MATEMATİKSEL İKTİSAT - Deneme Sınavı - 11

Öncelikle toplam hasıla fonksiyonunu elde ederiz TR=P*Q Talep fonksiyonu P=30-Q TR= (30-Q)*Q TR=30Q-Q2 olur. Kar fonksiyonu ise π=TR-TC Kar= (30Q-Q2)- 1/2Q2+6Q+7 Kar=30Q-Q2-1/2Q2 - 6Q -7 Kar=-3/2Q2+24Q-7 Kar fonksiyonunun birinci türevini sıfıra eşitlersek dKar/dQ=0 -3Q+24=0 Q=24/3=8 Bulduğumuz bu çıktı düzeyinin maksimum olup olmadığını denetlemek için ikinci türev şartını kontrol edersek: D2Kar/dQ2= -3 < 0 Bulduğumuz nokta maksimumdur. Karı maksimizde eden çıktı düzeyi 8 birimdir.

Vergiyi ödemekle yükümlü olan satıcıdır. Bu nedenle vergi arz fonksiyonunu etkiler ve satıcının eline geçecek para vergi miktarı kadar azalır. Uygulanacak vergi miktarına t dersek vergi sonrası arz fonksiyonu P-t=Qs+8 olur. Yani P=Qs+8+t olur. Talep fonksiyonu ise değişmez. Dengede Qs=Qd olacağından Arz fonksiyonu P=Q+8+t Talep fonksiyonu P=-3Q+80 Q+8+t=-3Q+80 4Q=72-t Q=18-1/4t Denge miktarı olarak belirlenir. Satılan miktar Q iken hükümetin buradan elde edeceği toplam vergi gelirine T dersek T=tQ T=t(18-1/4t) T=18t-1/4t2 olur. Maksimum vergi geliri için birinci türev sıfıra eşitlenir. dT/dt=0 18-1/2t=0 ½ t = 18 t=36 İkinci türev şartını kontrol edersek d2T/dt2 = -1/2 < 0 yani maksimum. Vergi gelirini maksimum yapmak için birim başına 36 vergi uygulamalıdır.

Toplam maliyet fonksiyonu pazardan bağımsızdır. Yani her iki durumda marjinal maliyetler aynıdır. Toplam maliyet TC=50000+20Q ise Marjinal maliyet MC=20 olur. Bireysel pazarda P1+Q1=500 P1=500-Q1 TR= (500-Q1)*Q1 = 500Q1-Q12 olur. Marjinal gelir MR=500-2Q1 Maksimum kar için MR=MC 500-2Q1=20 Q1=240 P1=500-Q1 P1=500-240=260 olur. Firmanın bireysel pazarda uygulayacağı fiyat 260 olur.

Z11(a,b) Z12(a,b) Z21(a,b) ve Z22(a,b) ikinci mertebeden kısmi türevlerlerden oluşan matrise Hessian matrisi denir. Bu matrisin asal minörlerinin işaretlerine bakılarak fonksiyonun belirlenen a,b değerlerinde maksimum ya da minimum olduğuna karar verilir.

I.(ab)^s = a^sb^s (Doğru)
II.a^st = a^sa^t (Yanlış, a^st = (a^s)^t)
III.a^s+t = (a^s)^t (Yanlış,a^s+t = a^sa^t)

Cevap A şıkkıdır.

Kare matris: Satır ve sütun sayısı birbirine eşit olan matristir. Birim matris: Köşegen elemanları bir olan skaler matristir. Üçgensel matris: Köşegeninin alt veya üstündeki elemanları sıfırdan oluşan kare matristir. Vektör: Tek bir satır veya sütundan oluşan matristir. Köşegen matris: Sadece köşegen elemanları sıfır olmayan matristir. Simetrik matris: Tüm i ve j’ler için, aij = aji koşulu gerçekleşen matristir.

Simetrik matris: Tüm i ve j’ler için, aij = aji koşulu gerçekleşen matristir. Yani a12=a21, a23=a32 … tarzında olan matristir. Simetrik matrisi anlamak için kare bir matrisin köşegeninden bölüm katladığımızı hayal ettiğimizde üst üste gelen terimlerin aynı olup olmadığını kontrol ederiz. Bunu yaptığımız zaman seçenekler arasında simetrik matrisin  olduğunu görürüz.

Simetrik matris: Tüm i ve j’ler için, aij = aji koşulu gerçekleşen matristir. Yani a₁₂=a₂₁, a₂₃=a_{32 …} tarzında olan matristir. A+B matrisinin simetrik olması için a₁₂=a₂₁ olması gerekir yani 2+y=x-y olması gerekir. Bu ifadeyi düzenlediğimizde 2+2y=x gelir ve bunu sağlayan yalnızca (4,1) çiftidir.

A.B matrisi için a₁₁=(5*1+4*0), a₁₂=(5*2+4*1), a₂₁=(4*1+0*0), a₂₂=(4*2+4*1) terimleri bulunur ve yerine yazılır. Sonuç  matrisine eşittir. Bu matrisin elemanlarının toplamı 5+4+14+8=31 sayısıdır.

I. İki matrisin toplamının evriği, matrislerin evrikleri toplamına eşit değildir. (Bu yanlış bir ifadedir. İki matrisin toplamının evriği, matrislerin evrikleri toplamına eşittir.) II. Bir matrisin evriğinin evriği matrisin kendisine eşittir. (Bu doğru bir ifadedir.) III. Bir sayı ile matrisin çarpımının evriği o sayı ile matrisin evriğinin çarpımına eşit değildir. (Bu yanlış bir ifadedir. Bir sayı ile matrisin çarpımının evriği o sayı ile matrisin evriğinin çarpımına eşittir.)

Bir matrisin determinantı o matrisin, herhangi bir satır veya sütunundaki elemanlarının kendi kofaktör değerleriyle çarpımları toplamıdır. 2x2’lik matrislerin ise determinantını bulmanın kolay yolu köşelerini çarpıp çıkarmaktır.  şeklinde kabul edilen bir matris için determinantı (a*d – b*c) şeklinde bulunur. A matrisinin determinantı (5*0 – 4*4) = -16 şeklinde B matrisinin determinantı (1*1 – 0*2) = 1 şeklinde bulunur. -16 + (-1)=-15 olarak sonuç bulunur.

A matrisinin evriği  şeklinde yazılabilir. a₁₂ terimi birinci sütunun ikinci sırasının terimidir, bu yüzden a₁₂=4 sonucu bulunur.

Verilen A ve B matrisleri 3x2 boyutunda matrislerdir. Yani 3 sütun ve 2 satırdan oluşmaktadır. Bu yüzden toplamları aynı boyutlarda 3x2 boyutlarında matris sonucunu verecektir. Bu matris kare bir matris değildir bu yüzden determinantı da yoktur. A ile B matrisinin toplamı  matrisidir. İlk terimi 14 ve son terimi 12’dir.

Verilmiş yöntemlerden Cramer kuralı ve Gauss eleme yöntemi matris sistemlerini çözmek için kullanılan yöntemlerden iken ikame metodu denklem sistemlerinde kullanılan bir metottur.

Bir matrisin determinantı o matrisin, herhangi bir satır veya sütunundaki elemanlarının kendi kofaktör değerleriyle çarpımları toplamıdır. 2x2 boyutundan daha büyük matrislerin determinantını hesaplarken işlem kolaylığı açısından sıfırların çok olduğu bir satır ya da sütun seçmek gerekir. Verilen A matrisi için ilk satır uygundur. A matrisinin determinantı şu şekildedir:  Minörlerini açacak olursak:


Bu matriste a₁₁=1, a₁₂=0, a₁₃=0 bu yüzden sadece ilk terime ihtiyacımız vardır. a₂₂=1, a₃₃=1, a₂₃=0, a₃₂=0 terimlerini yerine yazarsak A’nın determinantı a₁₁ *(1*1-0*0) olacaktır. a₁₁=1 olduğu için determinant 1’e eşit çıkacaktır.

Köşeli ve büyük bir parantez içinde, satır ve sütunlara yazılı sayı, değişken veya fonksiyonları temsil eden elemanlardan oluşan dikdörtgen biçimindeki tablolara matematik biliminde matris denir.

Tek bir satır veya sütundan oluşan matrislere de vektör denir. Satır ve sütun sayısı birbirine eşit olan matrise kare matris denir. Üçgensel matris, köşegeninin alt veya üstündeki elemanları sıfırdan oluşan kare matristir. Eğer bir kare matrisin sadece köşegen elemanları sıfırdan farklıysa o matrise köşegen matris denir.

İki matris veya vektörün eşit olabilmesi için, her ikisinin hem aynı boyutta yani aynı satır ve sütun sayısına sahip olması ve her iki matrisin karşılık gelen satır ve sütun elemanlarının birbirine eşit olması gerekir. Buna göre; x=5,y=7 ve z=2 olur. Bunların toplamları 14’tür.