MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 5

3. numaralı sorunun çözümünde tüketicinin faydasını maksimum yapan mal bileşimini (16,16) olarak bulmuştuk. Denklemlerin çözümünden lagrange çarpanı aşağıdaki gibi elde edilmiştir.
L(x,y,λ)=2x^1/2+y^1/2+λ(24-x-0,5y)
L_x≡∂L/∂x=x^-1/2-λ=0
L_y≡∂L/∂y=1/2y^-1/2-0,5λ
L_λ≡∂L/∂λ=24-x-0,5y=0
λ=x^-1/2=y^-1/2⇒x=y
λ=x^-1/2=y^-1/2
λ=x^-1/2⇒λ=(16)^-1/2⇒λ=1/4

 > 0 olduğunda sınırlandırılmış Hesian negatif belirlidir. Dolayısıyla fayda (U) maksimize edilmiştir.

Kısıtlı optimizasyon problemindeki Lagrange çarpanı amacın kısıttaki değişime duyarlılığını ölçmektedir. Dolayısıyla Lagrange çarpanı amaç ile kısıt arasındaki marjinal ilişkinin şiddetini ölçer.

Belirli bir üretim kısıtı altında maliyetini minimize etmeyi amaçlayan bu firmanın Lagrange fonksiyonu aşağıdaki gibi olmalıdır.
L(K,L,λ)=3K+5L+λ(100-K1^/3L^1/3

Maliyet minimizasyon probleminin çözümü için gerekli Lagrange fonksiyonu ve I. Dereceden koşulları aşağıdaki gibi olacaktır.
L(K,L,λ)=4K+L+λ(3600-4K^1/2 L^1/2)
L_K≡∂L/∂K=4-2λK^-1/2=0
L_L≡∂L/∂L=1-2λL^-1/2=0
L_λ≡∂L/∂λ=3600-4K^1/2L^1/2=0
4=2λK^-1/2⇒λ=K^1/2/2
1=2λL^-1/2⇒λ=L^1/2/4
K^1/2/2=L^1/2/4 ⇒2K^1/2=L^1/2⇒4K=L veya K=1/4L
Bulunan K ifadesini ’da yerine koyarsak;
3600=4(L/4)^1/2 L^1/2⇒L=1800

L(K,L,λ)=4K+L+λ(3600-4K^1/2L^1/2 )
L_K≡∂L/∂K=4-2λK^-1/2=0
L_L≡∂L/∂L=1-2λL^-1/2=0
L_λ≡∂L/∂λ=3600-4K^1/2L^1/2=0
4=2λK^-1/2⇒λ=K^1/2/2
1=2λL^-1/2⇒λ=L^1/2/4
K^1/2/2=L^1/2/4⇒2K^1/2=L^1/2⇒L=4K
Bulunan L ifadesini ’da yerine koyarsak;
3600=4K^1/2(4K)^1/2⇒8K=3600⇒K=450

Bir amacın belirli kısıtlar altında gerçekleştirilmesine kısıtlı optimizasyon, kısıtın olmaması durumunda ise kısıtsız optimizasyon denir. Optimizasyon duruma göre maksimizasyon (örneğin firma karı veya hasılatı, tüketici faydası) veya minimizasyon (maliyet) şeklinde olabilir.

Yerine koyma metodu ve sonrasında 1. derece kısmi türev koşullarını uygulayalım:

bu durumda (x,y) ikilisi (3,2) olacaktır

Kısıt fonksiyonunu kullanarak iki bilinmeyeni tek bilinmeyene düşürelim: 

Şimdi de amaç fonksiyonu olan fayda fonksiyonunu tek değişkenli olarak yeniden yazalım:

1. derece koşulunu uygulayalım:

Bir fonksiyonun minimum değerini alması için ilk türevinin sıfır, ikinci türevinin pozitif olması gerekir.

Tüketici faydası maksimizasyonunda Langrange çarpanı bütçenin marjinal faydasını göstermektedir. Bir başka ifadeyle, bu çarpan bütçedeki 1 birim artışın yaratacağı fayda artışını göstermektedir.

Denge halinde bir ürünün marjinal faydasının fiyatına oranı diğer ürünün marjinal faydasının fiyatına oranına eşittir. Aksi halde tüketici marjinal faydasının fiyata oranı yüksek olan ürünü daha fazla tüketir. Bu yüzden cevap D şıkkıdır.

Maliyet minimizasyonu yapacağımıza göre Langrange ifadesi şu şekilde olacaktır:

Buradan 1. derece türevleri alırsak:

=0 ve  =0 olacaktır. Buradan:  eşitlikleri bulunur. Bunları taraf tarafa bölersek:

 bulunur. Üretim fonksiyonunda bunu ikame edersek:

 bulunur. Buradan da minimum toplam maliyet (10*700)+(5*1400)=14000 olur.

İster maliyet minimizasyonu olsun ister ürün miktarı maksimizasyonu, denge halinde her bir üretim faktörü için marjinal fiziki ürünün o faktörün fiyatına oranı eşit olmalıdır. Aksi halde fiyatına nazaran marjinal fiziki ürünü daha yüksek olan faktör daha fazla kullanılacaktır.

Fonksiyonun birinci türevi sıfır, ikinci türevi negatif olduğuna göre bu noktada bir yerel maksimum mevcuttur. Yerel minimum için ikinci türevin pozitif, büküm noktası için ise ikinci türevin sıfır olması gerekir.

Fonksiyonun kritik noktalarını belirlemek için ilk önce 1. türevini alıp sıfıra eşitlersek:  fonksiyonun kritik noktalarıdır. İkinci türevini alırsak:  olur. x=2 için ikinci türev pozitif, x=-2 için ise ikinci türev negatiftir. Bu durumda x=2 için bir yerel minimum, x=-2 için ise bir yerel maksimum bulunmaktadır.

Kazanç,  olduğuna göre  ve buradan  bulunur. 1. türevini alırsak: =0 denklemini sağlayan iki kök bulunmaktadır. Q=5 ve Q=10. Bu iki kökten hangisinin fonksiyonun maksimum değerini sağladığını bulmak için ikinci türevi de almamız gerekir. İkinci türevi alırsak:  olacaktır. Q=5 için ikinci türev negatif, Q=10 için ikinci türev pozitiftir. Maksimizasyon için ikinci türevin negatif olması gerekir. Öyleyse maksimum kazanç için Q=5 birim üretim yapılmalıdır.

I. Optimizasyon eldeki mevcut kaynakları en iyi şekilde kullanmak ve amaçlanan sonuca ulaşmaktır. (Doğru)

II. Optimizasyon, kısıtlı ve kısıtsız olmak üzere iki biçimde elde edilir. (Doğru)

III. Fonksiyonun ikinci türevini sıfır yapan nokta ya da noktalar optimal değerler olarak ifade edilir. (Yanlış, fonksiyonun birinci türevini sıfır yapan nokta ya da noktalar optimal değerler olarak ifade edilir. )

Cevap C şıkkıdır.