MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 4

İki değişkenli bir fonksiyona ilişkin Hessian matrisinin determinantı negatifse ne maksimum ne de minimum değerini alır. Eğer söz konusu determinant sıfıra eşitse hiçbirşey söylenemez. Ancak Hessian determinantı pozitifse: f_xx ve f_yy  asal minörleri pozitif olduğunda fonksiyon minimum değerini, bu asal minörler negatif olduğunda ise fonksiyon maksimum değerini alır. Bu nedenle doğru cevap E şıkkıdır.

Öncelikle 1. dereceden türevlerin sıfıra eşit olması gerekir. Buna göre:

f_x=40-6x+5y=0

f_y=50-8y+5x=0

bu denklemlerin ilkini 8'le, ikincisini 5'le çarparsak:

320+40y=48x

250-40y=-25x

bu denklemleri alt alta toplarsak:

570=23x ve x=570/23 olur. Bu değerini herhangi bir denklemde yerine yazdığımızda y=500/23 olur.

Şimdi 2. derece koşulları da kontrol edip bu değerlerin gerçekten f(x,y) fonksiyonunu maksimum yapıp yapmadığına karar verelim.

2. derece türevleri alırsak:

f_xx=-6     f_yx=5

f_xy=5      f_yy=-8

olacaktır. Şimdi de Hessian matrisini oluşturup determinantın pozitif, asal minörlerinin ise negatif olma koşulunu yerine getirip getirmediğine bakalım:

Görüldüğü üzere hem determinantın pozitif olması hem de asal minörlerin negatif olması koşulu yerine getirilmiştir.

I. f(x) fonksiyonu sürekli ve en az iki kere türevlenebilir bir fonksiyondur. (Doğru)

II. Kritik noktaları (-2,2) noktalarıdır. (Yanlış, kritik noktası 2'dir.)

III. Yerel maksimum noktası -2'dedir. (Yanlış, yerel maksimum noktası 2'dedir.)

Cevap A şıkkıdır.

Öncelikle 1. dereceden türevlerin sıfıra eşit olması gerekir. Buna göre:

U_x=12-6x+6y=0

U_y=-10-8y+6x=0

bu denklemleri alt alta toplarsak:

2=2y ve y=1 olur. Bu değerini herhangi bir denklemde yerine yazdığımızda x=3 olur.

Şimdi 2. derece koşulları da kontrol edip bu değerlerin gerçekten U(x,y) fonksiyonunu maksimum yapıp yapmadığına karar verelim.

2. derece türevleri alırsak:

U_xx=-6     U_yx=6

U_xy=6      U_yy=-8

olacaktır. Şimdi de Hessian matrisini oluşturup determinantın pozitif, asal minörlerinin ise negatif olma koşulunu yerine getirip getirmediğine bakalım:

Görüleceği üzere hem matrisin determinantı pozitiftir hem de asal minörleri (-6 ve -8) negatiftir. Öyleyse maksimizasyonu sağlayan (x,y) ikilisi (3,1)'dir

Q(x,y,z)=4x²+3y²+2z²-2xy-3xz-yz

Hessian matrisi için Q fonksiyonunun tüm 2. dereceden kısmi türevlerini almamız gerekir. Öncelikle 1. derece kısmi türevleri alalım:

Q_x=8x-2y-3z

Q_y=-2x+6y-z

Q_z=-3x-y+4z

Şimdi de 2. kısmi türevleri alalım:

Q_xx=8  Q_xy=-2  Q_xz=-3

Q_yx=-2  Q_yy=6  Q_yz=-1

Q_zx=-3  Q_zy=-1  Q_zz=4

Olacaktır. Öyleyse Hessian matrisimiz:

 şeklinde olacaktır.

Bir matrisin negatif belirli olması için asal minörleri -,+,-,+.... şeklinde olmalıdır. Bu nedenle doğru cevap C şıkkıdır.

Bir matrisin pozitif belirli olması için tüm asal minörlerinin pozitif determinantlı olması gerekir. A ve B şıklarındaki matrislerin ilk minörleri pozitif değildir. C ve E şıklarındaki matrislerin ise ilk minörleri pozitif olsa da ikinci minörleri negatiftir. D şıkkındaki matrisin ise bütün minörleri pozitiftir. Bu nedenle cevap D'dir.

Verilen fonksiyonların 1. türevleri alındığında sadece C ve D şıkkındakilerin x=4 için kritik noktaları vardır. Bir fonksiyon herhangi bir noktada maksimum değerini alabilmesi için o noktadaki ilk türevinin sıfır, ikinci türevinin negatif olması gerekir. Bu koşulu sağlayan ise f(x)=8x-x² fonksiyonudur, zira bu fonksiyon için f'(x)=8-2x, f'(4)=8-2*4=0 ve f''(x)=-2, f''(4)=-2 olmaktadır.

Kritik nokta için bir fonksiyonun 1. türevinin sıfıra eşit olması gerekir. A şıkkındaki fonksiyonun birinci türevi 2x'tir. 2x=0 ise x=0 bu denklemin tek çözümüdür ve fonksiyonun tek kritik noktası vardır. B şıkkındaki fonksiyonun türevi 3'tür, yani hiç kritik noktası yoktur. C şıkkındaki fonksiyonun türevi 3x²'dir. 3x²=0 ise x=0 bu denklemin tek çözümüdür, yani tek kritik nokta bulunmaktadır. Yine D şıkkındaki fonksiyonun türevini sıfıra eşitleyen tek sayı vardır (2x-6=0, x=3). Fakat E şıkkındaki fonksiyonun türevi 3x²-12x=0 olup bu denklemi sağlayan x=0 ve x=4 olmak üzere iki kök bulunmaktadır. Bu nedenle doğru cevap E şıkkıdır.

Bir fonksiyonun "x" noktasında maksimum değerini alması için o noktada birinci türevinin sıfır, ikinci türevinin negatif olması gerekir. Bu koşulları sağlayan tek fonksiyon D şıkkında bulunmaktadır zira f(x)=5-x² için f'(x)=-2x ve x=0 için f'(0)=0; f''(x)=-2 ve x=0 için f''(0)=-2 olacaktır.

İki değişkenli bir fonksiyonun minimum değerini alabilmesi için 1. dereceden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olması ve 2. dereceden kısmi türevlerden oluşan  Hessian matrisinin determinantı ile asal minörlerinden en az birinin pozitif olması gerekir.

İlk olarak 1. dereceden kısmi türevleri alalım:

f_x=2x-4=0,   2x-4=0,  x=2

f_y=2y-6=0,   2y-6=0,  y=3 olacaktır. Yani aradığımız ikili eğer diğer koşulları da sağlıyorsa (2,3) ikilisidir. Şimdi diğer koşulların sağlanıp sağlanmadığını görmek için 2. derece kısmi türevleri ve Hessian matrisini elde edelim:

f_xx=2  f_xy=0

f_yx=0  f_yy=2 ve bu durumda Hessian matrisimiz:

 görüldüğü üzere hem determinantı, hem asal minörleri (2,2) pozitif olan bir matristir. Bu nedenle doğru cevap B şıkkıdır.

Verilen ifadelerden sadece III nolu olan yanlıştır. Bir fonksiyonun minimum değerini alması için asal minörlerden en az birinin pozitif olması gerekir.

Kâr fonksiyonu toplam hasıladan toplam maliyetin farkı ile bulunur. π=24Q - 3Q² - (3Q² - 13 )= -6Q² +24Q + 13 . Kâr fonksiyonunun türevini aldığımız zaman ise -12Q + 24 ifadesini buluruz. Bu ifadeyi sıfıra eşitlediğimiz zaman kârın maksimum olduğu üretim düzeyini buluruz. -12Q + 24 = 0 buradan Q = 2 olduğunu buluruz. Toplam hasılayı bulabilmek için bu Q değerini toplam hâsıla fonksiyonuna yazmamız gerekir. Toplam hâsıla fonksiyonundan TR(2)= 24*2 - 3*4 = 48 - 12 = 36 sonucunu buluruz. Cevap A şıkkıdır.

İki değişkenli bir fonksiyonun maximum değerini alabilmesi için 1. dereceden kısmi türevlerinin sıfıra eşit olması ve 2. dereceden kısmi türevlerden oluşan  Hessian matrisinin determinantının pozitif, asal minörlerinden en az birinin negatif olması gerekir.

İlk olarak 1. dereceden kısmi türevleri alalım:

f_x=y+9-2x=0,   

f_y=x+3-2y=0, 

Bu iki denklemden ilkini 2 ile çarparsak denklem sistemimiz şu hale gelir:

2y+18-4x=0

-2y+3+x=0

Bu iki denklemi taraf tarafa toplarsak:

 21-3x=0,  x=7 olur. x'i ilk denklemde yerine yazarsak y+9-2*7=0,  y-5=0,  y=5  bulunur.

Yani aradığımız ikili eğer diğer koşulları da sağlıyorsa (7,5) ikilisidir. Şimdi diğer koşulların sağlanıp sağlanmadığını görmek için 2. derece kısmi türevleri ve Hessian matrisini elde edelim:

f_xx=-2  f_xy=1

f_yx=1  f_yy=-2 ve bu durumda Hessian matrisimiz:

 görüldüğü üzere hem determinantı pozitif, hem asal minörleri (-2,-2) negatif olan bir matristir. Bu nedenle doğru cevap C'dir.

İki değişkenli bir fonksiyonun (x,y) ikilisinde kritik değer alması için söz konusu ikilide her iki 1. dereceden kısmi türevinin de sıfıra eşit olması gerekir. Verilen fonksiyonlardan sadece f(x,y)=2x²+y²-8x-6y-10 için (2,3) ikilisinde f_x=4x-8=0, fy=2y-6=0 koşulu sağlanmaktadır. Bu nedenle doğru cevap C'dir.

Tüketiciler faydalarının maksimum olmasını isterler. Bu nedenle bu bir maksimizasyon problemidir. Öyleyse söz konusu fayda fonksiyonunun 1. derece kısmi türevleri sıfıra eşit olmalı, bu fonksiyondan elde edilecek Hessian matrisinin ise determinantı pozitif ve asal minörlerinden en az biri negatif olmalıdır. İlk önce 1. derece kısmi türevleri bulalım:

U(x,y)=-5x²-y²+40x+10y-15

U_x=-10x+40=0,   x=4

U_y=-2y+10=0,   y=5 olacaktır. Bu değerleri yerine yazınca da U=90 bulunur. Şimdi bu tüketim miktarlarının diğer koşulları yerine getirip getirmediğini test edelim. 2. derece kısmi türevleri alırsak:

U_xx=-10   U_xy=0   

U_yx=0   U_yy=-2   olacaktır. Buradan Hessian matrisi:

olur. Görüldüğü üzere hem determinant pozitif hem de asal minörler negatiftir. Dolayısıyla doğru cevap B'dir.

Üreticiler maliyetin minimum olmasını isterler. Bu nedenle bu bir minimizasyon problemidir. Öyleyse söz konusu toplam maliyet fonksiyonunun 1. derece kısmi türevleri sıfıra eşit olmalı, bu fonksiyondan elde edilecek Hessian matrisinin ise determinantı pozitif ve asal minörlerinden en az biri pozitif olmalıdır. İlk önce 1. derece kısmi türevleri bulalım:

TC(x,y)= 4x²+y²-40x-4y+500

TC_x=8x-40=0,   x=5

TC_y=2y-4=0,   y=2 olacaktır. Şimdi bu üretim miktarlarının diğer koşulları yerine getirip getirmediğini test edelim. 2. derece kısmi türevleri alırsak:

TC_xx=8   TC_xy=0   

TC_yx=0   TC_yy=2   olacaktır. Buradan Hessian matrisi:

Görüldüğü üzere hem matrisin determinantı hem de asal minörleri pozitiftir. Tüm koşullar sağlanmıştır. Bu nedenle doğru cevap E'dir.

İlk önce TR’nin Q₁ ve Q₂’e göre birinci mertebeden kısmi türevi bulunur. ∂TR/∂Q₁ = -10Q₁ - 3Q₂ + 23 ve ∂TR/∂Q₂ =-3Q₁ + 6Q₂ bulunur, bu iki denklemi sıfıra eşitlediğimizde -10Q₁ - 3Q₂ + 23 = 0 ve -3Q₁+6Q₂=0 eşitliğini elde ederiz. İkinci fonksiyon için 3Q₁=6Q₂ buradan Q₁=2Q₂ eşitliğini buluruz. Bu eşitliği ilk fonksiyonda yerine yazdığımızda ise -20Q₂ - 3Q₂ + 23 = 0 eşitliğini buluruz. Bu eşitliği çözdüğümüzde  -23Q₂ = - 23 Buradan Q₂ = 1 ve Q₁ =2 sonucunu elde ederiz. Cevap C şıkkıdır.

Fayda fonksiyonunun maksimum olduğu noktayı bulmak için U(X) = 3X² - 18X+ 30 fayda fonksiyonunun türevini almak gerekir. U΄(X) = 6X – 18 fonksiyonunu buluruz. Bu fonksiyonu sıfıra eşitleyip çözdüğümüzde bireyin faydasını maksimum yapan tüketim miktarını buluruz. 6X -18 = 0 ise 6X=18 buradan X = 3 bulunur. Cevap B şıkkıdır.