MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 6

Bu optimizasyon problemini çözmek için öncelikle kısıt fonksiyonunu sıfıra eşitleyip sonra Lagrange fonksiyonu oluşturmalıyız. Lagrange fonksiyonu ℒ(x, y, λ) = 4x² + 2xy + 7y² + λ (90 - x - y) şeklinde yazılır. Her bir değişken için I. derecen kısmi türevleri alarak, birinci dereceden koşulları yazdığımızda x için birinci türev 8x + 2y – λ = 0, y için birinci türev 2x + 14y – λ = 0 ve  λ için birinci türev 90 - x – y = 0 buradan λ=8x + 2y = 2x + 14y eşitliğini buluruz. Bu ifadede x ve y’leri aynı tarafa toplarsak 6x = 12y ifadesini buluruz.
Buradan da x=2y ifadesini buluruz. Bulduğumuz x ya da y ifadesini 90 - x – y = 0 yerine yazarız. 90 – 2y -y = 0 bu ifade 90 – 3y=0 şeklinde yazılır. Buradan y = 30 ve x =60 buluruz. Lagrange çarpanı λ=8x + 2y = 2x + 14y eşitliklerinden herhangi birinden bulunabilir. λ=8*(60) + 2*(30) =540

Bu optimizasyon problemini çözmek için öncelikle kısıt fonksiyonunu sıfıra eşitleyip sonra Lagrange fonksiyonu oluşturmalıyız. Lagrange fonksiyonu ℒ(x, y, λ) = 4x2 + 2xy + 7y2 + λ (90 - x - y) şeklinde yazılır. Her bir değişken için I. derecen kısmi türevleri alarak, birinci dereceden koşulları yazdığımızda x için birinci türev 8x + 2y – λ = 0, y için birinci türev 2x + 14y – λ = 0 ve  λ için birinci türev 90 - x – y = 0 buradan λ=8x + 2y = 2x + 14y eşitliğini buluruz. Bu ifadede x ve y’leri aynı tarafa toplarsak 6x = 12y ifadesini buluruz. Buradan da x=2y ifadesini buluruz. Bulduğumuz x ya da y ifadesini 90 - x – y = 0 yerine yazarız. 90 – 2y -y = 0 bu ifade 90 – 3y=0 şeklinde yazılır. Buradan y = 30 ve x =60 buluruz.

Kısıtlı optimizasyonun iktisadi uygulamaları arasında tüketicinin fayda maksimizasyonu, tüketicinin harcama minimizasyonu, maliyet minimizasyonu ve üretim maksimizasyonu vardır. Maliyet maksimizasyonu yoktur. I, II ve IV önermeleri kısıtlı optimizasyonun iktisadi uygulamaları arasında bulunur.

Bir kısıtlı optimizasyon problemi üç farklı şekilde çözülebilir. Bunlar: Yerine koyma metodu, toplam diferansiyel metodu ve Lagrange çarpan› metodudur. Verilen metotların hepsi kısıtlı optimizasyon problemlerinde kullanılan metotlardandır.

Kısıtlı optimizasyon problemlerinde elde edilen sonuçlar her ne kadar amaç fonksiyonunu optimize eden değerleri verse de aslında bulunan noktanın fonksiyonun o kısıt altında bir maksimumda mı yoksa minimumda mı  olduğu hakkında bilgi vermez. Bunun için oluşturulan Lagrange fonksiyonunun ikinci dereceden koşullarının incelenmesi gerekmektedir. Bunun için sınırlandırılmış Hessian matrisini oluşturup oluşturulan matrisin negatif mi yoksa pozitif mi belirli olduğunu araştırmak gerekmektedir. Sınırlandırılmış Hessian’ın bütün asal minörleri negatifse amaç fonksiyonunun, minimumda olduğunu gösterir. Sınırlandırılmış Hessian’ın asal minörleri pozitiften başlayarak işaret değiştiriyorsa fonksiyonu maksimumdadır. Yani I ve II önermeleri doğrudur.

Öncelikle soruda verilen kısıt ve amaç fonksiyonlarını anlamamız gerekir. Amaç fonksiyonumuz tüketicinin fayda fonksiyonudur, yani U (x, y) = xy. Faydayı, dolayısıyla fayda fonksiyonunu maksimize etmemiz gerekir. Kısıtımız ise elinde olan harcayabildiği bütçesidir, bütçe kısıtıdır. Kısıt fonksiyonunu x, x malının miktarı ve y, y malının miktarı, olarak kabul edersek 12x + 4y = 600 şeklindedir. Soru bu aşamadan sonra herhangi bir kısıtlı optimizasyon problemi gibi çözülebilir. Kısıt fonksiyonundan y = 150 – 3x buluruz ve fayda fonksiyonunda yerine yazarsak U (x, y) = x*(150 – 3x) = 150x – 3x² olur. Fayda fonksiyonunun türevini alırsak Uʹ(x, y) =150 – 6x denklemini buluruz. Bu denklemi sıfıra eşitlediğimizde x = 25 buluruz. Yerine yazdığımızda y = 75 sonucunu buluruz.

Tüketici bütçesini ve ürün fiyatlarını göz önünde bulundurup faydasını maksimize etmeyi amaçlayacak, firma maliyetlerini göz önünde bulundurup üretimini maksime etmeye çalışacak, hükümetler enflasyonu yükseltmeden istihdamı artırmayı amaçlayacaktır. Tüm bu örnekler bir amacın çeşitli kısıtlar altında gerçekleştirilmesini gerektiren bir sürece işaret etmektedir. İşte bir amacın belirli kısıtlar altında gerçekleştirilmesine “kısıtlı optimizasyon” denir.

Bir kısıtlı optimizasyon problem üç farklı şekilde çözülebilir. Bunlar; yerine koyma metodu, toplam diferansiyel metodu ve Lagrange çarpanı metodudur.

Amaç fonksiyonunu bir kısıt altında optimize etmenin bir yolu da toplam diferansiyel metodudur. Bu yaklaşımda hem amaç hem de kısıt fonksiyonunun toplam diferansiyeli alınıp eşanlı olarak çözülmesi gerekir.

İki değişkenli amaç ve kısıt fonksiyonlarında her üç optimizasyon yönteminde de kısıt altında optimizasyonu sağlayan birinci dereceden koşullar f_x/f_y = g_x/g_y şeklindedir.

Lagrange yöntemi ile optimizasyon için öncelikle kısıt fonksiyonu sıfıra eşitlenir ve daha sonra kısıt Lagrange çarpanı ile çarpılarak Lagrange fonksiyonu oluşturulur. Bu durumda soruda verilen amaç ve kısıt fonksiyonlarını yerine yazarsak L(x,y,λ) = 5x² + 6xy + 12y² + λ(120 – x – y) ifadesine ulaşmış oluruz.

Lagrange metodu ile optimizasyon için öncelikle kısıt sıfıra eşitlenir. Sonra kısıt Lagrange çarpanı ile çarpılır ve Lagrange fonksiyonu oluşturulur. Son aşamada ise fonksiyonu optimize eden x, y ve λ değerlerini bulabilmek için ilk önce Lagrange fonksiyonunun 1.dereceden türevleri alınır ve sıfıra eşitlenir. Daha sonra elde edilen denklemler eşanlı çözümlenir ve değerler bulunur. Bu bilgilere göre doğru sıralama II, I, III şeklinde olmalıdır.

Amaç veya kısıt fonksiyonlarındaki değişken sayısının ikiden fazla olduğu durumlarda da Lagrange metodu ile kısıtlı optimizasyon problemlerini çözmek mümkündür. Burada n değişkenli bir fonksiyon için 1.dereceden koşullar λ = f_x1/g_x1 = f_x2/g_x2 = … = f_xn/g_xn şeklinde ifade edilir.

Amaç fonksiyonunun minimumda mı yoksa maksimumda mı olduğunu belirlemek için ikinci dereceden koşulların incelenmesi gerek. Bunun için sınırlandırılmış Hessian matrisi oluşturulur ve matrisin pozitif mi yoksa negatif mi olduğu araştırılır. Eğer sınırlandırılmış Hessian’ın bütün asal minörleri negatifse amaç fonksiyonu minimumda, asal minörler pozitiften başlayarak işaret değiştiriyorsa amaç fonksiyonu maksimumdadır. Dolayısıyla E seçeneğinde ikinci dereceden koşullar ile ilgili verilen ifade hatalı bir ifadedir.

İki mal tüketen bir tüketicinin bu iki maldan sağladığı marjinal faydaların birbirine oranına marjinal ikame oranı adı verilmektedir.

Üretimde iki faktör kullanan ve belirli bir üretim düzeyini en düşük maliyetle gerçekleştirmek isteyen bir firma üretimde kullandığı faktörlerin marjinal fiziki verimlerinin oranını (MP_L/MP_K = MRTS) faktörlerin fiyat oranına (P_L/P_K) eşitlemesi gerekmektedir. Bu durumda bu firmanın optimizasyon koşulu MP_L/MP_K = P_L/P_K = MRTS şeklindedir.

Öncelikle tüketicinin kısıt fonksiyonunu (bütçe kısıtını) oluşturmak gereklidir.
M=P_xx+P_yy⇒x+4y=16
Bu durumda tüketicinin problemi:
Maksimize et: U(x,y)=xy
Kısıt: 16= x+4y
Fayda optimizasyon probleminin çözümü için gerekli Lagrange fonksiyonu ve I. Dereceden koşulları aşağıdaki gibi olacaktır.
L(x,y,λ)=xy+λ(16-x-4y)
L_x≡∂L/∂x=y-λ=0
L_y≡∂L/∂y=x-4λ=0
L_λ≡∂L/∂λ=16-x-4y=0
λ=x=4y
Bulunan x ifadesini L_λ’da yerine koyarsak
16-4y-4y=0⇒8y=16⇒y=2
x=4y olduğundan x=4(2)=8

1. numaralı sorunun çözümünde tüketicinin faydasını maksimum yapan mal bileşimini (8,2) olarak bulmuştuk. Bu düzeyi fayda fonksiyonunda yerine yazarsak tüketicinin sağlayabileceği maksimum fayda düzeyini buluruz.

U(8,2)=8*2=16

Tüketicinin bütçe kısıtı altındaki fayda maksimizasyon probleminde,  harcamanın marjinal faydasına işaret eder.

Öncelikle tüketicinin kısıt fonksiyonunu (bütçe kısıtını) oluşturmak gereklidir.
M=P_xx+P_yy⇒x+0,5y=24
Bu durumda tüketicinin problemi:
Maksimize et: U(x,y)=2x^1/2+y^1/2
Kısıt: x+0,5y=24
Fayda optimizasyon probleminin çözümü için gerekli Lagrange fonksiyonu ve I. Dereceden koşulları aşağıdaki gibi olacaktır.
L(x,y,λ)=2x^(1/2)+y^(1/2)+λ(24-x-0,5y)
L_x≡∂L/∂x=x^-1/2-λ=0
L_y≡∂L/∂y=1/2y^-1/2-0,5λ=0
L_λ≡∂L/∂λ=24-x-0,5y=0
λ=x^-1/2=y^-1/2⇒x=y
Bulunan x ifadesini L_λ’da yerine koyarsak
x+0,5x=24⇒1,5x=24⇒x=16,y=16