MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 7

Kâr fonksiyonu toplam hasıladan toplam maliyetin farkı ile bulunur. π= 8Q – 5Q² – (3Q² + 4Q – 12) = 8Q – 5Q² -3Q² - 4Q + 12 bu ifadeyi düzenlediğimizde π= -8Q² + 4Q +12 ifadesini elde ederiz. Kâr fonksiyonunun türevini aldığımız zaman ise – 16Q +4 ifadesini buluruz. Bu ifadeyi sıfıra eşitlediğimiz zaman kârın maksimum olduğu üretim düzeyini buluruz. – 16Q +4=0 buradan Q = 1/4 olduğunu buluruz. Toplam maliyeti bulabilmek için bu Q değerini toplam maliyet fonksiyonuna yazmamız gerekir. Toplam maliyet fonksiyonundan TR(1)= 3Q² + 4Q – 12= 3(1/4)² + 4(1/4) – 12=0,1875+1-12=-10,8125 sonucunu buluruz.

İlk önce TC’nin Q₁ ve Q₂’e göre birinci mertebeden kısmi türevi bulunur. ∂TC/∂Q₁ = 8Q₁ - 2Q₂ – 4 ve  ∂TC/∂Q₂ =2Q₁ – 8 bulunur, bu iki denklemi sıfıra eşitlediğimizde 2Q₁ – 8 = 0 eşitliğinden Q₁=4 ve 8Q₁ - 2Q₂ – 4=0 eşitliğinden 8*4 - 2Q₂ – 4=0 ve buradan Q₂ = 14 sonucunu buluruz.

İlk önce TR’nin Q₁ ve Q₂’e göre birinci mertebeden kısmi türevi bulunur. ∂TR/∂Q₁ = 8Q₁ - 2Q₂ – 4 ve  ∂TR/∂Q₂ =2Q₁ - 10Q₂ bulunur, bu iki denklemi sıfıra eşitlediğimizde 8Q₁ – 2Q₂ - 4 = 0 ve 2Q₁ - 10Q₂ =0 eşitliğini elde ederiz. Her iki fonksiyonun iki tarafını 2’ye böldüğümüzde 4Q₁ –Q₂ - 2 = 0 ve Q₁ - 5Q₂ =0 fonksiyonlarını elde ederiz. Q₁ = 5Q₂ eşitliğini ilk denklemde yerine yazarsak 20Q₂ – Q₂ - 2 = 0 eşitliğini buluruz. Buradan Q₁ = 2/19 ve Q₂ =10/19 sonucunu elde ederiz.

∂π/∂Q₁ = 6 - 6Q₁ +6Q₂ eşitliğini elde ederiz. Hersian matrisinin ilk terimi kâr fonksiyonun ikinci dereceden türevi yazılır. ∂²π/∂Q₁² = - 6

Fayda fonksiyonunun maksimum olduğu noktayı bulmak için X ve Y’e göre kısmi türevlerini bulup sıfıra eşitlememiz gerekir. İlk önce X’e göre kısmi türevini bulalım. ∂U/∂X= -4 – 6X + 2Y eşitliğini elde ederiz. Bu eşitliği sıfıra eşitlersek -4 – 6X + 2Y = 0 şeklinde bir eşitlik elde ederiz. İşlem kolaylığı adına 2’e bölersek iki tarafı -2 – 3X +Y =0 buluruz. Fayda fonksiyonunun Y’e göre kısmi türevini yazacak olursak ∂U/∂Y=2X + 10Y -20 şeklinde yazabiliriz. Bu fonksiyonu sıfıra eşitleyip sadeleştirdiğimizde ise X + 5Y -10 = 0 eşitliğini elde ederiz. Bu iki eşitliği bir denklem sistemi gibi çözdüğümüzde Y=2 ve X=0 sonucunu elde ederiz.

Fayda fonksiyonunun maksimum olduğu noktayı bulmak için türevini almak gerekir. U΄(X) = 14X – 6 fonksiyonunu buluruz. Bu fonksiyonu sıfıra eşitleyip çözdüğümüzde bireyin faydasını maksimum yapan tüketim miktarını buluruz. Sonuç 14X=6’dan X=3/7 çıkar.

Firmanın kâr fonksiyonu;
π(Q)=TR(Q)-TC(Q)
π(Q)=8Q-Q²-(1/3 Q³-10Q²+80Q+500)

İlk olarak firmanın kârını maksimum yapan değerleri bulabilmek için kâr fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan noktaları belirleyelim. Buna göre;
(dπ(Q))/dQ=8-2Q-Q²+20Q-80=0
(dπ(Q))/dQ=-Q²+18Q-72=0

sonucu elde edilir. Yukarıdaki denklemin kökleri bulunarak birinci türevi sıfır yapan üretim değeri ya da değerleri elde edilir.
(Q-12)(Q-6)=0

Buna göre köklerden biri Q₁=6, diğeri Q₂=12’dir. Hangisinin firmanın kârını maksimum yaptığına karar verebilmek için ikinci türev koşullarına bakılır.
d² π(Q)/(dQ² )=-2Q+18
d² π(Q)/(dQ² ) (Q₁=6)=-2(6)+18=6>0
d² π(Q)/(dQ² ) (Q₁₂=12)=-2(12)+18=-6<0

Görüldüğü gibi Q₂=12 kâr fonksiyonunun türevinde değerlendirildiğinde negatif sonuç bulunmuştur. Kârı maksimum kılan değer ikinci türevi negatif yapan değerdir. Dolayısıyla firmanın kârını maksimum yapan üretim düzeyi Q=12’dir.

Kâr fonksiyonunun birinci mertebeden kısmi türevi alınır ve çözümlenirse
 

İki denklem birlikte çözüldüğünde (birinci denklem -1 ile ikinci denklem 2 ile çarpılarak taraf tarafa toplanır.)

Buradan  ve x=2,75 olarak bulunur. (x;y)=(2,75; 5,7) miktarlarının kârı maksimum yapan üretim düzeyleri olup olmadığına karar verebilmek için ikinci mertebeden kısmi türevler alınırsa

Bu sonuçlar kullanılarak Hessian matrisi oluşturulursa

Son olarak Hessian determinantını ve ikinci mertebeden kısmi türevi (2,75;5,7) noktasında değerlendirirsek

 

Sonuçları bulunur ve firmanın sırasıyla x ve y malından (2,75;5,7) üretmesi durumunda kârını maksimum yaptığı söylenir.

Ortalama maliyet fonksiyonunun birinci türevi sıfıra eşitlenir ve birinci türevini sıfır yapan nokta yada noktalar bulunur. 
dAC(Q)/dQ=Q²-3Q+2=0
Çarpanlarına ayrılırsa;
(Q-2)(Q-1)=0
Kökler Q₁=1 ve Q₂=2 olarak bulunur ve hangisinin maliyeti minimum yapan düzey olduğuna karar verebilmek için ikinci türeve bakılır.
 
Görüldüğü gibi Q₂=2 ortalama maliyet fonksiyonunun türevinde değerlendirildiğinde pozitif sonuç bulunmuştur. Maliyeti minimum kılan değer ikinci türevi pozitif yapan değerdir. Dolayısıyla firmanın maliyetini minimum yapan üretim düzeyi Q=2’dir

Bir firmanın kâr fonksiyonu
π(Q)=TR(Q)-TC(Q)
Kârın maksimum olması için kâr fonksiyonunun birinci türevinin sıfıra eşit olması gerekir.
dπ(Q)/dQ=dTR(Q)/dQ-dTC(Q)/dQ=0
dTR(Q)/dQ=dTC(Q)/dQ
MR(Q)=MC(Q)
Buna göre bir firmanın kâr maksimizasyon koşulu marjinal maliyetinin marjinal hasılasına eşit olmasıdır.

Fonksiyonun birinci türevi 0’s eşitlenir.
dQ(L)/dL=-18L+468=0
18L-168=0
18L=168
L=26
Fonksiyonun ikinci türevine bakılır.
(d²Q(L)/(dL² )=-18<0
Fonksiyonun ikinci türevi -18 yani negatif olarak bulunmuştur. Dolayısıyla L=26 üretimi maksimumu yapan istihdam düzeyidir.

2x2’lik bir matrisin determinantı aşağıdaki şekilde hesaplanır.

Buna göre yukarıda verilen matrisin determinantı |H|=[(-12)(-5)-(-7)² ]=60-49=11 olarak bulunur.

Asal minörler, |H₁|<0,|H₂|>0,|H₃ |<0
ise Hessian matrisi negatif belirlidir. Bu durumda (Q₁,Q₂,Q₃) değerlerinin amaç fonksiyonunu maksimum kılan değerler olduğu söylenir.

Asal minörlerin işaretlerine bakılır.
olduğundan Hessian matrisi negatif belirlidir. Bu durumda (Q₁,Q₂,Q₃) değerlerinin kâr fonksiyonunu maksimum kılan değerler olduğu söylenir. Yani bu düzeylerde kâr durumu söz konusudur.

Bir firmanın sattığı mal miktarı ile o malın fiyatı çarpıldığında o firmanın toplam kazancı elde edilir. Q kadar malı 45-9Q fiyatından satan bu firmanın toplam kazanç fonksiyonu;  TR(Q)=Q(45-9Q)=45Q-9Q² ’dir.

Bu firmanın kâr fonksiyonu aşağıdaki gibi oluşturulur.
π(Q)=TR(Q)-TC(Q)
π(Q)=45Q-9Q²-(Q²+5Q+9)
π(Q)=-10Q²+40Q-9
Kâr fonksiyonunun birinci türevini sıfır yapan değer(ler)bulunur.
dπ(Q)/dQ=-20Q+40=0
20Q=40
Q=2
Fonksiyonun ikinci türevine bakılır eğer negatif sonuç elde edilirse firmanın 2 birimlik üretim düzeyinde kârını maksimum yaptığına karar verilir.
d² π(Q)/(dQ² )=-20<0
Sonuç olarak bu firma kârını 2 üretim düzeyinde maksimum yapmaktadır.

Bu soruyu yerine koyma metoduyla çözecek olursak kısıt fonksiyonunda ‘y’ elemanını yalnız bırakarak 2y=18 – 3x sadeleştirdiğimizde buradan y = (9 – 3/2x) denklemini buluruz. Amaç fonksiyonunda yerine yazarsak 2*x*(9 – 3/2x)= 18x – 3x² denklemini buluruz. Bu denklemi optimize etmek için türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz. 18x – 3x² türevi 18 – 6x’dir. 18 – 6x = 0 buradan x=3 buluruz. y = (9 – 3/2x) denkleminde yerine yazarsak y=9/2 sonucunu buluruz.

Bu soruyu yerine koyma metoduyla çözecek olursak kısıt fonksiyonunda ‘y’ elemanını yalnız bırakarak y=x+1 denklemini buluruz. Amaç fonksiyonunda bu denklemi yerine yazarsak (x +1)²x = (x²+2x+1)*x = x³ + 2x² + x denklemini buluruz. Bu denklemi optimize etmek için türevini alıp sıfıra eşitlemeliyiz. x³ + 2x² + x türevi 3x² + 4x + 1’dir. 3x² + 4x + 1 = 0 buradan (3x+1)(x +1)=0’dan x=-1 ve x=-1/3) buluruz.

I. Lagrange çarpanı, amaç fonksiyonunun kısıt fonksiyonundaki değişime duyarlılığını ölçer. (Bu ifade doğrudur.) II. Bir amacın belirli kısıtlar altında gerçekleştirilmesine “kısıtlı optimizasyon” denir. (Bu ifade doğrudur.) III. Lagrange çarpanı amaç ile kısıt arasındaki marjinal ilişkinin şiddetini ölçer. (Bu ifade doğrudur.)

Bu optimizasyon problemini çözmek için öncelikle kısıt fonksiyonunu sıfıra eşitleyip sonra Lagrange fonksiyonu oluşturmalıyız. x + y = 100 kısıt fonksiyonunu sıfıra eşitlersek 100 – x - y = 0 denklemini yazabiliriz. Sonra kısıt Lagrange çarpanı ile çarpılır ve Lagrange fonksiyonu L (x, y, l) = f (x, y) + l) {k - g (x, y)} şeklinde oluşturulur. 4x² + 2xy + 8y² amaç fonksiyonunu için Lagrange fonksiyonu ℒ(x, y, λ) = 4x² + 2xy + 8y² + λ (100 - x - y) şeklinde yazılır.