MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 3

II. Hessian matirisinin determinant değeri sıfırdan küçük ise ne maksimum ne de minimumu vardır. (Doğru)

III. Hessian matrisi birinci mertebeden kısmi türevlerden elde edilen matristir. (Yanlış, Hessian matrisi ikinci mertebeden kısmi türevlerden elde edilen matristir.)

 Doğru cevap C şıkkıdır.

II. Bir fonksiyon için ikinci türevi pozitif yapan değer fonksiyonunu minimum yapan değerdir. (Doğru)

III. Bir fonksiyon için ikinci türevi negatif yapan değer fonksiyonunu maksimum yapan değerdir. (Doğru)

Cevap E şıkkıdır.

f_x=4x-4y-4z-8=0

f_y=-4x+4y=0 buradan x=y

f_z=-4x+4z+10=0

ikinci denklemden x=y çıktığı için bu bilgiyi ilk denkleme (f_x) uygularsak:

4x-4y-4z-8=0 buradan 4x-4x-4z-8=0 ve -4z=8 olduğundan z=-2 olur. z’nin değerini son denklemde (f_z) yerine yazarsak:

-4x-8+10=0 buradan 4x=2, x=1/2 olacaktır. y=x olduğundan y=1/2 olur. Bu durumda kritik noktayı sağlayan (x,y,z) üçlüsü (½, ½,-2) olacaktır.

Şimdi Hessian matrisine bakarak bu noktanın türünü belirleyelim. Hessian matrisi için ikinci kısmi türevleri almamız gerekir:

f_x=4x-4y-4z olduğu için f_xx=4 f_xy=-4 f_xz=-4

f_y=-4x+4y olduğu için f_yx=-4 f_yy=4 f_yz=0

f_z=-4x+4z+10 olduğu için f_zx=-4 f_zy=0 f_zz=4 olur. Bu durumda Hessian Matrisimiz şudur:

=16>0

görüldüğü üzere matrisin tüm asal minörleri ve determinantı pozitiftir. Bu nedenle bu bir minimum noktasıdır. Bu nedenle cevap D'dir.

2x+2y=400 ise y=200-x olur. Bu durumda A=xy=x(200-x)=200x-x² olacaktır. A fonksiyonunun 1. derece türevini alıp sıfıra eşitlersek

A'=200-2x=0 ve x=100 olur y=200-x olduğuna göre y=100 dür. Bu durumda alan, A=xy=100*100=10000 olacaktır.

L=U(x,y)+λ(B-P_xx-P_yy)

L= x^0.6y^0.4+ λ(250-30x-20y)

Tüketiciler faydalarını maksimize etmek isteyeceğine göre bu bir maksimizasyon problemidir. Bu nedenle 1. dereceden kısmi türevlerin sıfıra eşit, 2. dereceden kısmi türevlerin ise negatif olması gerekir.

L= x^0.6y^0.4+ λ(250-30x-20y)

L_x=0.6(y/x)^0.4-30 λ=0 ve buradan 0.6(y/x)^0.4= 30λ  yani λ=0.02(y/x)^0.4olur.

L_y=0.4(x/y)^0.6-20 λ=0 ve buradan 0.4(x/y)^0.6= 20λ yani λ=0.02(x/y)^0.6olur.

Bu durumda 0.02(y/x)^0.4= 0.02(x/y)^0.6 ve buradan y^0.6y^0.4= x^0.6x^0.4 yani y=x olur.

250=30x+20y=30x+20x olacak, buradan x=y=5 bulunacaktır.

Şimdi de ikinci derece türevleri alarak negatiflik koşulunun yerine gelip gelmediğine bakalım:

L_x=0.6(y/x)^0.4-30 λ ise L_xx=-0.24y^0.4x^-1.4<0

L_y=0.4(x/y)^0.6-20 λ ise L_yy=-0.24x^0.6y^-1.6<0.

İkinci koşul da sağlandığına göre her iki oyuncaktan da 5'er tane almalıdır. Doğru cevap C'dir.

L= 12x+3y+ λ(8- x^0.5y^0.5)

Şimdi de 1. derece kısmi türevleri sıfıra eşitleyelim:

L_x=12-0.5 λ(y/x)^0.5=0 ve buradan 24= λ(y/x)^0.5

L_y=3-0.5 λ(x/y)^0.5=0 ve buradan 6= λ(y/x)^0.5

İçinde λ olan ifadeleri taraf tarafa bölersek:

4=y/x ve buradan y=4x çıkar. Bunu fayda fonksiyonunda kullanırsak:

8= x^0.5y^0.5

64=xy=x*4x=4x²  ve böylece x=4, y=4x=16 çıkar. Öyleyse gerekli minimum harcama B=12x+3y=(12*4)+(3*16)=96 Liradır. Doğru cevap B'dir.

Yerine koyma yöntemiyle tek değişkene indirerek çözelim:

xy=900 ise y=900/x olur. f(x,y)=x+y=x+(900/x)

şimdi de 1. türevi alıp sıfıra eşitleyelim:

f_x=1-(900/x²)=0

1=900/x²

900= x²

30=x ve y=900/x olduğundan y=30 olur. Bu durumda x+y=30+30=60 olacaktır. Doğru cevap A’dır.

L= K^0.6L^0.4+ λ(3000-15K-5L)

Şimdi birinci kısmi türevleri alalım:

L_K=0.6(L/K)^0.4-15λ=0 ve buradan 0.6(L/K)^0.4=15λ

L_L=0.4(K/L)^0.6-5λ=0 ve buradan 0.4(K/L)^0.6=5λ

İçinde λ olan ifadeleri taraf tarafa bölersek:

1.5*(L/K)=3

L/K=2 ve buradan L=2K çıkar.

Şimdi bunu maliyet fonksiyonuna yazalım:

3000=15K+5L ve L=2K olduğu için 3000=15K+10K=25K ve buradan K=120 olur.

L=xyz+ λ(12-x-y-z) olur.

L_x=yz-λ=0

L_y=xz-λ=0

L_z=yx-λ=0

Öyleyse λ=xy=yz=xz olacaktır. Tüm bu denklemleri çözdüğümüzde x=y=z olduğu kolayca görülecektir.

12=x+y+z olduğuna göre x=y=z=4 olacaktır. Bu durumda üretim miktarı f(x,y,z)=xyz=4*4*4=64 birimdir

L=12K+4L+ λ(Q- K^0.5L^0.5)

L_K=12-0.5 λ(L/K)^0.5 ve buradan 12=0.5 λ(L/K)^0.5

L_L=4-0.5 λ(K/L)^0.5 ve buradan  4=0.5 λ(K/L)^0.5

Bu ifadeleri taraf tarafa bölersek 3=L/K yani L=3K olur. Yani 100 birim sermaye karşılık L=3*100=300 birim emek kullanılmalıdır. Cevap A'dır.

fonksiyonunda x yerine 2 ve y yerine 3 yazarız. Buna göre f(2,3) = 3(2)(3) + 4(3) = 30 olur. Doğru cevap B'dir.