MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 9

Gelirin esnekliğini hesaplamak için  formülünü kullandığımızda öncelikle Q’nun Y’ye göre kısmi türevini bulmamız gerektiğini görüyoruz. Bu kısmi türev ise 0.05’e eşittir. Q ise 600 – 2*20-5*30+0.05*800 = 450 olduğunu buluruz. Bulunan tüm değerleri yerine yazdığımızda Ey= (800/450)x(0.05) = 4/45 talebin fiyat esnekliğini 4/45 olarak buluruz.

Boş zamanın marjinal faydasını bulmak için fayda fonksiyonunda boş zamanın kısmi türevini yani U’nun x₁’e göre kısmi türevini hesaplamamız gerekir. ∂U/∂x₁=2500 + 8x₂ - 10x₁ şeklinde bir fonksiyon elde ederiz. Verilen değerleri (200, 300) yerine yazdığımız da ise 2500 + 8x300 – 10x200 = 2900 sonucunu elde ederiz.

f₁₂ değerini bulmak için ilk önce f fonksiyonunun x₁’e göre kısmi türevini bulmak gerekir. ∂f/∂x₁=24x₁²+5x₂²-12x₁x₂ eşitliği ortaya çıkar, bu eşitliğin x₂’e göre türevini alırsak 10x₂ – 12x₁ sonucunu buluruz.

Öncelikle f_a (a,b) fonksiyonunu buluruz. f_a (a,b)=8a+2b²-5b + 1 sonucu bulunur. Verilen değerler (2,3) yerine yazıldığında f_a(2,3) = 8x2 + 2x9 – 5x3 + 1 eşitliği ortaya çıkar. Sonuç 20 olarak çıkar.

Emeğin marjinal ürününü sermaye girdileri sabitken, emek girdisindeki bir birim artışın çıktıda ortaya çıkaracağı artıştır ve üretim fonksiyonunun emeğe göre kısmi türevi alınarak bulunur. MP_L=∂Q/∂L=0.8K^0.3L ^{(0.8 – 1)} = 0.8K^0.3L ^-0.2 eşitliğini elde ederiz.

Sermayenin marjinal ürünü (MPK) emek girdisi sabitken, sermaye girdisindeki bir birim artışın çıktıda ortaya çıkaracağı artış olarak tanımlanır ve üretim fonksiyonunun sermayeye göre kısmi türevi alınarak bulunur. MPK=∂Q/∂K=0.25K^{(0.25 – 1)}L^0.5=0.25 K-^0.75L^0.5 eşitliğini elde ederiz.

Fayda fonksiyonunun x₁’e göre kısmi türevini alırsak;

sonucu bulunur.

Öncelikle P=10, P_i = 20 Y = 500 iken talep edilen miktarı hesaplayalım.
Q=1000-5*10-4*20+0,02*500=880
Fiyat esnekliğini hesaplayabilmek için Q’nun P’ye göre kısmi türevini hesaplamamız gerekmektedir.

ssonucu bulunur.

Öncelikle P=10,P_i=20,Y=500 iken talep edilen miktarı hesaplayalım.
Q=1000 - 5*10 -4 * 20 + 0,02 * 500=880
Çapraz fiyat esnekliğini hesaplayabilmek için fonksiyonun ikame malın fiyatına göre kısmi türevini hesaplamamız gerekmektedir.

Buradan;  

sonucu bulunur.

Öncelikle P=10,P_i=20,Y=500 iken talep edilen miktarı hesaplayalım.
Q = 1000-5*10-4*20+0,02*500=880
Talebin gelir esnekliğini hesaplayabilmek için fonksiyonun gelire göre kısmi türevini hesaplamamız gerekmektedir.
∂Q/∂Y=0,02
Buradan;
E_P= Y/Q*∂Q/∂P = 500/880*(0,02)≈0,11

sonucu bulunur.

f(x,y)=10x²+5xy+4y²-25 fonksiyonunun x'e göre kısmi türevi aşağıdaki şekilde elde edilir. Buna göre,

sonucu bulunur.

f_xz kısmi türevi için ilk olarak x'e göre kısmi türevi alınır. Daha sonra x'e göre kısmi türevi alınan fonksiyonda z'ye göre kısmi türevi alınır. Buna göre,

 

sonucu bulunur.

Marjinal ikame oranı (MRS) aşağıdaki şekilde formüle edilir ve

sonucu bulunur.

Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda ölçeğe göre getiri aşağıdaki gibi belirlenir:

α+β<1 ise ölçeğe göre azalan getiri
α+β=1 ise ölçeğe göre sabit getiri
α+β>1 ise ölçeğe göre artan getiri

Buna göre α+β=0,4+0,7>1 olduğundan verilen fonksiyonda ölçeğe göre getiri artandır.

f(x,y)=1/3x³+2xy-y²+3 fonksiyonunun x'e göre kısmi türevi alınır ve f_x = (7,8) değeri yerine konursa, 

şeklinde hesaplanır.

Fayda fonksiyonunun x’e göre kısmi türevi alınır ve x malından 27 ve y malından 16 birim değerleri yerine konur.  Buna göre aşağıdaki şekilde çözümlenir.

şeklinde bulunur.

Fonksiyonda x değişkenine göre kısmi türev alınması x değişkeninin fonksiyona olan etkisini ortaya koymaktadır. Bunu yaparken y değişkeni sabit olarak kabul edilir. Daha sonra türev alma kurallarına göre x’in üs değeri çarpım olarak x’in önüne getirilir ve üs 1 azaltılır (4x³y³-8y).

Fonksiyonda f₃₂ kısmi türevini bulabilmek için önce fonksiyonun x₂’ye göre kısmi türevinin alınıp (x₃²+2x₂x₃) daha sonra ise x₃’e göre kısmi türevinin alınması (2x₃+2x₂)gerekmektedir.

Öncelikle talep edilen miktar hesaplanmalıdır. Q=800-5(20)+2(25)+ 0,05(5000)=1000 olarak bulunur. Ardından talebin fiyat esnekliğini bulabilmek için Q’nun P’ye göre kısmi türevine ihtiyaç duyulmaktadır (dQ/dP=-5). Buradan Ep=-(P/Q)*(dQ/dP)=(-20/700)*(-5)=0,1 olarak bulunur.

x malının marjinal faydasını bulabilmek için fayda fonksiyonunun x’e göre kısmi türevinin alınması gerekmektedir. Bu durumda MUx=(1/2)*2*x^-1/2y=x^-1/2y olur.