MATEMATİKSEL İKTİSAT

A ve B gibi iki küme verilsin. a ∈ Α ve b ∈ B olmak üzere, bunlardan oluşturulan (a,b) çiftine bir sıralı ikili denir.

(a,b) sıralı ikilisinde a’ya sıralı ikilinin birinci terimi (koordinatı), b’ye sıralı ikilinin ikinci terimi (koordinatı) adı verilir. (a,b) ve (c,d) gibi iki sıralı ikilinin eşit olabilmesi için gerek ve yeter koşul, sıralı ikililerin birinci ve ikinci koordinatlarının karşılıklı olarak eşit olmasıdır. Yani

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c ve b = d olmalıdır.

Doğru cevap A'dır.

Bir fonksiyon için girdi sayılarını temsil eden bir değişken bağımsız değişken olarak adlandırılır. Çıktı sayılarını temsil eden bir değişken ise bağımlı değişken olarak adlandırılır. Çünkü alacağı değer, bağımsız değişkenin aldığı değere bağlıdır. y =ƒ(x) şekildeki bir fonksiyonda, y bağımlı değişken ya da fonksiyonun değeridir. İktisatta y değişkenine içsel değişken de denir. x ise bağımsız değişken ya da fonksiyonun argümanıdır. x değişkenine ise genellikle dışsal değişken denir.

Benzeri ifade ile, içsel değişken: Değeri model tarafından belirlenen değişkendir. Dışsal değişken: Değere modelin dışında belirlenen değişkendir. Bir modelde içsel olan bir değişken başka bir modelde dışsal olabilir. Doğru cevap B’dir.

y =ƒ(x) formundaki bir fonksiyonun x₂ > x1 koşulunu sağlayan iki argümanı x₁ ve x₂ olsun. Eğer

ƒ(x₂) ≥ ƒ(x₁) ise fonksiyon artandır,

ƒ(x₂) > ƒ(x₁) ise fonksiyon kesin artandır,

ƒ(x₂) ≤ ƒ(x₁) ise fonksiyon azalandır,

ƒ(x₂) < ƒ(x₁) ise fonksiyon kesin azalandır.

Doğru cevap E'dir.

Eğer bir fonksiyon artıyor ya da azalıyorsa buna monoton fonksiyon denir.

Kesin artıyor ya da kesin azalıyorsa kesin monoton fonksiyon denir.

Belli bir aralıkta kesin artıyor ve başka bir aralıkta da kesin azalıyorsa monoton olmayan fonksiyon denir.

Monoton olmayan fonksiyonlar birden fazla argümanı için aynı değere sahip olabilir. Örneğin monoton olmayan y=x² formundaki bir fonksiyonun değeri hem x=-3 hem de x=3 için 9’dur. Ancak kesin monoton fonksiyonlar herhangi bir argümana sadece bir değer atar. Bu nedenle kesin monoton fonksiyonlar birebir fonksiyonlardır.

 Doğru cevap B'dir.

y=ƒ(x)=ax+b formundaki doğrusal fonksiyonun sıfırdan farklı bir aralık için ortalama değişim oranı fonksiyonun eğimi olan a'ya eşittir.

Doğrusal bir fonksiyonda ortalama değişim oranı sabittir ve fonksiyonun eğimine eşittir. Doğrusal olmayan bir fonksiyonun ortalama değişim oranı ise sabit değildir. Değişim oranının hesaplandığı aralığa bağlı olarak değişir.

Doğru cevap B'dir.

Eğer fonksiyonun grafiği üzerinde alınan herhangi iki noktayı birleştiren kiriş daima grafiğin üzerinde kalıyorsa ƒ fonksiyonuna yukarı bükey veya konveks fonksiyon, eğer kiriş daima grafiğin altında kalıyorsa ƒ fonksiyonuna aşağı bükey veya konkav fonksiyon denir. Bir fonksiyon belli bir aralıkta yukarı bükey, başka bir aralıkta aşağı bükey de olabilir. Bir fonksiyonun bükeyliğinin değiştiği noktaya büküm noktası denir.

Aşağıdaki şekilde yukarı bükey veya konveks fonksiyonlar ve aşağı bükey veya konkav fonksiyonlar gösterilmiştir.

Doğru cevap D'dir.

P₁=210 ve P₂=200 verilmiş. Bu fiyat düzeylerinde talep edilen miktarlar:

1000 - 2Q₁ = 210

-2Q₁ = -790 Q₁ = 395

Benzer biçimde fiyatın 210 olması durumunda da Q2 = 400 bulunur.

∆P=200-210=-10 ∆Q=400-395=5

Doğru cevap E'dir.

En başta fiyatı miktarın bir fonksiyonu olarak ifade edip ilgili fonksiyonu P=aQ+b biçiminde yazmak gereklidir.

Verilen talep fonksiyonu Q+4P=60

4P=-Q+60

P  = − 1/4Q + 15 olur.

ε=1 iken fiyat P = b/2 olur.

Bu durumda P = 15/2 = 7,5 olarak sonuç bulunur.

Doğru cevap E'dir.

Parabolun tepe noktasından geçen simetri ekseni parabolü eşit iki parçaya böler. Bu nedenle parabolun yatay ekseni kestiği noktaların simetri eksenine uzaklıkları eşittir. Yani aşağıdaki örnekteki gibi parabolün tepe noktası 3 ile 52 noktalarının tam ortasıdır. Ayrıca bu tepe noktası da kârın maksimize edildiği çıktı düzeyini verir. Doğru cevap C'dir.

ƒ(x)=ax²+bx+c karesel fonksiyonunun grafiği parabol olarak adlandırılır. (iktisatta genellikle parabol yerine U şeklinde kavramı kullanılır).

Eğer a > 0 ise grafik yukarı doğru genişler (şekilde a grafiği). Bu durumda parabolün yukarı doğru genişlediği söylenir. Kısaca grafik U şeklindedir.

Eğer a < 0 ise parabol aşağı doğru açılmaktadır. (şekilde b grafiği). Kısaca grafik ters U şeklinde olur.

Doğru cevap A'dır.

Dengede arz edilen miktar talep edilen miktara eşittir. Yani Qd=Qs koşulu sağlanmalıdır. Buna göre

-20+3P=220-5P olur

8P=240

P=30

Dengede arz edilen miktar talep edilen miktara eşittir. Yani Qs=Qd koşulu sağlanmalıdır.

-45+8P=125-2P

10P=170

P=17  denge fiyatıdır. Bulunan denge fiyatı arz veya talep eşitliğinde yerine koyularak denge miktarı bulunabilir. Her ikisinin de aynı sonucu vermesi gerekir.

Arz eşitliğini kullanırsak: Q=-45+8*(17) = -45+136        Q=91

Talep eşitliğini kullanırsak:  Q=125-2*(17)=125-34        Q=91

Denge miktarı 91'dir.

Fiyatlar (P1,P2)=(5,10) 

Miktarlar (Q1,Q2)=(300,100) olarak verilmiştir.

Doğru denklemini belirlemek için nokta nokta formülünü kullanabiliriz.

doğrunun eğimi a=y2-y1/x2-x1 formülü ile bulunur

Talep eşitliğine uyarlarsak eğim a=Q2-Q1/P2-P1 formülü ile bulunabilir.

a=100-300/10-5 buradan a=-200/5  a=-40 bulunur. Talep eşitliğinin eğimi -40'tır.

Doğru denklemini belirlemek için de nokta eğim formülünü kullanabiliriz.

y-y1=a(x-x1)

Q-Q1=a(P-P1)

Q-300=-40(P-5)

Q-300=-40P+200

Q=-40P+500 bulunur.

Ters talep fonksiyonu P=a-bQd

Ters arz fonksiyonu P=c+dQs

Dengede talep edilen miktar arz edilen miktara eşittir. Qd=Qs=Q

a-bQ=c+dQ

a-c=(b+d)Q

Q=a-c/b+d olur.

Talebin fiyat esneklği fiyattaki değişimlere talebin ne kadar duyarlı olduğunu ölçer. Esneklik her zaman % ile ifade edilir. Talebin fiyat esnekliği Talep edilen miktardaki % değişim / fiyattaki % değişim formülü ile hesaplanır.

Doğrusal bir talep eğrisi boyunca esneklik sıfır ile sonsuz arasında değerler alır. Doğrunun tam orta noktasında esneklik değeri bire eşittir. Orta noktanın üstünde esneklik birden büyük, altında ise birden küçüktür. Doğrunun yatay ekseni kestiği noktada ise esneklik değeri sıfırdır.

P=aQ+b şeklindeki doğrusal bir talep fonksiyonunda esnekliğin bir olması durumunda fiyat P=b/2 dir.

Talep fonksiyonumuz Q=220-5P şeklindeydi.

5P=220-Q

P=44-1/5 Q Olur.

Burada a=-1/5   b=44 dür.

Esnekliğin 1 olması durumunda fiyat P=b/2 olacağından P=44/2=22 olur.

Talep fonksiyonu Q=30-6P

Ters talep fonksiyonu 6P=30-Q

P=5-1/6Q

Sabit maliyet 20 ve üretilen birim başına değişken maliyet 3 ise Toplam maliyet fonksiyonu

TC=20+3Q olur.

Kar fonksiyonu toplam gelirden toplam maliyetlerin çıkartılması ile bulunur.

Toplam Gelir TR=P*Q

TR=(5-1/6Q)*Q     TR=5Q-1/6Q² dir.

Kar=TR-TC

Kar=(5Q-1/6Q²)-(20+3Q)

Kar=-1/6Q²+2Q-20

Bir malın arz eşitliği P=2Q²+10Q+10 ve talep eşitliği P=-Q²-5Q+52 olarak verilmiştir. Denge miktarı olan 2 arz veya talep eşitliğinde yerine koyularak denge fiyatına ulaşılır.

Arz eşitliğini kullanırsak P=2(4)+10(2)+10=38 bulunur.

Talep eşitliğini kullanırsak P=-4-5(2)+52=38 bulunur.

Sabit maliyet 1000 değişken maliyet birim başına 8 ise toplam maliyet fonksiyonu

TC=1000+8Q olur.

Ortalama Maliyet (AC) fonksiyonu AC=TC/Q dur.

Buradan AC=1000/Q+8 olur.