MATEMATİKSEL İKTİSAT

Matematikte, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için üç farklı metottan yararlanılır. Bu metotlar sırasıyla; Eğim-Kesişim Metodu, İkame (Yerine Koyma) Metodu ve Eleme Metodu olarak sıralanır. Doğru cevap B'dir.

İkame metodunda denklem sistemindeki doğrusal fonksiyonlardan biri alınır ve y veya x cinsinden yazılır. Diyelim ki y cinsinden yazılan fonksiyon daha sonra sistemdeki diğer fonksiyonda y görülen yer(ler)e ikame edilir ve x cinsinden ifade edilen tek bilinmeyenli bir denklem haline dönüştürülür. X cinsinden değeri bulunur ve bu x değeri sonra ikame yoluyla y değerinin hesaplanmasında kullanılır.

İkame metoduyla çözümü görebilmek aşağıdaki örneği kullanalım:

5x + 7y = 50

4x - 6y = -18

İkame metodu ile çözümü gösterebilmek için yukarıda verilen doğrusal denklem sistemindeki denklemlerden birisini alalım. Aldığımız denklem ikinci doğrusal fonksiyon olan

4x - 6y = - 18

olsun. Denklemin y cinsinden yazılıp sadeleştirilmesi durumunda,

4x + 18 = 6y

y = 4/6x + 3 = 2/3x + 3

y = 2/3x + 3 (2)

sonucu elde edilir.

Bulduğumuz y değerini (y = 2/3x + 3) sistemdeki diğer denklemdeki (5x + 7y = 50) gördüğümüz y’nin yerine ifadeleri parantez içerisinde yazarak koyalım.

5x + 7y = 50

5x + 7 (2/3x + 3) = 50

5x + 14/3 x + 21 = 50

15/3x + 14/3x + 21 = 50

İkame etmemiz ve sadeleştirme sonucunda iki bilinmeyenli denklem sistemi x cinsinden ifade edilen tek değişkenli bir denklem hâline dönüştü. Bilinen ve bilinmeyenleri bir tarafa aldığımızda,

29/3x = 50 - 21= 29

x = 3/29 * 29 = 3

x değeri 3 olarak bulunur. y değerini bulmak için bulduğumuz x değerini y = 2/3x + 3 denkleminde yerine koymamız yeterli olacaktır. İşlem sonucunda,

y = 2/3x + 3 = 2/3 * 3 + 3 = 5

y değeri 5 olarak bulunur. Dolayısıyla sistem için çözüm,

x = 3, y = 5’tir. Doğru cevap E’dir.

Eşitliklerin, doğrusal, bağımsız ve tutarlı olmaları gereklidir.

“Doğrusal” nedir?

Eşitliğin doğrusal olması, kontrol edilen bütün eşitliklerin, y = a + bx formatında olması gerekliliğidir. Bu özellik formattaki a veya b’nin 0 ya da 1 olduğu durumları da içerir ki böyle durumlarda y = a ya da y = x olur. Doğrusal olması formatın üs, kare (veya başka bir seviyede), kök, xy veya x/y olmaması durumunu ifade eder.

“Bağımsız” nedir?

Bu durum en iyi, birbirinden bağımsız olmayan iki eşitlikle gösterilebilir. Örneğin, y = x ve 2y = 2x, denklemleri bağımsız değildir. Eğer birisi doğruysa öteki de doğru olmak zorundadır. Örnekteki denklemlerin gerçekte her ikisi de mükerrer yazılmış olan aynı fonksiyondur, dolayısıyla ikisini de denklem olarak sayamazsınız.

“Tutarlı” nedir?

Bu durum daha bariz bir şekilde ifade edilebilir. Aynı anda hem y = x hem de y = x + 2 doğru olamaz.

Doğru cevap C'dir

Üç eşitlik ve üç bilinmeyenli denklem sistemleri aslında 2-2’lik sisteme göre çok daha zor olacakmış gibi görünse de gerçekte neredeyse daha kolaydır. Bunun nedeni ise karşılaşacağımız neredeyse tüm üç eşitlik ve üç bilinmeyenli sistemlerin aynı yapıda olacak olmasıdır.

İktisatta karşılaşılacak üç eşitlik ve üç bilinmeyenli çoğu sistemler genellikle ya

Doğru cevap D'dir.

Qs = 20 + 6P

Qd = 100 - 2P

Qs = Qd olduğundan,

20 + 6P = 100 - 2P

8P = 80, P = 10

P değerini herhangi bir fonksiyonda yerine koyarsak örneğin arz fonksiyonunda,

Qs = 20 + 6*10 =80 değerini buluruz.

Sağlamasını yapmak için P değerini talep fonksiyonunda da yerine koyalım. Eğer sonuç 80 ise işlem doğru demektir.

Qd = 100 – 2*10 = 80

Sonuç:

P = 10

Qs = Qd = 80

Doğru cevap A'dır.

Doğrusal denklem sistemini çözebilmenin 3. yolu eleme metodunu uygulamaktır. Eleme metodunda verilen denklem sistemindeki bilinmeyenlerden x veya y’nin elenmesi yoluna başvurulur. Bunu yapabilmek için ise (örneğin x’i elemek için) iki aşamalı bir yol izlenir. Öncelikle, sistemdeki birinci denklem ikinci denklemdeki x’in katsayısıyla ve ikinci denklem ise birinci denklemdeki x’in katsayısıyla çarpılır. Daha sonra ise çarpımlar sonucu elde edilen ilk denklemden ikinci denklem çıkartılır. Doğru cevap C'dir.

Her ne kadar bir malın talep edilecek miktarını belirleyen en önemli faktör o malın fiyatı ise de genel olarak, piyasada veri bir zamanda bir malın talep edilen miktarını o malın fiyatı, tüketicilerin gelirleri, ilgili malların fiyatlarındaki değişmeler, tüketicilerin zevk ve tercihleri ve tüketicilerin beklentileri gibi birçok faktör etkiler. Örneğin, Coca-Cola’nın fiyatı sabitken, Pepsi-Cola fiyatı artarsa; bu iki malın birbirine yakın ikame mallar olduğunu düşünen bazı tüketiciler daha fazla CocaCola tüketmeye başlayabilir.

C şıkkında verilen ifade ise iktisat biliminde geçerli bir ifade olmasına rağmen talep fonksiyonu ile doğrudan bir ilişkisi yoktur. Doğru cevap C'dir.

Piyasa dengesi diğer faktörlerde değişme söz konusu değilken durağan ve tektir. Ancak piyasa koşullarında değişmeler her zaman söz konusu olur ve bu değişmelerin dengeyi (denge fiyat ve denge miktar) nasıl değiştirdiği araştırılmalı ve analiz edilmelidir.

Piyasa koşullarında, örneğin, alıcıların gelirleri veya üretim teknolojisi değişebilir ya da piyasaya vergiler yoluyla kamu müdahalesi olabilir. Sistemde gerçekleşen şokların yol açtığı yeni oluşan dengeyi ilk denge karşılaştırmak için temel düşünce "Karşılaştırmalı Statik Denge Analizidir". Doğru cevap E'dir.

Bir piyasa için talep ve arz fonksiyonları sırasıyla,

Q^D = 50 – P

Q^S = 20 + 2P

şeklinde verilmiş olsun. Piyasa dengesi, Q^S = Q^D eşitliğini sağlan fiyat (p) düzeyinde gerçekleşir. İşlem sonucunda,

20 + 2P = 50 – P

Denge fiyat, P = 10 ve denge miktar, Q = 40 olarak bulunur.

Piyasa denge durumunu genel form olarak ifade etmek istersek talep ve arz fonksiyonları sırasıyla,

Q^D = a + bP

Q^S = c + dP

ifade edilir ve piyasa denge fiyat ve miktarı ise

P = a-c / d-b ve Q = ad-bc / d-b

olarak ifade edilir. Doğru cevap E'dir.

Denge fiyatını bulabilmek için arz ve talep fonksiyonları eş anlı olarak eşitlenir ve bu eşitleme sonucunda bilinmeyenler aynı tarafta toplanır. Bu çözümleme sonucunda denge fiyatı aşağıdaki şekilde çözümlenir.

Verginin üreticiye yüklenmesi durumunda, P piyasa fiyatından ürününü satan
satıcı, t lira kadar vergiyi devlete ödemek zorundadır.  Bu nedenle satılan her birimden piyasa fiyatı olan P değilde,  alır. Bu durumda veri vergi koşulu altında, üreticilerin arz etmeye gönüllü olduğu X malı miktarı  P' ’ye bağlı olacaktır. Buna göre vergi sonrası denge fiyatı aşağıdaki şekilde hesaplanır.

Dışa kapalı ekonomide milli gelir fonksiyonu tüketim harcamaları, yatırım harcamaları ve kamu harcamalarının toplamına eşittir. Buna göre milli gelir fonksiyonu Y=C+I+G şeklinde yazılır. Denge gelir düzeyini bulabilmek için soruda verilen denklemler yerine konulursa çözüm aşağıdaki şekilde elde edilir.

Dışa kapalı ekonomide milli gelir fonksiyonu tüketim harcamaları, yatırım harcamaları ve kamu harcamalarının toplamına eşittir. Buna göre milli gelir fonksiyonu Y=C+I+G şeklinde yazılır. Denge gelir düzeyini bulabilmek için soruda verilen denklemler yerine konulursa çözüm aşağıdaki şekilde elde edilir.

Dışa kapalı ve devletin olmadığı bir ekonomide milli gelir fonksiyonu tüketim harcamaları ve yatırım harcamalarının toplamına eşittir. Buna göre milli gelir fonksiyonu Y=C+I şeklinde yazılır. Denge gelir düzeyi formülünden yola çıkarak çarpan  aşağıdaki şekilde elde edilir.

Denge fiyatını bulabilmek için arz ve talep fonksiyonları eş anlı olarak eşitlenir ve bu eşitleme sonucunda bilinmeyenler aynı tarafta toplanır. Bu çözümleme sonucunda denge fiyatı çözümlenir. Bulunan denge fiyatı arz ya da talep fonksiyonunda yerine konularak denge miktarı aşağıdaki şekilde bulunur.

Tasarruf gelirin harcanmayan kısmıdır ve planlanan tasarruf,

şeklinde formüle edilir. Tüketim fonksiyonu  verildiğine göre tasarruf fonksiyonu aşağıdaki şekilde elde edilir.

Gelir düzeyinin artması sonucu yeni denge fiyatının bulunabilmesi için A malına ilişkin talep fonksiyonunda gelir (I) değişkeni yerine 400 TL yazılır ve arz ve taleo fonksiyonları eş anlı eşitlenerek çözüm aşağıdaki şekilde edilir.

Arz edilen miktarın pozitif olabilmesi için satış fiyatının en az kaç TL olması gerektiğini bulabilmek için arz fonksiyonunun sıfıra eşitlenerek arz edilen miktarı sıfır yapan satış fiyatı bulunur. Bulunan satış fiyatının üzerindeki her fiyat düzeyinde arz edilen miktar pozitif olur. 

A malına ilişkin denge fiyatı ve denge miktarının bulabilmek için aşağıdaki adımlar izlenir. Buna göre çözüm aşağıdaki şekilde elde edilir.