MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 19

Bu soruyu çözebilmek için ilk önce ,  ve iken X malı için talep edilen miktarı hesaplayalım.

olur. Talebin çapraz fiyat esnekliğini bulmak için ise X malı talep fonksiyonunda Y malının fiyatına göre kısmi türevini hesaplanır. Buna göre kısmi türev

şeklinde hesaplanır. Talebin çapraz fiyat esnekliği aşağıdaki şekilde formüle edilir:

olarak hesaplanır.

Farksızlık eğrisinin yada fayda fonksiyonunun eğimini ifade eden marjinal ikame oranı (MRS), X’in marjinal faydasının Y’nin marjinal faydasına oranıdır. Diğer bir ifadeyle fayda fonksiyonunun X'e göre kısmi türevinin Y'ye göre kısmi türevine oranıdır. Buna göre;

şeklinde hesaplanır.

Emeğin marjinal ürünü (MPL) ise sermaye girdileri sabitken, emek girdisindeki bir birim artışın çıktıda ortaya çıkaracağı artıştır ve üretim fonksiyonunun
emeğe göre kısmi türevi alınarak bulunur. Buna göre,

olur.

 şeklinde verilen Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda ölçeğe göre getiri aşağıdaki şekilde hesaplanır:

söz konusu olur. Buna göre;

Bu soruyu çözebilmek için ilk önce  geliri,  X malının fiyatını ve  Y malının fiyatını göstermek üzere, X malı için talep edilen miktarı hesaplayalım.

olur. Talebin gelir esnekliğini bulmak için ise X malı talep fonksiyonunda gelire göre kısmi türevini hesaplanır. Buna göre kısmi türev

şeklinde hesaplanır. Talebin gelir esnekliği aşağıdaki şekilde formüle edilir:

olarak hesaplanır.

 

şeklinde verilen Üretim fonksiyonunun grafiği eş ürün eğrileri ile gösterilir. Eş ürün eğrisi aynı çıktı düzeyini sağlayan emek ve sermaye girdilerinin farklı bileşimleridir. Eş ürün eğrisinin ya da üretim fonksiyonunun eğimine Marjinal Teknik İkame Oranı (MRTS) adı verilir. Buna göre aşağıdaki şekilde hesaplanır:

Bireyin fayda fonksiyonu  şeklinde verildiğine göre, bireyin X malını tüketmekten elde ettiği marjinal faydayı  bulabilmek için fayda fonksiyonunun X'e göre kısmi türevi alınır. Buna göre;

 şeklinde verilen fayda fonksiyonunun ikinci mertebeden çapraz kısmi türevi aşağıdaki şekilde hesaplanır. Buna göre;

 fonksiyonunun X'e göre kısmi türevi  aşağıdaki şekilde hesaplanır. Buna göre;

İki mal için  şeklinde ifade edilen fayda fonksiyonunun eğimi marjinal ikame oranını (MRS) verir. Buna göre marjinal ikame oranı aşağıdaki şekilde formüle edilr:

f_x’i bulmak için y sabit tutulup fonksiyonun x’e göre türevi alınır.

f_x=(1)y²+(2x)y = y²+2xy

Talebin gelir esnekliği gelirdeki yüzde değişim sonucunda talebin nasıl etkileneceğini inceler.

E_Y= (Y/Q) x dQ/dY formülü ile hesaplanır. Buna göre:

Qd=5000-4(100)+0,5(800)+0,2(5000)=6000

dQ/dY = 0,2 olduğundan

Ey=(5000/6000) x 0,2=0,166

Normal mallar için gelir attığında talep de artacağından gelir esnekliği pozitif çıkmıştır.

Çapraz fiyat esnekliği A malının ikamesi olan B malı fiyatındaki yüzde değişim sonucunda A malı talebinin yüzde olarak ne kadar değişeceğini ölçer. İkame mallar için çapraz fiyat esnekliği pozitif olmalıdır. Çünkü ikame malının (B malının) fiyatı artarsa A malına olan talebin artmasını bekleriz.

E= dQ/dP_B x P_B/Q

Qd=5000-4(100)+0,5(800)+0,2(5000)=6000

dQ/dPB=0,5 olduğundan

E=0,5 x (800/6000)  olur.

E=0,066

Öncelikle P=20, P_i=30 ve Y=5000 olması durumunda talep edilen miktarı hesaplayalım:

Q=500-3(20)-2(30)+0,001 (5000) = 385

Fiyat esnekliğini hesaplayabilmek için Q’nun P’ye göre kısmi türevine ihtiyacımız var. dQ/dP=-3

Esneklik= (dQ/dP) x (P/Q) = -3 x (20 / 385) = -0,155

f₃₁ kısmi türevini bulmak için önce fonksiyonun x₁’e göre kısmi türevi alınıp sonra da x₃’e göre kısmi türevi alınır.

f1= 3x1²+x3²  bulunur.  Buradan f₃₁=2x₃ olur.

Firmaların kârlarını maksimize etmeye çalışmaları gibi bireyler da faydalarını maksimize etmeye çalışırlar. Bunu gerçekleştirmek için de ne kadar çalışıp ne kadar boş zaman geçireceklerine ya da farklı malların hangisinden ne kadar tüketeceklerine karar vermek durumundadırlar. Bu tercihleri sayısal olarak ifade edebilmek için iktisatta U ile gösterilen fayda fonksiyonlarını kullanırız. Bir tüketicinin fayda fonksiyonu, toplam fayda veya tüketilen mal miktarlarının bir fonksiyonu olarak tüketiciler tarafından sağlanan tatmin olarak açıklanabilir.

Boş zamanın marjinal faydasına ulaşmak için fayda fonksiyonunun X1 e göre kısmi türevini alıp verilen değerleri yerine koymamız gerekir.

dU/dx₁=1000+5x₂-4x₁

 ve  olacağından

dU/dx₁=1000+5(300)-4(150)

=1000+1500-600

=1900

Sermayenin marjinal ürünü (MP_K) emek girdisi sabitken, sermaye girdisindeki bir birim artışın çıktıda ortaya çıkaracağı artış olarak tanımlanır ve üretim fonksiyonunun sermayeye göre kısmi türevi alınarak bulunur.

Emeğin marjinal ürünü sermaye girdisi sabitken, emek girdisindeki bir birim artışın, çıktıda ortaya çıkaracağı artıştır ve üretim fonksiyonunun emeğe göre kısmi türevi alınarak hesaplanır.

MP_L=dQ/dL =4L

Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda ölçeğe göre getiriler de şöyle olur:

Alfa + Beta < 1 ise ölçeğe göre azalan getiri

Alfa + Beta = 1 ise ölçeğe göre sabit getiri

Alfa + Beta > 1 ise ölçeğe göre artan getiri