MATEMATİKSEL İKTİSAT

Yukarıdaki üç örneğin ilk ikisinde x bağımlı, y bağımsız değişken iken; üçüncü fonksiyonda z bağımlı y ise bağımsız değişkendir. Kuvvet fonksiyonlarından çok açık farkları, fonksiyonlarda bağımsız değişkenlerin üstte yer almalarıdır. Doğru cevap A'dır.

Eğer para bir yıl tutulacak ise ilgili formül;

Eğer para bir yıl değilde n yıl tutulacak ise formül;

şeklinde olacaktır. Yukarıdaki formüllerde r/n yıl içerisinde her dönem ödenen faiz oranını ve nt faiz ödemelerinin t yılda toplam kaç kez yapılacağını gösterir. Doğru cevap B'dir.

İlgili formül:

P_t = P₀ e^rt  şeklinde olacaktır. Doğru cevap C'dir.

Doğal tabanlı üstel fonksiyonların en basit hali olan y = e^x fonksiyonunun grafiği sorudaki gibi görülmektedir., Sorudaki şekilden de’den de anlaşılacağı gibi, e^x fonksiyonunun tanım kümesi bütün reel sayılar olabiliyor iken, görüntü kümesinde yalnızca pozitif sayılar yer alabilmektedir. Fonksiyon artan x değerleri ile birlikte artmaktadır ve tanım kümesinin bütün değerleri için çok açık biçimde sürekli konvekstir. Doğru cevap E'dir.

Doğal tabanlı üstel fonksiyonlar ile doğal logaritmik fonksiyonların karşılaştırılmasında aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

Doğal tabanlı fonksiyonda olduğu gibi logaritmik fonksiyon da sürekli artan bir fonksiyondur.

Doğal tabanlı üstel fonksiyon sürekli konveks iken, doğal logaritmik fonksiyon tanım kümesinin bütün elemanları için sürekli konkav bir fonksiyondur.

Üstel fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar iken, logaritmik fonksiyonun tanım kümesi yalnızca pozitif sayılardan oluşur.

Doğal tabanlı üstel fonksiyonun görüntüleri yalnızca pozitif sayılarda tanımlı iken, logaritmik fonksiyonun değerleri bütün reel sayılar olabilir.

Ancak üstel fonksiyonlar pozitif olduğu durumlarda daima logaritmik fonksiyonlardan büyüktür diye bir sonuç çıkarılamaz. Doğru cevap E'dir.

Sürekli bileşen formülünü hatırladığımızda formül; P₁ = P₀ e^rt şeklinde idi. Biz bankaya A kadar para yatırdığımıza göre formülde A’yı yerine yazarsak A₁ = A₀ e ^rt olur.

Şimdi de biliyoruz ki gelecekteki paramız şimdinin iki katı olacak. Bu bilgiyi de formülde yerine yazarsak

2A₀ = A₀ e ^rt denklemini elde ederiz. Denklemin her iki tarafını da A₀ ile bölersek

2 = e ^rt elde edilir. Eşitliğin her iki tarafının da doğal logaritması alınırsa,

ln2 = ln e ^rt eşitliğine ulaşırız. ln e = 1 olduğu için,

ln2 = rt eşitliği elde edilmiş olur. Artık A kadar paranın iki katına çıkması için gerekli zamanı bulabilmek için t’ i yalnız bırakmamız yeterlidir:

t = (ln 2) /r olur. ln 2 değeri yaklaşık olarak 0,69 olduğu için buradan bir kural geliştirilebilir.

70 kuralı olarak adlandırılabilecek bu kurala göre ikiye katlama için gerekli zamanı bulmak için 70’i faiz oranına bölmek yeterli olacaktır. Örneğin faiz oranı yıllık nominal %10 olur ise ikiye katlama için gerekli zaman (70/10) = 7 yıl olacaktır. Doğru cevap D'dir.

Q^d = 1000 - P³ şeklinde talep fonksiyonu olduğunu kabul ettiğimizde, toplam hasılayı bulurken, bu talep bilgisini kullanılacaktır.

 Toplam hasıla satılan ya da üretilen toplam miktar ile malın fiyatının çarpılmasıyla kolayca hesaplanabilir. Buna göre toplam hasıla örneğimizde şöyle olur:

TR = PQ^d = P (1000 - P³). Toplam hasılanın maksimum olduğu nokta ise birinci türevinin sıfıra eşit olduğu yerdedir.

Yani

olduğu zaman, toplam hasıla maksimum düzeye ulaşmış demektir. Doğru cevap B'dir.

İktisatta ters talebin ne olduğunu örnek üzerinde inceleyerek görebiliriz. Fiyat belirli bir düzeyde olduğunda tüketicinin talep edeceği miktar şu fonksiyonla belirlenir:

Yanda görülen standart bir talep fonksiyonudur. Biz buradan fiyatı çeker ve onun için bir denklem yazmak istersek;

eşitliğini elde ederiz. Buradan da P ’i yalnız bıraktığımızda,

denklemini elde ederiz ki bu son denklem iktisatta ters talep fonksiyonu olarak adlandırılır. Doğru cevap C'dir.

Burada logaritmik transformasyon için doğal logaritmayı kullanacağız. Eşitliğin her iki tarafının doğal logaritması alındığında, logaritma kuralları gereği, lnQ^d = ln 1000 -3 lnP denklemi elde edilir. Elimizde üstel yapıda olan bir talep fonksiyonu vardı. Logaritma kullanarak bu fonksiyonu logaritmik ve doğrusal yapıya kavuşturduk. Artık yalnızca basit bir türev alarak talebin fiyat esnekliği hesaplamak mümkün hâle gelmiştir:

 

Yukarıda görüldüğü gibi bu malın talebi fiyata göre esnek çıkmıştır. Bir başka özellik ise bu talep fonksiyonunun her noktasında esneklik sabit ve 4’e eşittir. Doğru cevap E'dir.

Talebi etkileyen diğer faktörlerden gelir ve diğer malların fiyatlar serbest bırakıldığında bir mal için talep fonksiyonu,

Qd = 100 - p + 2p* - 3y gibi yazılabilir.

Bu fonksiyonda p ilgili malın fiyatını, p* başka bir malın fiyatını ve y geliri temsil etmektedir.

Denklemi buradaki gibi üç ayrı açıklayıcı değişkenle yazdığımız da artık kısmi türev kurallarını kullanarak çeşitli esneklik hesaplamaları yapılabilir. doğru cevap B'dir.

Efektif faiz r=(1+r/12)¹²-1 formülü ile hesaplanır. Buna göre 

r=(1+0,15/12)¹²-1  işleminden r=(1,0125)¹²-1

r=1,1607-1

r=0,1607 yani %16,07 olur.

70 kuralı olarak bilinen kurala göre ikiye katlanma için gerekli zamanı bulmak için 70'i faiz oranına bölmek yeterli olacaktır. Buna göre faiz oranı nominal %7 olduğuna göre ikiye katlanma için gerekli zaman 70/7=10 yıldır.

Burada P₀ ı bulmak istiyoruz

50.000=P₀(1+0,20/n)⁵

50.000=P₀(1,20)5

50.000=P₀ 2,4883

P₀=50.000/2,4883

P₀=20.094

Bankada paranızı bir yıl yerine t yıl tutulması durumunda bileşik faiz formülü aşağıdaki şekildedir:

P_t=P₀(1+r/n)^nt

^{Burada r faiz oranını}

^{n faiz ödemelerinin yılda kaç kez yapıldığını}

^{nt ise faiz ödemelerinin t yılda toplam kaç kez yapılacağını gösterir.}

^{Sorumuz için P₀=5000      r=0,08        n=2              t=3}

^{P_t= 5000(1+0,08/2) ^2*3}

^{P_t=5000 (1,04) ^6}

^{P_t= 5000 * 1,2653}

^P_t=6326

Bankada paranızı bir yıl yerine t yıl tutulması durumunda bileşik faiz formülü aşağıdaki şekildedir:

A ülkesinin %5 büyüme hızıyla Gayrisafi Yurtiçi Hasılası'nı iki katına çıkarabilmesi için kaç yıl geçmesi gerektiği sorunu çözebilmek içi 70 kuralı uygulanır. Bu kurala göre;

P_t=P₀(1+r)^t

20.000=10.000 (1+r)⁶

^{20.000/10.000=(1+r)^6}

^{2=(1+r)^6}

^{2^1/6=1+r}

^1,1224=1+r

^{r=0,1224   Faiz oranı yaklaşık %12 olmalıdır.}

1980 yılında t=0 olduğuna göre 2000 yılı için t=20 olacaktır. Bu nedenle 2000 yılındaki nüfusu bulabilmek için büyüme eşitliğinde t yerine 20 yazmak gerekir.

P=753e^0,03(20)

P=753e^0,6

P=753*1,8221

P=1372,04

Talep fonksiyonu üstel bir fonksiyon olarak verildiğinde, talebin fiyat esnekliğini hesaplamakta izlenecek yöntemlerden birisi talep fonksiyonunun her iki tarafının doğal logaritmasını almak ve  daha sonra elde edilen logaritmik fonksiyonunun fiyata göre türevini almaktır. Buna göre talebin fiyat esnekliği aşağıdaki şekilde hesaplanabilir: