MATEMATİKSEL İKTİSAT

Amaç fonksiyonunun minimumda mı yoksa maksimumda mı olduğunu belirlemek için ikinci dereceden koşulların incelenmesi gerek. Bunun için sınırlandırılmış Hessian matrisi oluşturulur ve matrisin pozitif mi yoksa negatif mi olduğu araştırılır. Eğer sınırlandırılmış Hessian’ın bütün asal minörleri negatifse amaç fonksiyonu minimumda, asal minörler pozitiften başlayarak işaret değiştiriyorsa amaç fonksiyonu maksimumdadır. Dolayısıyla E seçeneğinde ikinci dereceden koşullar ile ilgili verilen ifade hatalı bir ifadedir.

İki mal tüketen bir tüketicinin bu iki maldan sağladığı marjinal faydaların birbirine oranına marjinal ikame oranı adı verilmektedir.

Üretimde iki faktör kullanan ve belirli bir üretim düzeyini en düşük maliyetle gerçekleştirmek isteyen bir firma üretimde kullandığı faktörlerin marjinal fiziki verimlerinin oranını (MP_L/MP_K = MRTS) faktörlerin fiyat oranına (P_L/P_K) eşitlemesi gerekmektedir. Bu durumda bu firmanın optimizasyon koşulu MP_L/MP_K = P_L/P_K = MRTS şeklindedir.

Öncelikle tüketicinin kısıt fonksiyonunu (bütçe kısıtını) oluşturmak gereklidir.
M=P_xx+P_yy⇒x+4y=16
Bu durumda tüketicinin problemi:
Maksimize et: U(x,y)=xy
Kısıt: 16= x+4y
Fayda optimizasyon probleminin çözümü için gerekli Lagrange fonksiyonu ve I. Dereceden koşulları aşağıdaki gibi olacaktır.
L(x,y,λ)=xy+λ(16-x-4y)
L_x≡∂L/∂x=y-λ=0
L_y≡∂L/∂y=x-4λ=0
L_λ≡∂L/∂λ=16-x-4y=0
λ=x=4y
Bulunan x ifadesini L_λ’da yerine koyarsak
16-4y-4y=0⇒8y=16⇒y=2
x=4y olduğundan x=4(2)=8

1. numaralı sorunun çözümünde tüketicinin faydasını maksimum yapan mal bileşimini (8,2) olarak bulmuştuk. Bu düzeyi fayda fonksiyonunda yerine yazarsak tüketicinin sağlayabileceği maksimum fayda düzeyini buluruz.

U(8,2)=8*2=16

Tüketicinin bütçe kısıtı altındaki fayda maksimizasyon probleminde,  harcamanın marjinal faydasına işaret eder.

Öncelikle tüketicinin kısıt fonksiyonunu (bütçe kısıtını) oluşturmak gereklidir.
M=P_xx+P_yy⇒x+0,5y=24
Bu durumda tüketicinin problemi:
Maksimize et: U(x,y)=2x^1/2+y^1/2
Kısıt: x+0,5y=24
Fayda optimizasyon probleminin çözümü için gerekli Lagrange fonksiyonu ve I. Dereceden koşulları aşağıdaki gibi olacaktır.
L(x,y,λ)=2x^(1/2)+y^(1/2)+λ(24-x-0,5y)
L_x≡∂L/∂x=x^-1/2-λ=0
L_y≡∂L/∂y=1/2y^-1/2-0,5λ=0
L_λ≡∂L/∂λ=24-x-0,5y=0
λ=x^-1/2=y^-1/2⇒x=y
Bulunan x ifadesini L_λ’da yerine koyarsak
x+0,5x=24⇒1,5x=24⇒x=16,y=16

3. numaralı sorunun çözümünde tüketicinin faydasını maksimum yapan mal bileşimini (16,16) olarak bulmuştuk. Denklemlerin çözümünden lagrange çarpanı aşağıdaki gibi elde edilmiştir.
L(x,y,λ)=2x^1/2+y^1/2+λ(24-x-0,5y)
L_x≡∂L/∂x=x^-1/2-λ=0
L_y≡∂L/∂y=1/2y^-1/2-0,5λ
L_λ≡∂L/∂λ=24-x-0,5y=0
λ=x^-1/2=y^-1/2⇒x=y
λ=x^-1/2=y^-1/2
λ=x^-1/2⇒λ=(16)^-1/2⇒λ=1/4

 > 0 olduğunda sınırlandırılmış Hesian negatif belirlidir. Dolayısıyla fayda (U) maksimize edilmiştir.

Kısıtlı optimizasyon problemindeki Lagrange çarpanı amacın kısıttaki değişime duyarlılığını ölçmektedir. Dolayısıyla Lagrange çarpanı amaç ile kısıt arasındaki marjinal ilişkinin şiddetini ölçer.

Belirli bir üretim kısıtı altında maliyetini minimize etmeyi amaçlayan bu firmanın Lagrange fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır.
L(K,L,λ)=3K+5L+λ(100-K1^/3L^1/3

Maliyet minimizasyon probleminin çözümü için gerekli Lagrange fonksiyonu ve I. Dereceden koşulları aşağıdaki gibi olacaktır.
L(K,L,λ)=4K+L+λ(3600-4K^1/2 L^1/2)
L_K≡∂L/∂K=4-2λK^-1/2=0
L_L≡∂L/∂L=1-2λL^-1/2=0
L_λ≡∂L/∂λ=3600-4K^1/2L^1/2=0
4=2λK^-1/2⇒λ=K^1/2/2
1=2λL^-1/2⇒λ=L^1/2/4
K^1/2/2=L^1/2/4 ⇒2K^1/2=L^1/2⇒4K=L veya K=1/4L
Bulunan K ifadesini ’da yerine koyarsak;
3600=4(L/4)^1/2 L^1/2⇒L=1800

L(K,L,λ)=4K+L+λ(3600-4K^1/2L^1/2 )
L_K≡∂L/∂K=4-2λK^-1/2=0
L_L≡∂L/∂L=1-2λL^-1/2=0
L_λ≡∂L/∂λ=3600-4K^1/2L^1/2=0
4=2λK^-1/2⇒λ=K^1/2/2
1=2λL^-1/2⇒λ=L^1/2/4
K^1/2/2=L^1/2/4⇒2K^1/2=L^1/2⇒L=4K
Bulunan L ifadesini ’da yerine koyarsak;
3600=4K^1/2(4K)^1/2⇒8K=3600⇒K=450

Bir amacın belirli kısıtlar altında gerçekleştirilmesine kısıtlı optimizasyon, kısıtın olmaması durumunda ise kısıtsız optimizasyon denir. Optimizasyon duruma göre maksimizasyon (örneğin firma karı veya hasılatı, tüketici faydası) veya minimizasyon (maliyet) şeklinde olabilir.

Yerine koyma metodu ve sonrasında 1. derece kısmi türev koşullarını uygulayalım:

bu durumda (x,y) ikilisi (3,2) olacaktır

Kısıt fonksiyonunu kullanarak iki bilinmeyeni tek bilinmeyene düşürelim: 

Şimdi de amaç fonksiyonu olan fayda fonksiyonunu tek değişkenli olarak yeniden yazalım:

1. derece koşulunu uygulayalım:

Bir fonksiyonun minimum değerini alması için ilk türevinin sıfır, ikinci türevinin pozitif olması gerekir.

Tüketici faydası maksimizasyonunda Langrange çarpanı bütçenin marjinal faydasını göstermektedir. Bir başka ifadeyle, bu çarpan bütçedeki 1 birim artışın yaratacağı fayda artışını göstermektedir.