MATEMATİKSEL İKTİSAT

İçsel değişken; Değeri model tarafından belirlenen değişkendir.

y=ƒ(x) fonksiyonunun

kapalı aralığında ortalama değişim oranı

eşitliği ile hesaplanmaktadır. Bu nedenle Doğru Cevap A seçeneği olur.

Doğrusal fonksiyonlarla iktisatta çok sık karşılaşırız. y =ƒ(x)=ax+b biçimindeki bir fonksiyon doğrusal fonksiyon olarak tanımlanır.

Keynesyen makroekonomik teoride, mal ve hizmetlere yapılan toplam tüketim harcamaları (C ), harcanabilir gelirin (Yd) bir fonksiyonudur.

I. A x B kümesinin her alt kümesine A kümesinden B kümesine bir bağıntı denir. (Bu tanım doğrudur.) 
II. Bir kümenin her elamanı diğer kümenin birden fazla elemanı ile eşleşiyorsa buna fonksiyon adı verilmektedir. (Bu tanım yanlıştır. Bir kümenin her elamanı diğer kümenin bir ve yalnız bir elemanı ile eşleşiyorsa buna fonksiyon adı verilmektedir.)
III. a, A kümesinin bir elemanı ve b, B kümesinin bir elemanı olmak üzere bunlardan oluşturulan (a,b) çiftine bir sıralı ikili denir. (Bu tanım doğrudur.)

IV. Küme birtakım nesnelerden oluşan bir topluluktur. (Bu tanım doğrudur).  Buna göre I, III ve IV indisleri doğru olup Doğru Cevap E seçeneğidir.

A)Değer kümesi, kuralın uygulandığı tüm girdi sayılarının kümesidir. (Bu seçenek yanlıştır. Değer kümesi, tüm çıktı sayılarının kümesidir.) B) Tanım kümesi, tüm çıktı sayılarının kümesidir. (Bu seçenek yanlıştır. Tanım kümesi, kuralın uygulandığı tüm girdi sayılarının kümesidir.) C) Küme birtakım nesnelerden oluşan bir topluluktur. (Bu seçenek doğrudur.) D) Dışsal değişken, değeri model tarafından belirlenen değişkendir. Bu seçenek yanlıştır. Dışsal değişken, değere modelin dışında belirlenen değişkendir.) E) İçsel değişken, değere modelin dışında belirlenen değişkendir.(Bu seçenek yanlıştır. İçsel değişken, değeri model tarafından belirlenen değişkendir.)

Bir fonksiyonun eğimi artış ya da azalışını anlamak için önemlidir. Eğiminin pozitif yani sıfırdan büyük olduğu durumda fonksiyon artış göstermektedir. Bu bir değerin kendinden önceki değerden daha fazla olduğu anlamına gelir. Eğimi pozitif olan bir doğru sağa yukarı yöne meyilli olur ve eğiminin değeri arttıkça doğru da dikleşir. Eğiminin negatif yani sıfırdan küçük olduğu durumda fonksiyon azalış göstermektedir. Bu yüzden bir değeri kendinden önceki değerinden daha az olduğu anlamına gelir. Eğimi negatif olan bir doğru sağa aşağı yöne meyilli olur. Eğimin sıfır olması durumunda ise tüm değerler sabittir ve x eksenine paralel olur. Bu bilgilere göre seçenekler incelendiğinde B seçeneğindeki I. eğimin pozitif yani 5, II. eğimin negatif yani (-3) ve III. eğimin 0 olduğu söylenebilir. Bu nedenle Doğru Cevap B seçeneği olur.

İki noktası verilen bir doğrunun eğimini bulmak için  

formülü kullanılır. Burada y₂ = 5, y₁ = 3 ve x₂ = 4, x₁ = 0 olarak verilmiştir.

olarak eğimi bulunur. Buna göre Doğru Cevap D seçeneği olur.

Bir noktası ve eğimi bilinen doğrunun fonksiyonu

eşitliği yardmıyla bulunur. Soruda doğrunun eğimi m=2/3 ve  y₁=8, x₁=3 olarak verilmiştir. İlgili değerler verilen eşitlikte yerine konulduğunda doğru denklemi

olarak elde edilir. Dolayısıyla Doğru Cevap C seçeneğidir.

Fonksiyonun ax²+bx+c şeklinde yazacak olursak a = 2, b = 3, c = -5’e eşittir olacaktır. a = 2 ifadesi pozitif yani sıfırdan büyüktür; bu fonksiyonun yukarı doğru açıldığı anlamına gelir. x’e 0 değerini verirsek y eksenini kestiği noktayı buluruz bu da c’e eşittir. c = -5 olduğuna göre y ekseninin kestiği nokta {0, -5}’dir. b²-4ac ifadesini yerine yazarsak 3²-[4*2*(-5)]=49 sonucunu buluruz. Sonuç pozitif olduğu için bu fonksiyonun iki çözümü vardır.  formüllerinden fonksiyonun çözüm kümesinin {x₁, x₂} =   {-5,1/2}olduğunu buluruz.

-2x²+3x+5 fonksiyonu karesel bir terim olan x²’yi içinde barındırdığı için karesel bir fonksiyondur ve karesel fonksiyonlara genel olarak parabol de denilir. Karesel terimin baş katsayısı -2’ye eşittir ve bu değer negatif bir ifade olduğu için bu fonksiyon aşağı doğru açılır. b²-4ac ifadesini yerine yazarsak bu fonksiyon için 3²-[4*(-2)*5]=49 sonucunu buluruz. Bulduğumuz sonuç pozitif olduğundan bu fonksiyonun iki çözümü vardır. Yani çözümü yoktur indisi yanlıştır. Dolayısıyla Doğru Cevap C seçeneğidir.

ax²+bx+c şeklinde bir parabolün tepe noktası  yardımıyla bulunur. Hasıla fonksiyonu ise talep fonksiyonu ile miktarın çarpımı ile elde edileceğinden yani TR=P.Q olacağından hasıla fonksiyonu TR=5Q²+30Q  olarak bulunur. Buna göre hasıla fonksiyonu bir parabol belirtmektedir. Elde edilen hasıla fonksiyonu için a = 5, b = 30 ve c = 0 olduğu görülmektedir.

olarak bulunur. -3 değeri hasıla fonksiyonunda yerine yazıldığında ise

Buna göre hasıla fonksiyonunun tepe noktası (-3, -45) olarak bulunur. Doğru Cevap B seçeneğidir.

Denge miktarını bulmak için arz ve talebin birbirine eşit olduğunu noktayı bulmak gerekir. Bunun için arz fonksiyonu ile talep fonksiyonu birbirine eşitlenir. Verilen iki denklemin ortak çözümünden;

10Q²-15=2Q²+4Q-3

8Q²-4Q-12=0

denklemi elde edilir. Denklemi 4 ile sadeleştirirsek 2Q²-Q-3=0 sonucuna ulaşılır. Denklemde a=2, b=-1, c=-3 olduğundan formülleri kullanılarak denklemin köklerinin {-1, 3/2} olduğu anlaşılır. Denklemin köklerini çarpanlara ayırarak da bulabiliriz. Köklere bakıldığında miktar negatif bir değere sahip olamayacağı için bu çözüm olarak kabul edilemez ve 3/2 yani 1.5 değerini kök olarak kabul ederiz. Buna göre buğday üreten bu firmanın denge noktasındaki buğday miktarı 1.5 kilogram olup Doğru Cevap B seçeneğidir.

Kâr fonksiyonu, toplam hâsıla fonksiyonundan toplam maliyet fonksiyonunun çıkarılmasıyla elde edilir. Toplam hasıla fonksiyonu ise talep fonksiyonu ile miktarın çarpılması sonucu bulunur. Buna göre Toplam hasıla fonksiyonu TR=(4Q-22)Q = 4Q²-22Q'dir. Kâr fonksiyonu

π=TR-TC = 4Q²-22Q – (12-8Q) olarak yazıldığında π=4Q² - 14Q – 12 olarak elde edilir. Bu nedenle Doğru Cevap A seçeneği olur.

Tanım kümesi; kuralın uygulandığı tüm girdi sayılarının kümesidir. Değer kümesi; tüm çıktı sayılarının kümesidir. İçsel değişken; değeri model tarafından belirlenen değişken olup, Dışsal değişken ise değeri modelin dışında belirlenen değişkendir. Bu ifadelere göre verilen indislerin tümü doğru olup Doğru Cevap E seçeneğidir.

Sorumuzda P = 40 durumunda talebin fiyat esnekliğini;

nokta esnekliği eşitliği yardımıyla bulabiliriz. O halde P = 40 iken talep fonksiyonundan miktar yani Q = 20 olarak bulunur. Bu değerleri eşitlikte yerine koyduğumuzda

talebin fiyat esnekliği olarak elde edilir. Dolayısıyla Doğru Cevap A seçeneği olur.

f(x) bir doğrusal fonksiyon olduğundan f(x) fonksiyonu

biçiminde yazılabilir. Buradan f(2) = 7 ve f(-1) = -2 olduğundan

eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerin ortak çözümü yapıldığında a = 3 ve b = 1 olarak bulunur. Bulunan bu değerlere göre f(x) fonksiyonu;

olarak bulunur. Buradan f(4), yani f fonksiyonunda x yerine 4 yazdığımızda f(4) = 13 olarak hesaplanır. Dolayısıyla Doğru Cevap B seçeneğidir.

f(x) bir karesel fonksiyon olduğundan;

biçiminde yazılabilir. f(1) = 9, f(-1) = 3 ve f(0) = 2 olarak verildiğinden yukarıdaki eşitlik gereği

eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerde c değeri yerine konulup ortak çözüm yapılırsa a = 4, b = 3 ve c=0 olarak hesaplanır. Yani f fonksiyonu;

olarak bulunur. Bu fonksiyonda x gördüğümüz yere -2 yazdığımızda f(-2) = 12 değeri elde edilir. Bu nedenle Doğru Cevap A seçeneğidir.

Arz ve talebin birbirine eşit oldukları yerde piyasa dengesi sağlanmış olur. Bu da arz ve talep fonksiyonlarının kesiştikleri yerde gerçekleşir. Bu yeri bulmak için arz ve talep fonksiyonlarının ortak çözümünü yapılmalıdır. Verilen fonksiyonları ortak çözüm için biraz düzenlediğimizde;

eşitliklerinden sadece Q'nun değerini bulmamız yeterlidir. Bunun için aşağıdaki eşitliği -2 ile çarpıp taraf tarafa toplarsak 

olarak elde edilir. Dolayısıyla piyasa dengesinde miktar Q = 40 olup Doğru Cevap C seçeneğidir.