirerek çözelim:

xy=900 ise y=900/x olur. f(x,y)=x+y=x+(900/x)

şimdi de 1. türevi alıp sıfıra eşitleyelim:

f_x=1-(900/x²)=0

1=900/x²

900= x²

30=x ve y=900/x olduğundan y=30 olur. Bu durumda x+y=30+30=60 olacaktır. Doğru cevap A’dır.

Belirli bir toplam maliyetle en fazla ürün elde edilmek istendiğine göre; amaç fonksiyonu üretim fonksiyonu, kısıtı ise toplam maliyet fonksiyonu olan bir optimizasyon problemiyle karşı karşıyayız. Bu halde Langrange ifademiz şu şekilde olacaktır:

L= K^0.6L^0.4+ λ(3000-15K-5L)

Şimdi birinci kısmi türevleri alalım:

L_K=0.6(L/K)^0.4-15λ=0 ve buradan 0.6(L/K)^0.4=15λ

L_L=0.4(K/L)^0.6-5λ=0 ve buradan 0.4(K/L)^0.6=5λ

İçinde λ olan ifadeleri taraf tarafa bölersek:

1.5*(L/K)=3

L/K=2 ve buradan L=2K çıkar.

Şimdi bunu maliyet fonksiyonuna yazalım:

3000=15K+5L ve L=2K olduğu için 3000=15K+10K=25K ve buradan K=120 olur.

Sınırlandırılmış Hessian matrisinin asal minörleri pozitiften başlayarak işaret değiştiriryorsa amaç fonksiyonu maksimum değerini alır. Bütün asal minörler negatif ise amaç fonksiyonu minimum değerini alır. Doğru cevap C'dir.

Verili maliyetle en fazla ürün üretilmek istendiğinden bu bir maksimizasyon problemidir. Öyleyse Langrange ifademiz:

L=xyz+ λ(12-x-y-z) olur.

L_x=yz-λ=0

L_y=xz-λ=0

L_z=yx-λ=0

Öyleyse λ=xy=yz=xz olacaktır. Tüm bu denklemleri çözdüğümüzde x=y=z olduğu kolayca görülecektir.

12=x+y+z olduğuna göre x=y=z=4 olacaktır. Bu durumda üretim miktarı f(x,y,z)=xyz=4*4*4=64 birimdir

Doğru formülasyon B şıkkında verilmiştir, zira amaç fonksiyonu üretim fonksiyonu, kısıt ise toplam maliyettir.

Maliyet minimizasyonu amacımız olduğuna göre Langrange ifademiz şu şekilde olacaktır:

L=12K+4L+ λ(Q- K^0.5L^0.5)

L_K=12-0.5 λ(L/K)^0.5 ve buradan 12=0.5 λ(L/K)^0.5

L_L=4-0.5 λ(K/L)^0.5 ve buradan  4=0.5 λ(K/L)^0.5

Bu ifadeleri taraf tarafa bölersek 3=L/K yani L=3K olur. Yani 100 birim sermaye karşılık L=3*100=300 birim emek kullanılmalıdır. Cevap A'dır.