MATEMATİKSEL İKTİSAT

Firmanın üretim miktarını sıfır yapan üretim değer ya da değerlerinin maksimum olup olmadığına karar verebilmek için ikinci türevi alınır ve birinci türevi sıfır yapan üretim değerleri ikinci türevde yerine konur.

Eğer firmanın kâr fonksiyonunun ikinci türev değeri negatif bir sonuç veriyor ise birinci türev kuralı ile elde edilen kritik nokta ya da noktaların firmanın kârını maksimum yaptığı söylenir.

n. mertebeden simetrik bir matrisin bütün asal minörleri sıfırdan büyükse matris pozitif belirlidir.

n. mertebeden simetrik bir matrisin asal minörleri (-, +, -, +, .........) şeklinde ise matris negatif belirlidir.

Hessian matrisi ikinci mertebeden kısmi türevlerden elde edilen matristir.

Sarrus kuralı, “3x3” boyutundaki matrislerin determinantını hesaplamak için kullanılan bir yöntemdir.

Üç değişkenli bir fonksiyon (x1, x2, x3) bağımsız değişkenleri ve z bağımlı değişkeni göstermek üzere z = f(x1, x2, x3) şeklindedir. Bu tip fonksiyonlarda yerel maksimum ya da yerel minimum değerlerin bulunması için aşağıdaki adımlar izlenir.

I. Birinci mertebeden kısmi türevler alınır ve eşanlı olarak sıfıra eşitlenir. Bu sıfıra eşitleme sonucu birinci mertebeden kısmi türevini sıfır yapan değerler bulunur. Bu değerler (a, b, c) ise ikinci mertebeden kısmi türevlerine bakılır.
II. z = f(x1, x2, x3) fonksiyonun ikinci mertebeden kısmi türevleri aşağıdaki gibi elde edilir. (a, b, c) değerlerinin yerel maksimum ya da minimum olup olmadığına karar verebilmek için Hessian matrisi oluşturulur ve asal minörlerinin işaretine bakılır.

Asal minörlere bakıldığında oluşan Hessian matrisi negatif belirli ise bu durumda (a, b, c) değerlerinin amaç fonksiyonunu maksimum kılan değerler olduğu söylenir.

I. Kritik nokta, bir fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan değer olarak tanımlanır. (Bu tanım doğrudur.) II. Optimizasyon eldeki mevcut kaynakları en iyi şekilde kullanmak ve amaçlanan sonuca ulaşmak biçiminde tanımlanabilir. (Bu tanım doğrudur.) III. Kâr, veri bir teknoloji düzeyinde üretim yapan bir firmanın toplam hasılası ile toplam maliyeti arasındaki pozitif fark olarak tanımlanır. (Bu tanım doğrudur.)

Bir fonksiyon için ikinci türevi negatif yapan değer fonksiyonunu maksimum yapan değerdir. Bir fonksiyon için ikinci türevi pozitif yapan değer fonksiyonunu minimum yapan değerdir. Kritik nokta, bir fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan değer olarak tanımlanır.

Kâr fonksiyonu toplam hasıladan toplam maliyetin farkı ile bulunur. π= 8Q – 5Q² – (3Q² + 4Q – 12) = 8Q – 5Q² -3Q² - 4Q + 12 bu ifadeyi düzenlediğimizde π= -8Q² + 4Q +12 ifadesini elde ederiz. Kâr fonksiyonunun türevini aldığımız zaman ise – 16Q +4 ifadesini buluruz. Bu ifadeyi sıfıra eşitlediğimiz zaman kârın maksimum olduğu üretim düzeyini buluruz. – 16Q +4=0 buradan Q = 1/4 olduğunu buluruz.

Kâr fonksiyonu toplam hasıladan toplam maliyetin farkı ile bulunur. π= 8Q – 5Q² – (3Q² + 4Q – 12) = 8Q – 5Q² -3Q² - 4Q + 12 bu ifadeyi düzenlediğimizde π= -8Q² + 4Q +12 ifadesini elde ederiz. Kâr fonksiyonunun türevini aldığımız zaman ise – 16Q +4 ifadesini buluruz. Bu ifadeyi sıfıra eşitlediğimiz zaman kârın maksimum olduğu üretim düzeyini buluruz. – 16Q +4=0 buradan Q = 1/4 olduğunu buluruz. Toplam hasılayı bulabilmek için bu Q değerini toplam hâsıla fonksiyonuna yazmamız gerekir. Toplam hâsıla fonksiyonundan TR(1)= 8Q – 5Q²= 8(1/4)-5*(1/4)²=1,6875 sonucunu buluruz.

Kâr fonksiyonu toplam hasıladan toplam maliyetin farkı ile bulunur. π= 8Q – 5Q² – (3Q² + 4Q – 12) = 8Q – 5Q² -3Q² - 4Q + 12 bu ifadeyi düzenlediğimizde π= -8Q² + 4Q +12 ifadesini elde ederiz. Kâr fonksiyonunun türevini aldığımız zaman ise – 16Q +4 ifadesini buluruz. Bu ifadeyi sıfıra eşitlediğimiz zaman kârın maksimum olduğu üretim düzeyini buluruz. – 16Q +4=0 buradan Q = 1/4 olduğunu buluruz. Toplam maliyeti bulabilmek için bu Q değerini toplam maliyet fonksiyonuna yazmamız gerekir. Toplam maliyet fonksiyonundan TR(1)= 3Q² + 4Q – 12= 3(1/4)² + 4(1/4) – 12=0,1875+1-12=-10,8125 sonucunu buluruz.

İlk önce TC’nin Q₁ ve Q₂’e göre birinci mertebeden kısmi türevi bulunur. ∂TC/∂Q₁ = 8Q₁ - 2Q₂ – 4 ve  ∂TC/∂Q₂ =2Q₁ – 8 bulunur, bu iki denklemi sıfıra eşitlediğimizde 2Q₁ – 8 = 0 eşitliğinden Q₁=4 ve 8Q₁ - 2Q₂ – 4=0 eşitliğinden 8*4 - 2Q₂ – 4=0 ve buradan Q₂ = 14 sonucunu buluruz.

İlk önce TR’nin Q₁ ve Q₂’e göre birinci mertebeden kısmi türevi bulunur. ∂TR/∂Q₁ = 8Q₁ - 2Q₂ – 4 ve  ∂TR/∂Q₂ =2Q₁ - 10Q₂ bulunur, bu iki denklemi sıfıra eşitlediğimizde 8Q₁ – 2Q₂ - 4 = 0 ve 2Q₁ - 10Q₂ =0 eşitliğini elde ederiz. Her iki fonksiyonun iki tarafını 2’ye böldüğümüzde 4Q₁ –Q₂ - 2 = 0 ve Q₁ - 5Q₂ =0 fonksiyonlarını elde ederiz. Q₁ = 5Q₂ eşitliğini ilk denklemde yerine yazarsak 20Q₂ – Q₂ - 2 = 0 eşitliğini buluruz. Buradan Q₁ = 2/19 ve Q₂ =10/19 sonucunu elde ederiz.

∂π/∂Q₁ = 6 - 6Q₁ +6Q₂ eşitliğini elde ederiz. Hersian matrisinin ilk terimi kâr fonksiyonun ikinci dereceden türevi yazılır. ∂²π/∂Q₁² = - 6

Fayda fonksiyonunun maksimum olduğu noktayı bulmak için X ve Y’e göre kısmi türevlerini bulup sıfıra eşitlememiz gerekir. İlk önce X’e göre kısmi türevini bulalım. ∂U/∂X= -4 – 6X + 2Y eşitliğini elde ederiz. Bu eşitliği sıfıra eşitlersek -4 – 6X + 2Y = 0 şeklinde bir eşitlik elde ederiz. İşlem kolaylığı adına 2’e bölersek iki tarafı -2 – 3X +Y =0 buluruz. Fayda fonksiyonunun Y’e göre kısmi türevini yazacak olursak ∂U/∂Y=2X + 10Y -20 şeklinde yazabiliriz. Bu fonksiyonu sıfıra eşitleyip sadeleştirdiğimizde ise X + 5Y -10 = 0 eşitliğini elde ederiz. Bu iki eşitliği bir denklem sistemi gibi çözdüğümüzde Y=2 ve X=0 sonucunu elde ederiz.

Fayda fonksiyonunun maksimum olduğu noktayı bulmak için türevini almak gerekir. U΄(X) = 14X – 6 fonksiyonunu buluruz. Bu fonksiyonu sıfıra eşitleyip çözdüğümüzde bireyin faydasını maksimum yapan tüketim miktarını buluruz. Sonuç 14X=6’dan X=3/7 çıkar.

Firmanın kâr fonksiyonu;
π(Q)=TR(Q)-TC(Q)
π(Q)=8Q-Q²-(1/3 Q³-10Q²+80Q+500)

İlk olarak firmanın kârını maksimum yapan değerleri bulabilmek için kâr fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan noktaları belirleyelim. Buna göre;
(dπ(Q))/dQ=8-2Q-Q²+20Q-80=0
(dπ(Q))/dQ=-Q²+18Q-72=0

sonucu elde edilir. Yukarıdaki denklemin kökleri bulunarak birinci türevi sıfır yapan üretim değeri ya da değerleri elde edilir.
(Q-12)(Q-6)=0

Buna göre köklerden biri Q₁=6, diğeri Q₂=12’dir. Hangisinin firmanın kârını maksimum yaptığına karar verebilmek için ikinci türev koşullarına bakılır.
d² π(Q)/(dQ² )=-2Q+18
d² π(Q)/(dQ² ) (Q₁=6)=-2(6)+18=6>0
d² π(Q)/(dQ² ) (Q₁₂=12)=-2(12)+18=-6<0

Görüldüğü gibi Q₂=12 kâr fonksiyonunun türevinde değerlendirildiğinde negatif sonuç bulunmuştur. Kârı maksimum kılan değer ikinci türevi negatif yapan değerdir. Dolayısıyla firmanın kârını maksimum yapan üretim düzeyi Q=12’dir.

Kâr fonksiyonunun birinci mertebeden kısmi türevi alınır ve çözümlenirse
 

İki denklem birlikte çözüldüğünde (birinci denklem -1 ile ikinci denklem 2 ile çarpılarak taraf tarafa toplanır.)

Buradan  ve x=2,75 olarak bulunur. (x;y)=(2,75; 5,7) miktarlarının kârı maksimum yapan üretim düzeyleri olup olmadığına karar verebilmek için ikinci mertebeden kısmi türevler alınırsa

Bu sonuçlar kullanılarak Hessian matrisi oluşturulursa

Son olarak Hessian determinantını ve ikinci mertebeden kısmi türevi (2,75;5,7) noktasında değerlendirirsek

 

Sonuçları bulunur ve firmanın sırasıyla x ve y malından (2,75;5,7) üretmesi durumunda kârını maksimum yaptığı söylenir.

Ortalama maliyet fonksiyonunun birinci türevi sıfıra eşitlenir ve birinci türevini sıfır yapan nokta yada noktalar bulunur. 
dAC(Q)/dQ=Q²-3Q+2=0
Çarpanlarına ayrılırsa;
(Q-2)(Q-1)=0
Kökler Q₁=1 ve Q₂=2 olarak bulunur ve hangisinin maliyeti minimum yapan düzey olduğuna karar verebilmek için ikinci türeve bakılır.
 
Görüldüğü gibi Q₂=2 ortalama maliyet fonksiyonunun türevinde değerlendirildiğinde pozitif sonuç bulunmuştur. Maliyeti minimum kılan değer ikinci türevi pozitif yapan değerdir. Dolayısıyla firmanın maliyetini minimum yapan üretim düzeyi Q=2’dir