MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 8

Euler teoremi uygulanırsa K(dQ/dK)+L(dQ/DL)=K(3K²)+L(6L²)
=3K³+6L³=3(K³+2L³)=3Q ise üretim fonksiyonunun homojenlik derecesi 3’tür.

Π=TR-TC olarak hesaplanmalıdır. TR=PQ ve TC=rK+wL’dir. Dolayısıyla kar fonksiyonu 10*20-3K-5L olarak hesaplanır.

Sermayenin marjinal ürününü elde edebilmek için verilen üretim fonksiyonunda K’ya göre kısmi türev alınmalıdır. Bu durumda sermayenin marjinal ürünü 200L²-6KL² olarak hesaplanır.

Öncelikle talep edilen miktar hesaplanmalıdır. Q=200-2(25)-50+0,4(1000)=500 olarak bulunur. Ardından talebin gelir esnekliğini bulabilmek için fonksiyonun gelire göre kısmi türevi alınır (0,4). Buradan Ey=(Y/Q)*(dQ/dY)= (1000/500)*0,4=0,8 olarak bulunur.

Farksızlık eğrisinin eğimi MRS, x1’in marjinal faydasının x₂’nin marjinal faydasına oranını ifade etmektedir. X₁’in marjinal faydası=4*(1/2)* x₁^-1/2x₂^1/2, x₂’nin marjinal faydası=4*(1/2)* x₁^1/2x₂^-1/2. MRS = - (MU_x1/MU_x2) ise – [4*(1/2)* x₁^-1/2x₂^1/2]/[ 4*(1/2)* x₁^1/2x₂^-1/2] olarak yazılır ve –x₂/x₁ sonucuna ulaşılır.

Üretimde kullanılan faktörlerden K ve L’nin üstünde yer alan sayıların toplamı 1’i geçtiği için burada ölçeğe göre artan getiri söz konusudur.

Optimizasyon eldeki mevcut kaynakları en iyi şekilde kullanmak ve amaçlanan sonuca ulaşmak biçiminde tanımlanabilir.

Kritik nokta, bir fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan değer olarak tanımlanır.

Tek değişkenli bir fonksiyonun genel gösterimi; x bağımsız değişkeni (seçim değişkeni ya da karar değişkeni) ve y bağımlı değişkeni (sonuç değişkeni) göstermek üzere y = f (x) şeklinde gösterilir (y = f (x) fonksiyonunun sürekli ve iki kere türevlenebilir olduğu varsayılacaktır.). Bu şekilde ifade edilen doğrusal olmayan fonksiyonun maksimumu ya da minimumu olup olmadığına karar verebilmek için gerekli koşul birinci türevini sıfır yapan kritik nokta ya da noktaların belirlenmesidir. Bu gerekli koşul sağlanınca ikinci türev alınarak maksimum ve minimum için yeterli koşul sağlanmış olur. Alternatif olarak birinci türevinin artan ve azalan olduğu aralıkların incelenmesi yoluyla da belirlenebilir. Bu ünitede maksimum ve minimum dışındaki kritik noktalar optimizasyonu ilgilendirmediği için incelenmeyecektir.

Firmanın üretim miktarını sıfır yapan üretim değer ya da değerlerinin maksimum olup olmadığına karar verebilmek için ikinci türevi alınır ve birinci türevi sıfır yapan üretim değerleri ikinci türevde yerine konur.

Eğer firmanın kâr fonksiyonunun ikinci türev değeri negatif bir sonuç veriyor ise birinci türev kuralı ile elde edilen kritik nokta ya da noktaların firmanın kârını maksimum yaptığı söylenir.

n. mertebeden simetrik bir matrisin bütün asal minörleri sıfırdan büyükse matris pozitif belirlidir.

n. mertebeden simetrik bir matrisin asal minörleri (-, +, -, +, .........) şeklinde ise matris negatif belirlidir.

Hessian matrisi ikinci mertebeden kısmi türevlerden elde edilen matristir.

Sarrus kuralı, “3x3” boyutundaki matrislerin determinantını hesaplamak için kullanılan bir yöntemdir.

Üç değişkenli bir fonksiyon (x1, x2, x3) bağımsız değişkenleri ve z bağımlı değişkeni göstermek üzere z = f(x1, x2, x3) şeklindedir. Bu tip fonksiyonlarda yerel maksimum ya da yerel minimum değerlerin bulunması için aşağıdaki adımlar izlenir.

I. Birinci mertebeden kısmi türevler alınır ve eşanlı olarak sıfıra eşitlenir. Bu sıfıra eşitleme sonucu birinci mertebeden kısmi türevini sıfır yapan değerler bulunur. Bu değerler (a, b, c) ise ikinci mertebeden kısmi türevlerine bakılır.
II. z = f(x1, x2, x3) fonksiyonun ikinci mertebeden kısmi türevleri aşağıdaki gibi elde edilir. (a, b, c) değerlerinin yerel maksimum ya da minimum olup olmadığına karar verebilmek için Hessian matrisi oluşturulur ve asal minörlerinin işaretine bakılır.

Asal minörlere bakıldığında oluşan Hessian matrisi negatif belirli ise bu durumda (a, b, c) değerlerinin amaç fonksiyonunu maksimum kılan değerler olduğu söylenir.

I. Kritik nokta, bir fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan değer olarak tanımlanır. (Bu tanım doğrudur.) II. Optimizasyon eldeki mevcut kaynakları en iyi şekilde kullanmak ve amaçlanan sonuca ulaşmak biçiminde tanımlanabilir. (Bu tanım doğrudur.) III. Kâr, veri bir teknoloji düzeyinde üretim yapan bir firmanın toplam hasılası ile toplam maliyeti arasındaki pozitif fark olarak tanımlanır. (Bu tanım doğrudur.)

Bir fonksiyon için ikinci türevi negatif yapan değer fonksiyonunu maksimum yapan değerdir. Bir fonksiyon için ikinci türevi pozitif yapan değer fonksiyonunu minimum yapan değerdir. Kritik nokta, bir fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan değer olarak tanımlanır.

Kâr fonksiyonu toplam hasıladan toplam maliyetin farkı ile bulunur. π= 8Q – 5Q² – (3Q² + 4Q – 12) = 8Q – 5Q² -3Q² - 4Q + 12 bu ifadeyi düzenlediğimizde π= -8Q² + 4Q +12 ifadesini elde ederiz. Kâr fonksiyonunun türevini aldığımız zaman ise – 16Q +4 ifadesini buluruz. Bu ifadeyi sıfıra eşitlediğimiz zaman kârın maksimum olduğu üretim düzeyini buluruz. – 16Q +4=0 buradan Q = 1/4 olduğunu buluruz.

Kâr fonksiyonu toplam hasıladan toplam maliyetin farkı ile bulunur. π= 8Q – 5Q² – (3Q² + 4Q – 12) = 8Q – 5Q² -3Q² - 4Q + 12 bu ifadeyi düzenlediğimizde π= -8Q² + 4Q +12 ifadesini elde ederiz. Kâr fonksiyonunun türevini aldığımız zaman ise – 16Q +4 ifadesini buluruz. Bu ifadeyi sıfıra eşitlediğimiz zaman kârın maksimum olduğu üretim düzeyini buluruz. – 16Q +4=0 buradan Q = 1/4 olduğunu buluruz. Toplam hasılayı bulabilmek için bu Q değerini toplam hâsıla fonksiyonuna yazmamız gerekir. Toplam hâsıla fonksiyonundan TR(1)= 8Q – 5Q²= 8(1/4)-5*(1/4)²=1,6875 sonucunu buluruz.