MATEMATİKSEL İKTİSAT

Bu soruyu yerine koyma metoduyla çözecek olursak kısıt fonksiyonunda ‘y’ elemanını yalnız bırakarak 2y=18 – 3x sadeleştirdiğimizde buradan y = (9 – 3/2x) denklemini buluruz. Amaç fonksiyonunda yerine yazarsak 2*x*(9 – 3/2x)= 18x – 3x² denklemini buluruz. Bu denklemi optimize etmek için türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz. 18x – 3x² türevi 18 – 6x’dir. 18 – 6x = 0 buradan x=3 buluruz. y = (9 – 3/2x) denkleminde yerine yazarsak y=9/2 sonucunu buluruz.

Bu soruyu yerine koyma metoduyla çözecek olursak kısıt fonksiyonunda ‘y’ elemanını yalnız bırakarak y=x+1 denklemini buluruz. Amaç fonksiyonunda bu denklemi yerine yazarsak (x +1)²x = (x²+2x+1)*x = x³ + 2x² + x denklemini buluruz. Bu denklemi optimize etmek için türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz. x³ + 2x² + x türevi 3x² + 4x + 1’dir. 3x² + 4x + 1 = 0 buradan (3x+1)(x +1)=0’dan x=-1 ve x=-1/3) buluruz.

I. Lagrange çarpanı, amaç fonksiyonunun kısıt fonksiyonundaki değişime duyarlılığını ölçer. (Bu ifade doğrudur.) II. Bir amacın belirli kısıtlar altında gerçekleştirilmesine “kısıtlı optimizasyon” denir. (Bu ifade doğrudur.) III. Lagrange çarpanı amaç ile kısıt arasındaki marjinal ilişkinin şiddetini ölçer. (Bu ifade doğrudur.)

Bu optimizasyon problemini çözmek için öncelikle kısıt fonksiyonunu sıfıra eşitleyip sonra Lagrange fonksiyonu oluşturmalıyız. x + y = 100 kısıt fonksiyonunu sıfıra eşitlersek 100 – x - y = 0 denklemini yazabiliriz. Sonra kısıt Lagrange çarpanı ile çarpılır ve Lagrange fonksiyonu L (x, y, l) = f (x, y) + l) {k - g (x, y)} şeklinde oluşturulur. 4x² + 2xy + 8y² amaç fonksiyonunu için Lagrange fonksiyonu ℒ(x, y, λ) = 4x² + 2xy + 8y² + λ (100 - x - y) şeklinde yazılır.

Bu optimizasyon problemini çözmek için öncelikle kısıt fonksiyonunu sıfıra eşitleyip sonra Lagrange fonksiyonu oluşturmalıyız. Lagrange fonksiyonu ℒ(x, y, λ) = 4x² + 2xy + 7y² + λ (90 - x - y) şeklinde yazılır. Her bir değişken için I. derecen kısmi türevleri alarak, birinci dereceden koşulları yazdığımızda x için birinci türev 8x + 2y – λ = 0, y için birinci türev 2x + 14y – λ = 0 ve  λ için birinci türev 90 - x – y = 0 buradan λ=8x + 2y = 2x + 14y eşitliğini buluruz. Bu ifadede x ve y’leri aynı tarafa toplarsak 6x = 12y ifadesini buluruz.
Buradan da x=2y ifadesini buluruz. Bulduğumuz x ya da y ifadesini 90 - x – y = 0 yerine yazarız. 90 – 2y -y = 0 bu ifade 90 – 3y=0 şeklinde yazılır. Buradan y = 30 ve x =60 buluruz. Lagrange çarpanı λ=8x + 2y = 2x + 14y eşitliklerinden herhangi birinden bulunabilir. λ=8*(60) + 2*(30) =540

Bu optimizasyon problemini çözmek için öncelikle kısıt fonksiyonunu sıfıra eşitleyip sonra Lagrange fonksiyonu oluşturmalıyız. Lagrange fonksiyonu ℒ(x, y, λ) = 4x2 + 2xy + 7y2 + λ (90 - x - y) şeklinde yazılır. Her bir değişken için I. derecen kısmi türevleri alarak, birinci dereceden koşulları yazdığımızda x için birinci türev 8x + 2y – λ = 0, y için birinci türev 2x + 14y – λ = 0 ve  λ için birinci türev 90 - x – y = 0 buradan λ=8x + 2y = 2x + 14y eşitliğini buluruz. Bu ifadede x ve y’leri aynı tarafa toplarsak 6x = 12y ifadesini buluruz. Buradan da x=2y ifadesini buluruz. Bulduğumuz x ya da y ifadesini 90 - x – y = 0 yerine yazarız. 90 – 2y -y = 0 bu ifade 90 – 3y=0 şeklinde yazılır. Buradan y = 30 ve x =60 buluruz.

Kısıtlı optimizasyonun iktisadi uygulamaları arasında tüketicinin fayda maksimizasyonu, tüketicinin harcama minimizasyonu, maliyet minimizasyonu ve üretim maksimizasyonu vardır. Maliyet maksimizasyonu yoktur. I, II ve IV önermeleri kısıtlı optimizasyonun iktisadi uygulamaları arasında bulunur.

Bir kısıtlı optimizasyon problemi üç farklı şekilde çözülebilir. Bunlar: Yerine koyma metodu, toplam diferansiyel metodu ve Lagrange çarpan› metodudur. Verilen metotların hepsi kısıtlı optimizasyon problemlerinde kullanılan metotlardandır.

Kısıtlı optimizasyon problemlerinde elde edilen sonuçlar her ne kadar amaç fonksiyonunu optimize eden değerleri verse de aslında bulunan noktanın fonksiyonun o kısıt altında bir maksimumda mı yoksa minimumda mı  olduğu hakkında bilgi vermez. Bunun için oluşturulan Lagrange fonksiyonunun ikinci dereceden koşullarının incelenmesi gerekmektedir. Bunun için sınırlandırılmış Hessian matrisini oluşturup oluşturulan matrisin negatif mi yoksa pozitif mi belirli olduğunu araştırmak gerekmektedir. Sınırlandırılmış Hessian’ın bütün asal minörleri negatifse amaç fonksiyonunun, minimumda olduğunu gösterir. Sınırlandırılmış Hessian’ın asal minörleri pozitiften başlayarak işaret değiştiriyorsa fonksiyonu maksimumdadır. Yani I ve II önermeleri doğrudur.

Öncelikle soruda verilen kısıt ve amaç fonksiyonlarını anlamamız gerekir. Amaç fonksiyonumuz tüketicinin fayda fonksiyonudur, yani U (x, y) = xy. Faydayı, dolayısıyla fayda fonksiyonunu maksimize etmemiz gerekir. Kısıtımız ise elinde olan harcayabildiği bütçesidir, bütçe kısıtıdır. Kısıt fonksiyonunu x, x malının miktarı ve y, y malının miktarı, olarak kabul edersek 12x + 4y = 600 şeklindedir. Soru bu aşamadan sonra herhangi bir kısıtlı optimizasyon problemi gibi çözülebilir. Kısıt fonksiyonundan y = 150 – 3x buluruz ve fayda fonksiyonunda yerine yazarsak U (x, y) = x*(150 – 3x) = 150x – 3x² olur. Fayda fonksiyonunun türevini alırsak Uʹ(x, y) =150 – 6x denklemini buluruz. Bu denklemi sıfıra eşitlediğimizde x = 25 buluruz. Yerine yazdığımızda y = 75 sonucunu buluruz.

Tüketici bütçesini ve ürün fiyatlarını göz önünde bulundurup faydasını maksimize etmeyi amaçlayacak, firma maliyetlerini göz önünde bulundurup üretimini maksime etmeye çalışacak, hükümetler enflasyonu yükseltmeden istihdamı artırmayı amaçlayacaktır. Tüm bu örnekler bir amacın çeşitli kısıtlar altında gerçekleştirilmesini gerektiren bir sürece işaret etmektedir. İşte bir amacın belirli kısıtlar altında gerçekleştirilmesine “kısıtlı optimizasyon” denir.

Bir kısıtlı optimizasyon problem üç farklı şekilde çözülebilir. Bunlar; yerine koyma metodu, toplam diferansiyel metodu ve Lagrange çarpanı metodudur.

Amaç fonksiyonunu bir kısıt altında optimize etmenin bir yolu da toplam diferansiyel metodudur. Bu yaklaşımda hem amaç hem de kısıt fonksiyonunun toplam diferansiyeli alınıp eşanlı olarak çözülmesi gerekir.

İki değişkenli amaç ve kısıt fonksiyonlarında her üç optimizasyon yönteminde de kısıt altında optimizasyonu sağlayan birinci dereceden koşullar f_x/f_y = g_x/g_y şeklindedir.

Lagrange yöntemi ile optimizasyon için öncelikle kısıt fonksiyonu sıfıra eşitlenir ve daha sonra kısıt Lagrange çarpanı ile çarpılarak Lagrange fonksiyonu oluşturulur. Bu durumda soruda verilen amaç ve kısıt fonksiyonlarını yerine yazarsak L(x,y,λ) = 5x² + 6xy + 12y² + λ(120 – x – y) ifadesine ulaşmış oluruz.

Lagrange metodu ile optimizasyon için öncelikle kısıt sıfıra eşitlenir. Sonra kısıt Lagrange çarpanı ile çarpılır ve Lagrange fonksiyonu oluşturulur. Son aşamada ise fonksiyonu optimize eden x, y ve λ değerlerini bulabilmek için ilk önce Lagrange fonksiyonunun 1.dereceden türevleri alınır ve sıfıra eşitlenir. Daha sonra elde edilen denklemler eşanlı çözümlenir ve değerler bulunur. Bu bilgilere göre doğru sıralama II, I, III şeklinde olmalıdır.

Amaç veya kısıt fonksiyonlarındaki değişken sayısının ikiden fazla olduğu durumlarda da Lagrange metodu ile kısıtlı optimizasyon problemlerini çözmek mümkündür. Burada n değişkenli bir fonksiyon için 1.dereceden koşullar λ = f_x1/g_x1 = f_x2/g_x2 = … = f_xn/g_xn şeklinde ifade edilir.