MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 16

Minimize etmeye çalıştığımız amaç fonksiyonu z=-2x²+y²

Kısıtımız: y=2x-1

Kısıtta y zaten x cinsinden ifade edilmiştir. Çözüm için yapılabilecek en kolay şey amaç fonksiyonunda y gördüğümüz yere 2x-1 yazmaktır.

z= -2x²+(2x-1)²

z= -2x²+4x²-4x+1

z= 2x²-4x+1

z başlangıçta x ve y’nin fonksiyonu iken kısıtı uyguladığımızda sadece x’in bir fonksiyonu olmuştur.

Fonksiyonun x’e göre türevini alıp sıfıra eşitleriz.

dz/dx=0               4x-4=0 x=1 bulunur.

Gerek koşula bakacak olursak (ikinci türev)

d²z/dx²=4>0      olduğundan bulduğumuz nokta minimumdur.

x=1 ise y=2x-1   y=1 olur.

Yani fonksiyonu minimize eden x değeri 1; y değeri 1’dir.

Bir kısıtlı optimizasyon problemi üç farklı şekilde çözülebilir. Bunlar

Yerine koyma metodu

Toplam diferansiyel metodu

Lagrange çarpanı metodu

Şeklinde sıralanabilir.

Lagrange çarpanı iktisatçılar için son derece önemlidir. Zira karşı karşıya kalınan probleme göre Lagrange çarpanına farklı anlamlar yüklemek mümkün olacaktır. Örneğin tüketicinin bütçe kısıtı altındaki fayda maksimizasyon probleminde, l harcamanın marjinal faydasına işaret ederken, bir firmanın belirli bir üretim kotası altındaki maliyet minimizasyon probleminde ise üretimin marjinal maliyetini gösterecektir.

Sermayenin birim maliyeti 1 TL; emeğin birim maliyeti 2TL olarak verilmiştir. Firma K birim sermaye ve L birim emek kullanıyorsa, toplam girdi maliyetleri K+2L olacaktır.

Girdi maliyetleri 105 TL ile sınırlandığına göre K+2L=105 olur.

Burada amacımız üretimi maksimize etmektir. Yani amaç fonksiyonu olan Q=4LK+L² ; K+2L=105 kısıtına göre maksimize edilecektir.

Kısıtı yeniden organize ederek K’yı L cinsinden ifade edebiliriz:

K=105-2L

Amaç fonksiyonunda K gördüğümüz yere 105-2L yazarız

Q=4L(105-2L)+L² olur.

Q=420L-7L² dir.

Kısıtı yerine koyduktan sonra bu artık bir kısıtsız optimizasyon problemine dönüşmüş olur.

Amaç fonksiyonunun birinci türevini sıfıra eşitleriz:

dQ/dL=0

420-14L=0          420=14L              L=30 bulunur.

İkinci türevine bakarsak (Yeter koşul)

d²Q/dL² = -14<0               Maksimum olduğunu söyleyebiliriz.

Yani çıktıyı maksimize etmek için kullanılması gereken emek miktarı 30’dur.

Sermayenin birim maliyeti 1 TL; emeğin birim maliyeti 2TL olarak verilmiştir. Firma K birim sermaye ve L birim emek kullanıyorsa, toplam girdi maliyetleri K+2L olacaktır.

Girdi maliyetleri 105 TL ile sınırlandığına göre K+2L=105 olur.

Burada amacımız üretimi maksimize etmektir. Yani amaç fonksiyonu olan Q=4LK+L² ; K+2L=105 kısıtına göre maksimize edilecektir.

Kısıtı yeniden organize ederek K’yı L cinsinden ifade edebiliriz:

K=105-2L

Amaç fonksiyonunda K gördüğümüz yere 105-2L yazarız

 Q=4L(105-2L)+L² olur.

Q=420L-7L² dir.

 Kısıtı yerine koyduktan sonra bu artık bir kısıtsız optimizasyon problemine dönüşmüş olur.

 Amaç fonksiyonunun birinci türevini sıfıra eşitleriz:

 dQ/dL=0

 420-14L=0          420=14L              L=30 bulunur.

 İkinci türevine bakarsak (Yeter koşul)

 d²Q/dL² = -14<0               Maksimum olduğunu söyleyebiliriz.

 Yani çıktıyı maksimize etmek için kullanılması gereken emek miktarı 30’dur.

Kullanması gereken sermaye miktarı için:

K=105+2L olduğuna göre           K=105-2(30)      K=45 bulunur

Firmanın çıktıyı maksimize etmek için kullanması gereken sermaye miktarı 45 birimdir.

30 emek ve 45 sermaye ile ne kadar üretim yapabilir?

Q=4LK+L² olduğundan

Q=4(30)(45)+30² olur

Q=6300

Maksimize etmeye çalıştığımız amaç fonksiyonumuz U=x₁x₂ şeklindedir.

Bütçe kısıtı 2x₁+10x₂=400 şeklinde oluşturulur. (Malların fiyatları ve toplam harcanabilir tutar kullanıldı)

Yerine koyma metodu ile çözersek:

2X₁=400-10x₂

X₁=200-5x₂

Fayda fonksiyonuna x₁ için bulduğumuz ifadeyi yerleştiririz.

U=(200-5x₂)x₂

U=200x₂-5x₂²

Fayda fonksiyonunun x₂ ye göre türevini alıp sıfıra eşitlersek

dU/dx₂=200-10x₂=0

200=10x₂             x₂=20 bulunur

İkinci türevin işareti kontrol edilirse

d²U/dx₂²=-10<0   olduğundan maksimumdur

x₁=200-5x₂ olduğundan x₂ yerine 20 koyulursa

x₁=200-5(20)      x₁=200-100         x₁=100 bulunur

Faydasını maksimize etmek için x₁ malından 100 birim, x₂ malından 20 birim tüketmelidir.179

Soruyu çözmek için öncelikle bütçe kısıtı oluşturulur

800=20x+6y

Şimdi tüketicinin problemini oluşturabiliriz:

Amaç: faydayı maksimize etmektir. Bu durumda amaç fonksiyonu:

U(x,y)=x^0,5y^0,3 Şeklindedir.

Kısıt: 800=20x+6y

 Lagrange fonksiyonu oluşturulursa

 L(x,y,λ)= x^0,5y^0,3+λ(800-20x-6y)

 Lx=ϭL/ϭx=0,5x^-0,5y^0,3-20λ=0

 Ly=ϭL/ϭy=0,3x^0,5y^-0,7-6λ=0

 187Lλ=ϭL/ϭλ=800-20x-6y=0

 İlk iki kısmi türevi kullanarak

 λ=0,5x^-0,5y^0,3/20=0,3x^0,5y^-0,7/6

 0,5x^-0,5y^0,3/0,3x^0,5y^-0,7=20/6

0,5y/0,3x=20/6

3y=6x             y=2xbulunur.

 Üçüncü kısmi türevi kullanarak

 800-20x-6y=0    y=2x bulmuştuk

800-20x-6(2x)=0

800-20x-12x=0

800=32x                              x=25

 Faydasını maksimize etmek için tüketici x malından 25 birim kullanmalıdır.

Soruyu çözmek için öncelikle bütçe kısıtı oluşturulur

800=20x+6y

Şimdi tüketicinin problemini oluşturabiliriz:

Amaç: faydayı maksimize etmektir. Bu durumda amaç fonksiyonu:

U(x,y)=x^0,5y^0,3 Şeklindedir.

Kısıt: 800=20x+6y

 Lagrange fonksiyonu oluşturulursa

 L(x,y,λ)= x^0,5y^0,3+λ(800-20x-6y)

 Lx=ϭL/ϭx=0,5x^-0,5y^0,3-20λ=0

 Ly=ϭL/ϭy=0,3x^0,5y^-0,7-6λ=0

 Lλ=ϭL/ϭλ=800-20x-6y=0

  İlk iki kısmi türevi kullanarak

 λ=0,5x^-0,5y^0,3/20=0,3x^0,5y^-0,7/6

 0,5x^-0,5y^0,3/0,3x^0,5y^-0,7=20/6

0,5y/0,3x=20/6

3y=6x             y=2xbulunur.

 Üçüncü kısmi türevi kullanarak

 800-20x-6y=0    y=2x bulmuştuk

800-20x-6(2x)=0

800-20x-12x=0

800=32x                              x=25

 Faydasını maksimize etmek için tüketici x malından 25 birim kullanmalıdır.

 Y=2x olduğundan y=2(25)           y=50

Faydasını maksimize etmek için y malından 50 birim kullanmalıdır.

Amaç girdi maliyetlerini minimize etmek. Bu durumda amaç fonksiyonu 2K+3L şeklindedir.

Kısıt ise verilen üretim kotasıdır. 50KL=1200

 Bu verilerle Lagrange fonksiyonu oluşturulursa

 L=2K+3L+λ(1200-50KL)

 Lagrange fonksiyonunun kısmi türevleri alınıp sıfıra eşitlenir

 ϭL/ϭK=2-50Lλ=0

ϭL/ϭL=3-50Kλ=0

ϭL/ϭλ=1200-50KL=0

İlk iki kısmi türevi kullanarak

 2=50Lλ                 λ=2/50L

3=50Kλ                λ=3/50K

 2/50L=3/50K      100K=150L          K=1,5L

 Üçüncü kısmi türev ilişkisini kullanarak

 1200-50(1,5L)L=0             1200-75L²=0       1200=75L²           L²=16     L=4

 K=1,5L                  K=1,5*(4)            K=6

Girdi maliyetlerini minimize etmek için 6 birim sermaye, 4 birim emek kullanmalıdır

Tıpkı tüketiciler gibi firmalar da faaliyetleri ile ilgili kararlar alırlarken çeşitli kısıtlarla karşı karşıya kalır. Dolayısıyla firmalar faaliyetleri ile ilgili olarak aldıkları kararlarda bir ya da birkaç kısıt altında belirli bir hedefe ulaşmak için optimal çözüm yolunu bulmaya çalışır. Firmaların karşı karşıya kaldığı en temel kısıtlı optimizasyon problemlerinden bazıları şöyle sıralanabilir: