MATEMATİKSEL İKTİSAT

Kritik nokta için bir fonksiyonun 1. türevinin sıfıra eşit olması gerekir. A şıkkındaki fonksiyonun birinci türevi 2x'tir. 2x=0 ise x=0 bu denklemin tek çözümüdür ve fonksiyonun tek kritik noktası vardır. B şıkkındaki fonksiyonun türevi 3'tür, yani hiç kritik noktası yoktur. C şıkkındaki fonksiyonun türevi 3x²'dir. 3x²=0 ise x=0 bu denklemin tek çözümüdür, yani tek kritik nokta bulunmaktadır. Yine D şıkkındaki fonksiyonun türevini sıfıra eşitleyen tek sayı vardır (2x-6=0, x=3). Fakat E şıkkındaki fonksiyonun türevi 3x²-12x=0 olup bu denklemi sağlayan x=0 ve x=4 olmak üzere iki kök bulunmaktadır. Bu nedenle doğru cevap E şıkkıdır.

Bir fonksiyonun "x" noktasında maksimum değerini alması için o noktada birinci türevinin sıfır, ikinci türevinin negatif olması gerekir. Bu koşulları sağlayan tek fonksiyon D şıkkında bulunmaktadır zira f(x)=5-x² için f'(x)=-2x ve x=0 için f'(0)=0; f''(x)=-2 ve x=0 için f''(0)=-2 olacaktır.

İki değişkenli bir fonksiyonun minimum değerini alabilmesi için 1. dereceden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olması ve 2. dereceden kısmi türevlerden oluşan  Hessian matrisinin determinantı ile asal minörlerinden en az birinin pozitif olması gerekir.

İlk olarak 1. dereceden kısmi türevleri alalım:

f_x=2x-4=0,   2x-4=0,  x=2

f_y=2y-6=0,   2y-6=0,  y=3 olacaktır. Yani aradığımız ikili eğer diğer koşulları da sağlıyorsa (2,3) ikilisidir. Şimdi diğer koşulların sağlanıp sağlanmadığını görmek için 2. derece kısmi türevleri ve Hessian matrisini elde edelim:

f_xx=2  f_xy=0

f_yx=0  f_yy=2 ve bu durumda Hessian matrisimiz:

 görüldüğü üzere hem determinantı, hem asal minörleri (2,2) pozitif olan bir matristir. Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.

Verilen ifadelerden sadece III nolu olan yanlıştır. Bir fonksiyonun minimum değerini alması için asal minörlerden en az birinin pozitif olması gerekir.

Kâr fonksiyonu toplam hasıladan toplam maliyetin farkı ile bulunur. π=24Q - 3Q² - (3Q² - 13 )= -6Q² +24Q + 13 . Kâr fonksiyonunun türevini aldığımız zaman ise -12Q + 24 ifadesini buluruz. Bu ifadeyi sıfıra eşitlediğimiz zaman kârın maksimum olduğu üretim düzeyini buluruz. -12Q + 24 = 0 buradan Q = 2 olduğunu buluruz. Toplam hasılayı bulabilmek için bu Q değerini toplam hâsıla fonksiyonuna yazmamız gerekir. Toplam hâsıla fonksiyonundan TR(2)= 24*2 - 3*4 = 48 - 12 = 36 sonucunu buluruz. Cevap A şıkkıdır.

İki değişkenli bir fonksiyonun maximum değerini alabilmesi için 1. dereceden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olması ve 2. dereceden kısmi türevlerden oluşan  Hessian matrisinin determinantının pozitif, asal minörlerinden en az birinin negatif olması gerekir.

İlk olarak 1. dereceden kısmi türevleri alalım:

f_x=y+9-2x=0,   

f_y=x+3-2y=0, 

Bu iki denklemden ilkini 2 ile çarparsak denklem sistemimiz şu hale gelir:

2y+18-4x=0

-2y+3+x=0

Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:

 21-3x=0,  x=7 olur. x'i ilk denklemde yerine yazarsak y+9-2*7=0,  y-5=0,  y=5  bulunur.

Yani aradığımız ikili eğer diğer koşulları da sağlıyorsa (7,5) ikilisidir. Şimdi diğer koşulların sağlanıp sağlanmadığını görmek için 2. derece kısmi türevleri ve Hessian matrisini elde edelim:

f_xx=-2  f_xy=1

f_yx=1  f_yy=-2 ve bu durumda Hessian matrisimiz:

 görüldüğü üzere hem determinantı pozitif, hem asal minörleri (-2,-2) negatif olan bir matristir. Bu nedenle doğru cevap C'dir.

İki değişkenli bir fonksiyonun (x,y) ikilisinde kritik değer alması için söz konusu ikilide her iki 1. dereceden kısmi türevinin de sıfıra eşit olması gerekir. Verilen fonksiyonlardan sadece f(x,y)=2x²+y²-8x-6y-10 için (2,3) ikilisinde f_x=4x-8=0, fy=2y-6=0 koşulu sağlanmaktadır. Bu nedenle doğru cevap C'dir.

Tüketiciler faydalarının maksimum olmasını isterler. Bu nedenle bu bir maksimizasyon problemidir. Öyleyse söz konusu fayda fonksiyonunun 1. derece kısmi türevleri sıfıra eşit olmalı, bu fonksiyondan elde edilecek Hessian matrisinin ise determinantı pozitif ve asal minörlerinden en az biri negatif olmalıdır. İlk önce 1. derece kısmi türevleri bulalım:

U(x,y)=-5x²-y²+40x+10y-15

U_x=-10x+40=0,   x=4

U_y=-2y+10=0,   y=5 olacaktır. Bu değerleri yerine yazınca da U=90 bulunur. Şimdi bu tüketim miktarlarının diğer koşulları yerine getirip getirmediğini test edelim. 2. derece kısmi türevleri alırsak:

U_xx=-10   U_xy=0   

U_yx=0   U_yy=-2   olacaktır. Buradan Hessian matrisi:

olur. Görüldüğü üzere hem determinant pozitif hem de asal minörler negatiftir. Dolayısıyla doğru cevap B'dir.

Üreticiler maliyetin minimum olmasını isterler. Bu nedenle bu bir minimizasyon problemidir. Öyleyse söz konusu toplam maliyet fonksiyonunun 1. derece kısmi türevleri sıfıra eşit olmalı, bu fonksiyondan elde edilecek Hessian matrisinin ise determinantı pozitif ve asal minörlerinden en az biri pozitif olmalıdır. İlk önce 1. derece kısmi türevleri bulalım:

TC(x,y)= 4x²+y²-40x-4y+500

TC_x=8x-40=0,   x=5

TC_y=2y-4=0,   y=2 olacaktır. Şimdi bu üretim miktarlarının diğer koşulları yerine getirip getirmediğini test edelim. 2. derece kısmi türevleri alırsak:

TC_xx=8   TC_xy=0   

TC_yx=0   TC_yy=2   olacaktır. Buradan Hessian matrisi:

Görüldüğü üzere hem matrisin determinantı hem de asal minörleri pozitiftir. Tüm koşullar sağlanmıştır. Bu nedenle doğru cevap E'dir.

İlk önce TR’nin Q₁ ve Q₂’e göre birinci mertebeden kısmi türevi bulunur. ∂TR/∂Q₁ = -10Q₁ - 3Q₂ + 23 ve ∂TR/∂Q₂ =-3Q₁ + 6Q₂ bulunur, bu iki denklemi sıfıra eşitlediğimizde -10Q₁ - 3Q₂ + 23 = 0 ve -3Q₁+6Q₂=0 eşitliğini elde ederiz. İkinci fonksiyon için 3Q₁=6Q₂ buradan Q₁=2Q₂ eşitliğini buluruz. Bu eşitliği ilk fonksiyonda yerine yazdığımızda ise -20Q₂ - 3Q₂ + 23 = 0 eşitliğini buluruz. Bu eşitliği çözdüğümüzde  -23Q₂ = - 23 Buradan Q₂ = 1 ve Q₁ =2 sonucunu elde ederiz. Cevap C şıkkıdır.

Fayda fonksiyonunun maksimum olduğu noktayı bulmak için U(X) = 3X² - 18X+ 30 fayda fonksiyonunun türevini almak gerekir. U΄(X) = 6X – 18 fonksiyonunu buluruz. Bu fonksiyonu sıfıra eşitleyip çözdüğümüzde bireyin faydasını maksimum yapan tüketim miktarını buluruz. 6X -18 = 0 ise 6X=18 buradan X = 3 bulunur. Cevap B şıkkıdır.

I. Hessian matirisinin determinant değeri sıfıra eşitse bu sıralı ikililer için bir şey söylenemez. (Doğru)

II. Hessian matirisinin determinant değeri sıfırdan küçük ise ne maksimum ne de minimumu vardır. (Doğru)

III. Hessian matrisi birinci mertebeden kısmi türevlerden elde edilen matristir. (Yanlış, Hessian matrisi ikinci mertebeden kısmi türevlerden elde edilen matristir.)

 Doğru cevap C şıkkıdır.

İlk önce TR’nin X, Y ve Z’ye göre kısmi türevlerini bulup sıfıra eşitlememiz gerekir. ∂TR/∂X= -10X + 20 ; ∂TR/∂Y= 24 - 6Y ; ∂TR/∂Z= -20 + 2Z olarak yazılabilir. Her bir fonksiyonu sıfıra eşitlersek maksimum noktalarını bulabiliriz. -10X + 20 = 0 ise X = 2 ve 24 - 6Y = 0 ise Y = 4 ve -20 + 2Z = 0 ise Z = 10 olarak buluruz. Cevap B şıkkıdır.

Fayda fonksiyonunun maksimum olduğu noktayı bulmak için X, Y ve Z’ye göre kısmi türevlerini bulup sıfıra eşitlememiz gerekir. ∂U/∂X= 4 - 2X ; ∂U/∂Y= 2 - 8Y ; ∂U/∂Z= 10 - 10Z olarak yazılabilir. Her bir fonksiyonu sıfıra eşitlersek maksimum noktalarını bulabiliriz. 4 - 2X = 0 ise X=2 ve 2 - 8Y = 0 ise Y = 1/4 ve 10 - 10Z = 0 ise Z=1 olarak buluruz. Cevap D seçeneğidir.

I. Kritik nokta, bir fonksiyonun ikinci türevini sıfır yapan değer olarak tanımlanır. (Yanlış, kritik nokta, bir fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan değer olarak tanımlanır. )

II. Bir fonksiyon için ikinci türevi pozitif yapan değer fonksiyonunu minimum yapan değerdir. (Doğru)

III. Bir fonksiyon için ikinci türevi negatif yapan değer fonksiyonunu maksimum yapan değerdir. (Doğru)

Cevap E şıkkıdır.

Fayda fonksiyonunun maksimum olduğu noktayı bulmak için X ve Y’e göre kısmi türevlerini bulup sıfıra eşitlememiz gerekir. İlk önce X’e göre kısmi türevini bulalım. ∂U/∂X= -2 – 2X + 10Y eşitliğini elde ederiz. Bu eşitliği sıfıra eşitlersek -2 – 2X + 10Y = 0 şeklinde bir eşitlik elde ederiz. İşlem kolaylığı adına iki tarafı 2’e bölersek -1 – X + 5Y = 0 buluruz. Fayda fonksiyonunun Y’e göre kısmi türevini yazacak olursak ∂U/∂Y = 10X + 4Y - 8 şeklinde yazabiliriz. Bu fonksiyonu sıfıra eşitleyip sadeleştirdiğimizde ise 5X + 2Y - 4= 0 eşitliğini elde ederiz. Bu iki eşitliği bir denklem sistemi gibi çözdüğümüzde Y=1/3 ve X=2/3 sonucunu elde ederiz.

İlk olarak 1. dereceden kısmi türevleri alıp sıfıra eşitleyelim:

f_x=4x-4y-4z-8=0

f_y=-4x+4y=0 buradan x=y

f_z=-4x+4z+10=0

ikinci denklemden x=y çıktığı için bu bilgiyi ilk denkleme (f_x) uygularsak:

4x-4y-4z-8=0 buradan 4x-4x-4z-8=0 ve -4z=8 olduğundan z=-2 olur. z’nin değerini son denklemde (f_z) yerine yazarsak:

-4x-8+10=0 buradan 4x=2, x=1/2 olacaktır. y=x olduğundan y=1/2 olur. Bu durumda kritik noktayı sağlayan (x,y,z) üçlüsü (½, ½,-2) olacaktır.

Şimdi Hessian matrisine bakarak bu noktanın türünü belirleyelim. Hessian matrisi için ikinci kısmi türevleri almamız gerekir:

f_x=4x-4y-4z olduğu için f_xx=4 f_xy=-4 f_xz=-4

f_y=-4x+4y olduğu için f_yx=-4 f_yy=4 f_yz=0

f_z=-4x+4z+10 olduğu için f_zx=-4 f_zy=0 f_zz=4 olur. Bu durumda Hessian Matrisimiz şudur:

=16>0

görüldüğü üzere matrisin tüm asal minörleri ve determinantı pozitiftir. Bu nedenle bu bir minimum noktasıdır. Bu nedenle cevap D'dir.

Tüm piyasa koşullarında kar maksimizasyonu koşulu MR(Q) = MC(Q)'dir. Ancak, tam rekabet piyasasının varsayımları sonucunda firmaların fiyatı veri kabul etmeleri, firmanın marjinal hasılasının fiyata eşit olmasını garanti eder. Yani, MR(Q) = P'dir. Bu nedenle sadece tam rekabet piyasasında kar maksimizasyon koşulu; P = MC(Q) şeklindedir. Doğru cevap A'dır.

Firmanın kar fonksiyonu;

şeklindedir. İlk olarak firmanın karını maksimum yapan değerleri bulabilmek için kar fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan noktaları belirleyelim. Buna göre;

 

sonucu elde edilir. Yukarıdaki denklemin kökleri bulunarak birinci türevi sıfır yapan üretim değeri ya da değerleri elde edilir.

Q₁=5 ve Q₂=1 değerlerinin hangisinin firmanın karını maksimum yapıp yapmadığına karar verebilmek için ikinci türev koşullarına bakılır.

İki kritik değerden karı maksimum kılan ikinci türevi negatif yapan değerdir. Bu durumda karın maksimum olması için 5 birimlik üretim yapılması gereklidir. Doğru cevap B'dir.

İlk önce fonksiyonun birinci türevi alınır.

f'(x) = 3x² + 24x + 36'dır.

Kritik değerleri elde etmek için türev fonksiyonu sıfıra eşitlenir.

3x² + 24x + 36 = 0

Denklemi çarpanlarına ayırarak iki kritik değer bulunur.

x₁ = 2 (bu noktada f'(2) = 0 ve f(2) = 40 olur)

x₂ = 6 (bu noktada f'(6) = 0 ve f(6)= 8 olur)

Doğru cevap C'dir.