ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR
f(x,y)=2xy-3x+5y-1 fonksiyonu için f(1,2)=?
f(1,2)=2*1*2-3*1+5*2-1=4-3+10-1=10
f(z,y)=2xy/(4-x2) fonksiyonunun tanım kümesi nedir?
Bir kesirin paydasının sıfır olması durumunda kesir tanımsız olur. Bu nedenle x=2 ve x=-2 değerleri için f(x,y) tanımsızdır. Öyleyse tanım kümesi x=2 ve x=-2 hariç tüm (x,y) ikilileridir.
z=3x2+2xy-6y2+5 fonksiyonu için dz/dx ve dz/dy kısmi türevlerini hesaplayınız.
dz/dx=6x+2y
dz/dy=2x-12y
z=3x2+2xy-6y2+5 fonksiyonu için fxx, fyy, fyx ve fxy ikinci dereceden kısmi türevlerini bulunuz.
fx=6x+2y fxx=6 fxy=2
fy=2x-12y fyy=-12 fyx=2
Bir mal için talep fonksiyonu q=400-3p2 şeklinde ise p=10 için talebin fiyat esnekliğini hesaplayınız.
Talebin fiyat esnekliği=(dq/dp)*(p/q) olduğuna göre
p=10 için dq/dp=-6p=-60 ve q=400-3p2=400-300=100 ve p/q=10/100=0.1 olduğundan esneklik=-60*0.1=-6 olacaktır
X malı için talep fonksiyonu q=300-20Px+30Py+0.01Y şeklinde verilmiş olsun. Px=10 Py=5 ve Y=10000 iken X malı için talebin fiyat esnekliği, gelir esnekliği ve çapraz fiyat esnekliğini hesaplayınız.
Önce fiyat esnekliğini hesaplayalım. Px=10, Py=5 ve Y=10000 için:
q=300-20*10+30*5+0.01*10000=300-200+150+100=350
dq/dPx=-20 olduğundan esneklik=(dq/dPx)*(Px/q)=-20*10/350=-4/7 olur.
Şimdi de çapraz fiyat esnekliğini hesaplayalım:
dq/dPy=30 olduğundan çapraz fiyat esnekliği=(dq/dPy)*(Py/q)=30*5/350=3/7 olur.
Son olarak gelir esnekliğini hesaplayalım:
dq/dY=0.01 olduğundan gelir esnekliği=(dq/dY)*(Y/q)=0.01*10000/350=100/350=2/7 olur.
Bir tüketicinin fayda fonksiyonu U=x0.6y0.4 şeklinde verilmişse X ve Y malları için Ux ve Uy marjinal fayda fonksiyonlarını bulun.
Ux=dU/dx=0.6(y/x)0.4
Uy=dU/dy=0.4(x/y)0.6
Bir önceki sorudaki tüketici için fayda fonksiyonunun eğimini bulun (dy/dx)
dy/dx=-Ux/Uy=(0.6(y/x)0.4)/(0.4(x/y)0.6)=-3y/2x
Bir üretim fonksiyonunun homojen olmasının koşulu nedir?
Q= ƒ (K, L) biçimindeki bir üretim fonksiyonunda, herhangi bir n sayısı için ƒ(λK, λL) = λnƒ(K, L) ise fonksiyonun homojen olduğu söylenir.
Ölçeğe göre getiri ve homojenlik arasındaki ilişkiyi açıklayınız.
Q= ƒ (K, L) biçimindeki bir üretim fonksiyonunda, herhangi bir n sayısı için ƒ(λK, λL) = λnƒ(K, L) ise fonksiyonun homojen olduğu söylenir. n= 1 ise fonksiyon ölçeğe göre sabit getiri sergiler. Yani girdilerdeki artış oranı ile çıktıdaki artış oranı aynıdır. n< 1 ise fonksiyon ölçeğe göre azalan getiri sergiler. Yani girdiler belli bir oranda arttırıldığında, çıktıdaki artış bundan daha az olur. n> 1 olduğunda fonksiyon ölçeğe göre artan getiri sergiler. Yani girdiler belli bir oranda arttırıldığında, çıktıdaki artış, bundan daha fazla olur.
F(K,L)=K0.7L0.3 üretim fonksiyonu homojen midir?
Homojen olup olmadığını anlamak için F(aK, aL) fonkisyonunu F(K,L) fonksiyonu cinsinden yazalım:
F(aK,aL)=(aK)0.7(aL)0.3=a0.7a0.3K0.7L0.3=aK0.7L0.3=aF(K,L) olduğundan bu üretim fonksiyonu homojendir.
F(K,L)=KL fonksiyonu homojen midir? Homojense kaçıncı dereceden homojendir?
F(aK,aL)=(aK)(aL)=a2KL==a2F(K,L) olduğundan 2. dereceden homojendir.
F(K,L)=K0.7L0.3 üretim fonksiyonu için emeğin ve sermayenin marjinal ürünlerini hesaplayınız. Emek miktarı arttıkça emeğin marjinal ürünü artmakta mıdır?
Emeğin marjinal ürünü: MPK=dF/dK=0.7(K/L)0.3 olur. Emek miktarı arttıkça emeğin marjinal ürününün azalması için ikinci dereceden türevin negatif olması gerekir. Yani FLL<0 olmalıdır.
FLL=dMPL/dL=-0,21K0.7L-1.3<0 olduğundan, evet emek miktarı arttıkça emeğin marjinal ürünü azalmaktadır.
Sermayenin marjinal ürünü: MPL=dF/dL=0.3(L/K)0.7
F(K,L)=K0.7L0.3 üretim fonksiyonu için marjinal teknik ikame oranını hesaplayınız. Emek miktarı arttıkça marjinal teknik ikame oranı artar mı azalır mı?
Marjinal teknik ikame oranı: MRTS=dK/dL=(dF/dL)/(dF/dK) olduğundan bu fonksiyon için marjinal teknik ikame oranı:
MRTS=(dF/dL)/(dF/dK)=(0.3(K/L)0.7)/(0.7(K/L)0.3)=(3/7)(K/L)=3K/7L olur. Bu durumda L arttıkça payda büyüyeceğinden kesirin değeri küçülmekte, yani emek miktarı arttıkça marjinal teknik ikame oranı düşmektedir.
Euler Teoremi nedir açıklayınız.
P bir ürünün fiyatını, r birim sermayenin kira bedelini, w birim işçilik ücretini belirtmek üzere üretim fonksiyonu F=KL olan bir mal için kar fonksiyonunu emek ve sermayenin çok değişkenli bir fonksiyonu olarak yazınız.
Kar=Satış Hasılatı-Toplam Maliyet
Kar=PQ-rK-wL=PKL-rK-wL
Cobb-Douglas tipi bir üretim fonksiyonu için ölçeğe göre getiri koşullarını yazınız.
Q=AKaLb şeklinde tanımlı bir Cobb-Douglas üretim fonksiyonu için:
Eğer a+b<1 ise ölçeğe göre azalan getiri;
eğer a+b=1 ise ölçeğe göre sabit getiri,
eğer a+b>1 ise ölçeğe göre artan getiri geçerlidir.
Ölçeğe göre azalan getirili bir üretim fonksiyonu örneği yazınız
Q=K0.4L0.3 ölçeğe göre azalan getiriye sahip bir üretim fonksiyonudur zira 0.3+0.4=0.7<1. Yani, örneğin, emek ve sermaye iki katına çıkarıldığında ürün miktarı 2 katına çıkmayacak, 2 kattan daha düşük olacaktır.
Ölçeğe göre artan getirili bir üretim fonksiyonu yazınız.
Q=2KL ölçeğe göre artan getirilidir. Zira, emek ve sermaye miktarı, örneğin 3 katına çıkarıldığında ürün miktarı 9 katına çıkmaktadır.
Fayda fonksiyonu nedir?
Fayda fonksiyonu, tüketilen mal miktarlarının bir fonksiyonu olarak tüketiciye sağlanan tatmindir.